章末综合检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简－－等于
( )
A．2 B．0 C．－2 D．2
2．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为
( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
3．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·(a＋b)等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．6
C．2
D．1
5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是
( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
6．设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是
( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
7．已知向量＝，＝，则∠ABC＝
( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
8.如图，将两个全等的有一锐角为30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若＝x＋y，则x＋y＝
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为
( )
A．－2
B．2
C．－
D.
10．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝
( )
A．20
B．15
C．9
D．6
11．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围是
( )
A.
B.
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
12．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是
( )
A．－1
B．2
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．
14．已知向量a＝(x，y)(x，y∈R)，b＝(1，2)，若x2＋y2＝1，则|a－b|的最大值为________．
15．在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·＝________．
16．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin
x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)若＝(sin
θ，－1)，＝(2sin
θ，2cos
θ)，其中θ∈，求||的最大值．
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
19．(12分)已知e1，e2是平面上的一组基底，a＝e1＋λe2，b＝－2λe1－e2.
(1)若a与b共线，求λ的值；
(2)若e1，e2是夹角为60°的单位向量，当λ≥0时，求a·b的最大值．
20．(12分)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
21．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
22．(12分)已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A，B两点)．
(1)求证：·与点P在⊙O上的位置无关；
(2)当与的夹角θ取何值时，·有最大值？
PAGE章末综合检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简－－等于
( )
A．2 B．0 C．－2 D．2
答案：C
2．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为
( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．
答案：C
3．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·(a＋b)等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos
60°＝2.
答案：B
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．6
C．2
D．1
解析：由||＝4，∵|＋|＝|－|＝||，而|＋|＝2||，∴||＝2，故选C.
答案：C
5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是
( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．
答案：C
6．设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是
( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：若|a＋b|＝|a|－|b|，则a与b共线，且a与b反向，故选项A，B不对，选项C正确．若a与b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|，故选项D不对．
答案：C
7．已知向量＝，＝，则∠ABC＝
( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：根据向量的夹角公式求解．
∵＝，＝，
∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝，
∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.
答案：A
8.如图，将两个全等的有一锐角为30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若＝x＋y，则x＋y＝
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：取AC的中点O，连接OB，OD(图略)．∵△ABC与△ADC均为直角三角形，∴OB＝OD＝AC.又由题意可知BC＝CD＝AC，∴四边形OBCD为菱形．
∴＝2＝2(＋)＝2＋2，
∴x＝y＝2，
∴x＋y＝4.故选D.
答案：D
9．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为
( )
A．－2
B．2
C．－
D.
解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ＝－6?cos
θ＝－1，∴θ＝π，即a，b共线且反向，∴a＝－b，∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－.
答案：C
10．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝
( )
A．20
B．15
C．9
D．6
解析：首先用向量，分别表示向量，，然后求数量积·.如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
答案：C
11．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围是
( )
A.
B.
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：因为|a|＝1，a与b的夹角为，所以a·b＝|b|cos＝|b|.把原式|xa＋2b|≥|a＋b|平方整理可得：x2＋2|b|x＋3|b|2－|b|－1≥0恒成立，所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0，即(|b|－1)(2|b|＋1)≥0，即|b|≥1，故选C.
答案：C
12．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是
( )
A．－1
B．2
C.
D.
解析：以a，b所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由(a－c)·(b－c)＝0，得(a－c)⊥(b－c)，故将c的起点放在坐标原点，则终点在以为圆心，以为直径的圆上，如图所示，所以|c|的最大值为.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．
解析：∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，
∴b在a方向上的投影是|b|cos
60°＝1.
答案：1
14．已知向量a＝(x，y)(x，y∈R)，b＝(1，2)，若x2＋y2＝1，则|a－b|的最大值为________．
解析：设O(0，0)，P(1，2)，则|a－b|＝≤||＋1＝＋1＝＋1.
∴|a－b|的最大值为＋1.
答案：＋1
15．在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·＝________．
解析：法一：∵D为边BC的中点，∴＝(＋)，∴(＋)·＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(||2＋||2)＝||2＝4.
法二：如图，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于△ABC为等腰直角三角形，且||＝2，故B(2，0)，C(0，2)．由D是BC边的中点知D(1，1)，∴＋＝(2，2)，＝(1，1)，∴(＋)·＝4.
答案：4
16．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin
x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
解析：令Q(c，d)，由新的运算可得＝m?＋n＝＋
＝，∴
消去x得d＝sin，
∴y＝f(x)＝sin，
易知y＝f(x)的值域是.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)若＝(sin
θ，－1)，＝(2sin
θ，2cos
θ)，其中θ∈，求||的最大值．
解析：∵＝－＝(sin
θ，2cos
θ＋1)，
∴||＝
＝
＝，
∴当cos
θ＝1，即θ＝0时，||取得最大值3.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解析：(1)若＝，
则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，
则＝＋，
·
＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos
60°＋×22＝－3.
19．(12分)已知e1，e2是平面上的一组基底，a＝e1＋λe2，b＝－2λe1－e2.
(1)若a与b共线，求λ的值；
(2)若e1，e2是夹角为60°的单位向量，当λ≥0时，求a·b的最大值．
解析：(1)因为a∥b，所以存在实数μ，使得b＝μa，
所以解得λ＝±.
(2)因为e1，e2是夹角为60°的单位向量，
所以e1·e2＝，
所以a·b＝(e1＋λe2)·(－2λe1－e2)＝－λ2－3λ－.
又λ∈[0，＋∞)，所以λ＝0时，a·b取最大值为－.
20．(12分)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解析：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos
θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.
21．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
解析：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，
所以解得
(2)由题意得a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．
因为(a＋kc)∥(2b－a)，
所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
所以k＝－.
(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)．
由题意得
解得或
所以d＝(3，－1)或d＝(5，3)．
22．(12分)已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A，B两点)．
(1)求证：·与点P在⊙O上的位置无关；
(2)当与的夹角θ取何值时，·有最大值？
解析：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，
∴AP⊥BP，∴⊥，即·＝0.
∵P为MN的中点，且||＝20，
∴＝，||＝||＝10，
∴·＝(＋)·(＋)
＝(－)·(＋)
＝·＋·－·－·
＝·(－)－100＝·－100.
∴·仅与，的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关．
(2)由(1)，得·＝·－100＝100cos
θ－100.
∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，·取得最大值0.
PAGE
