章末检测(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos
x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
A．①②③
B．③②①
C．②③①
D．②①③
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
3．下列推理过程属于演绎推理的为( )
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”横线处可填的内容是( )
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
5．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■
B．△
C．□
D．○
6.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是( )
A．a，b至少有一个不为0
B．a，b至少有一个为0
C．a，b全不为0
D．a，b中只有一个为0
8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N
)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
10．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C.
D.f(1)
11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )
A．x＋2y－z－2＝0
B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0
D．x＋2y＋z＋2＝0
12．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝()，C＝f()，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
15．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
16．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是________．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg
≥；
(2)＋>2＋2.
18．(12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N
)
①通项an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
19．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
(2)已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．
(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．
20．(12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
21．(12分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N
，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
22．(12分)已知数列{an}满足：a1∈N
，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N
}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3
的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．
PAGE章末检测(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos
x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
A．①②③
B．③②①
C．②③①
D．②①③
解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．
答案：D
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
解析：假设应为“＋不是无理数”，即“＋是有理数”．
答案：D
3．下列推理过程属于演绎推理的为( )
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．
答案：D
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”横线处可填的内容是( )
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．
答案：C
5．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■
B．△
C．□
D．○
解析：由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
答案：A
6.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案：C
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是( )
A．a，b至少有一个不为0
B．a，b至少有一个为0
C．a，b全不为0
D．a，b中只有一个为0
解析：“a，b全为0”的反设应为“a，b不全为0”，即“a，b至少有一个不为0”．
答案：A
8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
解析：类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．
答案：C
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N
)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
解析：令n＝10时，验证即知选B.
答案：B
10．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C.
D.f(1)
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)，
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)，
……
f(n)＝nf(1)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝f(1)．所以A，D正确．
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝f，所以B也正确．故选C.
答案：C
11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )
A．x＋2y－z－2＝0
B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0
D．x＋2y＋z＋2＝0
解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.
答案：A
12．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝()，C＝f()，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
答案：A
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
答案：n2＋n
16．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin
A＋sin
B＋sin
C)≤sin(结论)，
即sin
A＋sin
B＋sin
C≤3sin＝.
因此sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是.
答案：
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg
≥；
(2)＋>2＋2.
证明：(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg
≥lg，
∴lg≥lg
ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N
)
①通项an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解析：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N
)
①通项bn＝bm·λn－m；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；
④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列．
19．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．
证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．
(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．
证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2解析：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
20．(12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
证明：假设a，b，c都小于1，
即a＜1，b＜1，c＜1，
则a＋b＋c＜3.
∵a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3，且x为实数，
∴22＋3≥3，
即a＋b＋c≥3，这与a＋b＋c＜3矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
∴a，b，c中至少有一个不小于1.
21．(12分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N
，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解析：(1)证明：当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，
又an>0，∴a2＝.
(2)当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，
∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，
即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，
又an>0，∴an＋1＝an＋2，
∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．
又a2，a5，a14成等比数列．
∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.
由(1)知，4a1＝a－5＝4，
∴a1＝1，又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)证明：＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝
＝<.
22．(12分)已知数列{an}满足：a1∈N
，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N
}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3
的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．
解析：(1)6,12,24.
(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．
由an＋1＝可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．
从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．
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