垂徑定理课件
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文档简介
(共31张PPT)
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
●O
判断对错并说明理由 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径（ ）
问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦。相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
运动CD
直径AB和弦CD互相垂直
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
活 动 二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，
ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分ＡＢ 及 ＡＣＢ
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
即ＡＥ＝ＢＥ
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
⌒
⌒
思考：
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
CD⊥AB,
CD是直径
AE=BE
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
B
A
D
C
O
E
平分弦的直径垂直于弦（ ）
C
D
B
A
O
1.被平分的弦不是直径
2.被平分的弦是直径
AB不是直径
AM=BM,
CD是直径
CD⊥AB
可推得
CD⊥AB,
CD是直径
AM=BM
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
⌒
⌒
可推得
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
M
Ｏ
垂径定理：
垂径定理的推论：
AB不是直径
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
⌒
⌒
B
A
D
C
O
A
B
D
O
A
B
D
O
A
B
C
D
O
图1
A
B
C
D
O
图2
O
A
B
C
D
图3
图4
图5
图6
Ｅ
Ｅ
Ｅ
Ｅ
Ｅ
下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，
则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，
则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若AN = BN ，MN为直径，则________，________，________．
Ａ
Ｂ
N
M
C
Ｏ
⌒
⌒
例1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线一定经过圆心
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
例题解析
练1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
练习:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的
弦AB，计算：
⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
练2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
.
A
E
B
O
.
A
E
B
O
F
思路：（由）垂径定理——构造Rt△—— （结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”：
半径半弦弦心距
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
1.已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ，
AB = 6 ，CD =8 .
求： AB与CD间的距离
2.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB
交小⊙O于C,D两点
求证：AC=DB
E
思考：
平分已知
⌒
AB
⌒
A
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O
例：如图9，有一个拱桥是圆弧形，他的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？
o
M
N
E
垂径定理
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
总结
1、文字语言
2、符号语言
3、图形语言
条件
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
分析
CD为直径，
CD⊥AB
｝
｛
点C平分弧
ACB
点D平分弧
ADB
练3：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
练习:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4米
7.2米
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
⌒
⌒
⌒
结束寄语
不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.
.
A
O
B
E
C
D
F
思考题
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
●O
判断对错并说明理由 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径（ ）
问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦。相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
运动CD
直径AB和弦CD互相垂直
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
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O
A
B
C
D
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活 动 二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
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弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
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把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，
ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
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直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分ＡＢ 及 ＡＣＢ
⌒
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·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
即ＡＥ＝ＢＥ
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
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思考：
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
CD⊥AB,
CD是直径
AE=BE
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
B
A
D
C
O
E
平分弦的直径垂直于弦（ ）
C
D
B
A
O
1.被平分的弦不是直径
2.被平分的弦是直径
AB不是直径
AM=BM,
CD是直径
CD⊥AB
可推得
CD⊥AB,
CD是直径
AM=BM
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
⌒
⌒
可推得
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
M
Ｏ
垂径定理：
垂径定理的推论：
AB不是直径
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
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B
A
D
C
O
A
B
D
O
A
B
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A
B
C
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图1
A
B
C
D
O
图2
O
A
B
C
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图3
图4
图5
图6
Ｅ
Ｅ
Ｅ
Ｅ
Ｅ
下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，
则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，
则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若AN = BN ，MN为直径，则________，________，________．
Ａ
Ｂ
N
M
C
Ｏ
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⌒
例1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线一定经过圆心
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
例题解析
练1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
练习:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的
弦AB，计算：
⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
练2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
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A
E
B
O
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A
E
B
O
F
思路：（由）垂径定理——构造Rt△—— （结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”：
半径半弦弦心距
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
1.已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ，
AB = 6 ，CD =8 .
求： AB与CD间的距离
2.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB
交小⊙O于C,D两点
求证：AC=DB
E
思考：
平分已知
⌒
AB
⌒
A
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O
例：如图9，有一个拱桥是圆弧形，他的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？
o
M
N
E
垂径定理
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
总结
1、文字语言
2、符号语言
3、图形语言
条件
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
分析
CD为直径，
CD⊥AB
｝
｛
点C平分弧
ACB
点D平分弧
ADB
练3：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
练习:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4米
7.2米
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
⌒
⌒
⌒
结束寄语
不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.
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A
O
B
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C
D
F
思考题
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF