垂直于弦的直径(2)
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(共27张PPT)
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
①②
③④⑤
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
.
O
A
E
B
D
C
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。
求证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）。
求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
注意要点
① 经过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗
A
B
1.在直径是20cm的
中，
∠AOB的度数是
，那么弦AB的弦心距是 .
⊙O
练习：
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 .
3.已知：P为
内一点，且OP＝2cm，如果
的半径是
那么过P点的最短
的弦等于 .
⊙O
⊙O
已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ，
AB = 6 ，CD =8 .
求： AB与CD间的距离
A
B
C
D
P
2.已知：如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于P，
且∠APC=45°,AP=5,PB=1
求 CD的长
E
E
D
C
B
A
O
∟
4.已知：如图△ABC的三个顶点都在⊙O
上，AD⊥BC，E为BC的中点
求证：∠EAD=∠OAE
A
B
C
E
F
3.已知：如图，⊙O中AB和AC的中点分别是点F和点E,EF分别交AC和AB于P,Q两点，判断△APQ是什么三角形？
P
Q
O
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题？
O
A
B
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题？
O
A
B
D
C
r
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
O
A
O
C
A
B
M
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
6
30°
E
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。
A
B
·
C
D
4
O
船能过拱桥吗
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=
B
A
M
C
O
N
5㎝
1㎝或9㎝
6
4
Cm
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
Ｄ
Ｅ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
E
D
┌
600
C
D
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
B
A
O
600
650
D
C
E
D
┌
600
C
D
E
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
①②
③④⑤
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
.
O
A
E
B
D
C
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。
求证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）。
求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
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⌒
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
注意要点
① 经过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗
A
B
1.在直径是20cm的
中，
∠AOB的度数是
，那么弦AB的弦心距是 .
⊙O
练习：
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 .
3.已知：P为
内一点，且OP＝2cm，如果
的半径是
那么过P点的最短
的弦等于 .
⊙O
⊙O
已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ，
AB = 6 ，CD =8 .
求： AB与CD间的距离
A
B
C
D
P
2.已知：如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于P，
且∠APC=45°,AP=5,PB=1
求 CD的长
E
E
D
C
B
A
O
∟
4.已知：如图△ABC的三个顶点都在⊙O
上，AD⊥BC，E为BC的中点
求证：∠EAD=∠OAE
A
B
C
E
F
3.已知：如图，⊙O中AB和AC的中点分别是点F和点E,EF分别交AC和AB于P,Q两点，判断△APQ是什么三角形？
P
Q
O
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题？
O
A
B
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题？
O
A
B
D
C
r
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
O
A
O
C
A
B
M
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
6
30°
E
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。
A
B
·
C
D
4
O
船能过拱桥吗
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= ,
AC= ,OA=
B
A
M
C
O
N
5㎝
1㎝或9㎝
6
4
Cm
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
Ｄ
Ｅ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
E
D
┌
600
C
D
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
B
A
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600
650
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600
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E
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
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M
N
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