28.1.2弧，弦，圆心角
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(共40张PPT)
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？
回顾：
圆既是轴对称图形，又是中心对称图
形,也是旋转对称图形。旋转角度可以是任
意度数。对称轴是过圆心任意一条直线。
2、能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？圆的对称轴在哪里，对称中心和旋转中心在哪里？
复习
1、圆的对称性有哪几方面？
O
轴对称性
导入
2、将圆绕圆心任意旋转：
O
α
圆具有旋转不变性,是中心对称图形
.
O
B
A
180°
所以圆是中心对称图形。
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
二、概念
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
圆心角 所对
的弧为 AB，
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,
O
A
B
M
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 ,
所对的弦为AB；
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 ,
如图，OM为AB弦的弦心距。
任意给圆心角，对应出现四个量：
圆心角
弧
弦 弦心距
探究
O
α
A
B
A′
B ′
α
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等量关系？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
三、探究
因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
⌒
AB
⌒
A1B1
=
相等
（或等圆）
相等
相等
相等
3.在同一个圆 中，如果弦相等，那么所对的圆心角_____、所对的弧______,所对的弦的弦心距_____。
2.在同一个圆 中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____、所对的弦______， 所对的弦的弦心距_____。
1.在同一个圆 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等, 所对的弦的弦心距也相等。
结论：
相等
以上三句话如没有在同圆或等圆中，这个结论还会成立吗？
（或等圆）
（或等圆）
相等
新授
O
α
A
B
A′
B ′
α
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦相等，所对的弦
的弦心距相等。
等对等定理
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
(4) 弦心距
延伸
O
α
A
B
A′
B ′
α
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
(4) 弦心距
等对等定理整体理解：
知一得三
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果 = ，那么____________，______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
相 等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以 OE = OF.
练习
⌒
CD
⌒
AB
⌒
AB
⌒
CD
=
⌒
AB
⌒
CD
=
二.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ）
2相等的弧所对的弦相等。（ ）
3相等的弦所对的弧相等。（ ）
三.如图，⊙O中，AB=CD，
，则
O
D
C
A
B
1
2
试一试你的能力
×
√
50
o
×
1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.
求∠C度数.
2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
︵
︵
︵
︵
︵
.3如图，已知AD＝BC，
试说明AB=CD
︵
︵
点悟：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等。
如图，在⊙O中，AC=BD，
,求∠2的度数。
你会做吗？
解：
∵
AC=BD
（已知）
∴
∴
AB=CD
∴
AC-BC=BD-BC
（等式的性质）
∠1=∠2=45°
（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）
例3：已知：如图, AB、DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE
⌒
⌒
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
E
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
例4：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC。
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC的度数分别为__________
(2)若⊙O的半径为r,则等边ABC三角形的边长为_______
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
例4：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC。
(3)延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD。试判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⌒
1°弧
n°
1°
n°弧
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1 .同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1 的弧.
这样,1 的圆心角对着1 的弧,
1 的弧对着1 的圆心角.
n 的圆心角对着n 的弧,
n 的弧对着n 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
（2） 所对的圆心角和 所对的圆 心角相等
在两个圆中，分别有 , 若 的度数和 相等，则有
（1） 和 相等
判断
1.在半径相等的⊙O和⊙O 中,AB和A B 所对的圆心
角都是60°.
(1)AB和A B各是多少度
(2)AB和A B 相等吗
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度 若把圆8等分,那么
每一份弧是多少度
3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
结束
试一试
探究二：
动手操作：
如何将圆两等分？四等分？八等分？
你还可以将圆多少等分呢？
总结
1.圆是旋转对称图形、中心对称图形，它的对称中心是圆心；
2.圆心角、弧、弦之间的关系。
注意:
(1)运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.
(2)由一个条件,可以得到多个结论.
(3)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法．
圆的基本性质
1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？
回顾：
圆既是轴对称图形，又是中心对称图
形,也是旋转对称图形。旋转角度可以是任
意度数。对称轴是过圆心任意一条直线。
2、能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？圆的对称轴在哪里，对称中心和旋转中心在哪里？
复习
1、圆的对称性有哪几方面？
O
轴对称性
导入
2、将圆绕圆心任意旋转：
O
α
圆具有旋转不变性,是中心对称图形
.
O
B
A
180°
所以圆是中心对称图形。
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
二、概念
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
圆心角 所对
的弧为 AB，
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,
O
A
B
M
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 ,
所对的弦为AB；
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 ,
如图，OM为AB弦的弦心距。
任意给圆心角，对应出现四个量：
圆心角
弧
弦 弦心距
探究
O
α
A
B
A′
B ′
α
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等量关系？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
三、探究
因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
⌒
AB
⌒
A1B1
=
相等
（或等圆）
相等
相等
相等
3.在同一个圆 中，如果弦相等，那么所对的圆心角_____、所对的弧______,所对的弦的弦心距_____。
2.在同一个圆 中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____、所对的弦______， 所对的弦的弦心距_____。
1.在同一个圆 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等, 所对的弦的弦心距也相等。
结论：
相等
以上三句话如没有在同圆或等圆中，这个结论还会成立吗？
（或等圆）
（或等圆）
相等
新授
O
α
A
B
A′
B ′
α
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦相等，所对的弦
的弦心距相等。
等对等定理
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
(4) 弦心距
延伸
O
α
A
B
A′
B ′
α
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
(4) 弦心距
等对等定理整体理解：
知一得三
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果 = ，那么____________，______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
相 等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以 OE = OF.
练习
⌒
CD
⌒
AB
⌒
AB
⌒
CD
=
⌒
AB
⌒
CD
=
二.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ）
2相等的弧所对的弦相等。（ ）
3相等的弦所对的弧相等。（ ）
三.如图，⊙O中，AB=CD，
，则
O
D
C
A
B
1
2
试一试你的能力
×
√
50
o
×
1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.
求∠C度数.
2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
︵
︵
︵
︵
︵
.3如图，已知AD＝BC，
试说明AB=CD
︵
︵
点悟：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等。
如图，在⊙O中，AC=BD，
,求∠2的度数。
你会做吗？
解：
∵
AC=BD
（已知）
∴
∴
AB=CD
∴
AC-BC=BD-BC
（等式的性质）
∠1=∠2=45°
（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）
例3：已知：如图, AB、DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE
⌒
⌒
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
E
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
例4：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC。
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC的度数分别为__________
(2)若⊙O的半径为r,则等边ABC三角形的边长为_______
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
例4：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC。
(3)延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD。试判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⌒
1°弧
n°
1°
n°弧
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1 .同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1 的弧.
这样,1 的圆心角对着1 的弧,
1 的弧对着1 的圆心角.
n 的圆心角对着n 的弧,
n 的弧对着n 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
（2） 所对的圆心角和 所对的圆 心角相等
在两个圆中，分别有 , 若 的度数和 相等，则有
（1） 和 相等
判断
1.在半径相等的⊙O和⊙O 中,AB和A B 所对的圆心
角都是60°.
(1)AB和A B各是多少度
(2)AB和A B 相等吗
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度 若把圆8等分,那么
每一份弧是多少度
3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
结束
试一试
探究二：
动手操作：
如何将圆两等分？四等分？八等分？
你还可以将圆多少等分呢？
总结
1.圆是旋转对称图形、中心对称图形，它的对称中心是圆心；
2.圆心角、弧、弦之间的关系。
注意:
(1)运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.
(2)由一个条件,可以得到多个结论.
(3)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法．
圆的基本性质
1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．