切线长定理
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(共20张PPT)
1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？
2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线，这样的切线能作几条？
如右图所示
切线长定义：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
在下图中，PA、PB是⊙O的两条切线，
切点分别是A、B，沿直线OP将图形对
折，你发现了什么？
1、图形是 对称图形，
该图形关于 对称；
2、PA= ，
=∠BPO
轴
直线OP
PB
∠APO
你能从理论上说明你的结论吗 请你尝试证明一下好吗？
证明：连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线
∴PA⊥OA、PB⊥OB
即△POA、△POB是直角三角形
又∵OA=OB、OP=OP
∴△POA≌△POB
∴PA=PB、∠APO=∠BPO
已知如图，P是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
求证：PA=PB、∠APO=∠BPO
如右图所示
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠1=∠2
·
O
A
B
1
2
符号表示
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.
⌒ ⌒
（1） AD 与BD是否相等？为什么？
（2）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？
⌒ ⌒
解：（1） AD = BD
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠PAO=∠PBO=90° ∠APO=∠BPO
∴∠AOD=∠BOD
∴ ⌒ ⌒
AD = BD
（2）∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
又∵∠APO=∠BPO
∴OP⊥AB，AC=BC
即OP垂直平分线段AB。
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形
△ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=
P
A
B
C
O
60°
（4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰ
ＡＭ＝ＢＭ
⌒
⌒
M
⊥
牛刀小试
（3）若∠P=70°，则∠AOB= °
110
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA
OA=3
1、过圆外一点可以作圆的 条切线，过圆上一点可以作圆的 条切线。
2、如图，⊙O的半径是5，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=90°,则PA= ,PO= ,AB= 。
3、如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D，若PA=6，⊙O的半径为2，则PC的长为 ，∠CPD= 。
（第2题）
（第3题）
2
1
5
5√2
5√2
60°
2√3
。
P
B
A
O
反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
如图，AB是⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。
∴∠OBA+∠3=90°
∵OB=OA
∴∠OBA=∠A
∴∠3+∠A=90°
又∵OD⊥OA
∴∠1+∠A=90°
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴BD=CD
解：连接OB，则OB⊥BD
例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD
D
L
M
N
A
B
C
O
P
证明：由切线长定理得
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切
圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于
C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
C
· O
P
B
D
A
E
练习2：已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
P
C
A
O
B
D
已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如左图，AB是直径，要使得EF是⊙O的切线，还要添加的条件可以是（只需写出3种情况）： 或 或 ；
（2）如右图，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B。求证：EF是⊙O的切线。
1、如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为
切点，连结BC交AO于D.
⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长；
⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。
C
· O
A
B
D
· O
A
B
C
D
E
2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC
是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，
AD=4，求OE的长.
· O
A
B
C
D
E
F
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小 结：
A
P
O
。
B
E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？
2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线，这样的切线能作几条？
如右图所示
切线长定义：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
在下图中，PA、PB是⊙O的两条切线，
切点分别是A、B，沿直线OP将图形对
折，你发现了什么？
1、图形是 对称图形，
该图形关于 对称；
2、PA= ，
=∠BPO
轴
直线OP
PB
∠APO
你能从理论上说明你的结论吗 请你尝试证明一下好吗？
证明：连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线
∴PA⊥OA、PB⊥OB
即△POA、△POB是直角三角形
又∵OA=OB、OP=OP
∴△POA≌△POB
∴PA=PB、∠APO=∠BPO
已知如图，P是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
求证：PA=PB、∠APO=∠BPO
如右图所示
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠1=∠2
·
O
A
B
1
2
符号表示
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.
⌒ ⌒
（1） AD 与BD是否相等？为什么？
（2）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？
⌒ ⌒
解：（1） AD = BD
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠PAO=∠PBO=90° ∠APO=∠BPO
∴∠AOD=∠BOD
∴ ⌒ ⌒
AD = BD
（2）∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
又∵∠APO=∠BPO
∴OP⊥AB，AC=BC
即OP垂直平分线段AB。
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形
△ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=
P
A
B
C
O
60°
（4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰ
ＡＭ＝ＢＭ
⌒
⌒
M
⊥
牛刀小试
（3）若∠P=70°，则∠AOB= °
110
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA
OA=3
1、过圆外一点可以作圆的 条切线，过圆上一点可以作圆的 条切线。
2、如图，⊙O的半径是5，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=90°,则PA= ,PO= ,AB= 。
3、如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D，若PA=6，⊙O的半径为2，则PC的长为 ，∠CPD= 。
（第2题）
（第3题）
2
1
5
5√2
5√2
60°
2√3
。
P
B
A
O
反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
如图，AB是⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。
∴∠OBA+∠3=90°
∵OB=OA
∴∠OBA=∠A
∴∠3+∠A=90°
又∵OD⊥OA
∴∠1+∠A=90°
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴BD=CD
解：连接OB，则OB⊥BD
例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD
D
L
M
N
A
B
C
O
P
证明：由切线长定理得
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切
圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于
C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
C
· O
P
B
D
A
E
练习2：已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
P
C
A
O
B
D
已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如左图，AB是直径，要使得EF是⊙O的切线，还要添加的条件可以是（只需写出3种情况）： 或 或 ；
（2）如右图，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B。求证：EF是⊙O的切线。
1、如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为
切点，连结BC交AO于D.
⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长；
⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。
C
· O
A
B
D
· O
A
B
C
D
E
2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC
是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，
AD=4，求OE的长.
· O
A
B
C
D
E
F
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小 结：
A
P
O
。
B
E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等