切线的判定
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(共17张PPT)
直线和圆的位置关系有几种？
知识回顾
⑴ 相 离；
⑵ 相 切；
⑶ 相 交；
dd=r
d>r
用数量关系如何来判断？
．Ｏ
l
┐
d
r
．Ｏ
l
┐
d
r
．Ｏ
l
┐
d
r
切 线 的 判 定
复 习
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫相切？
3.我们学习过哪些切线的判断方法？
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直。
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法
有以下三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
想一想
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
O
A
B
C
E
D
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
小 结
例1与例2的证法有何不同
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，
5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。
练 习
O
A
B
C
E
P
练习3、如图4，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？
图5
练习4、如图5，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B = 30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
例3、如图7，已知△ABC内接于⊙O，P是CB延长线上的一点，连结AP，且AP2 = PB·PC，试说明PA是⊙O的切线。
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
l是圆的切线
l是圆的切线
思考题：如图，A是⊙O直径上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的直线和OA的延长线相交于点D，若DA = DC,问直线CD与⊙O 相切吗 为什么？
变题1：若将直线DA向上平行移至OB上，直线CD与⊙O 相切吗 为什么？
变题2：若将直线DA向上平行移至OB外，直线CD与⊙O 相切吗 为什么？
直线和圆的位置关系有几种？
知识回顾
⑴ 相 离；
⑵ 相 切；
⑶ 相 交；
d
d>r
用数量关系如何来判断？
．Ｏ
l
┐
d
r
．Ｏ
l
┐
d
r
．Ｏ
l
┐
d
r
切 线 的 判 定
复 习
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫相切？
3.我们学习过哪些切线的判断方法？
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
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O
r
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A
O
r
l
A
O
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A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直。
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法
有以下三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
想一想
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
O
A
B
C
E
D
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
小 结
例1与例2的证法有何不同
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，
5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。
练 习
O
A
B
C
E
P
练习3、如图4，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？
图5
练习4、如图5，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B = 30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
例3、如图7，已知△ABC内接于⊙O，P是CB延长线上的一点，连结AP，且AP2 = PB·PC，试说明PA是⊙O的切线。
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
l是圆的切线
l是圆的切线
思考题：如图，A是⊙O直径上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的直线和OA的延长线相交于点D，若DA = DC,问直线CD与⊙O 相切吗 为什么？
变题1：若将直线DA向上平行移至OB上，直线CD与⊙O 相切吗 为什么？
变题2：若将直线DA向上平行移至OB外，直线CD与⊙O 相切吗 为什么？