首届湖南省中学青年数学教师资源运用与教学设计比赛
课题：3.1.1两角差的余弦公式
各位评委，各位领导，各位老师：
大家好，我是来自湖南常德市第七中学的施福林，今天我讲的课题为《两角差的余弦公式》，从理解学生，理解数学本身的特征，理解教法的角度出发，本单元内容分为五个部分：背景分析，课堂结构设计，教学媒体设计，教学过程设计，教学评价设计。
背景分析
教材分析:地位和作用
“两角差的余弦公式”是人教A版高中教材必修四第三章第一节第一课时的内容。本节是在学习了三角函数的定义和向量的相关知识后编排的。三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是这一章的基础和出发点，本节内容是是本节及其后面各节公式的“源头”。因此，两角差的余弦公式起着承上启下的核心作用。
2、教学重难点分析
重点：两角差的余弦公式的结构及其运用
难点：通过探索得到两角差的余弦公式
课堂结构设计
教学环节 时间分配 目的任务
创设情境 大约需3分钟 提出问题，为新课引入铺路搭桥.
探索与研究 阅读教材 公式推导 大约需10分钟 让学生愉快学习、主动思考、积极参与，从而很好地培养分析问题，解决问题的能力.
例题讲解 师生互动 大约需12分钟
巩固练习 大约需10分钟 应用数学，加深理解， 训练技能
小结提升 大约需5分钟 提炼与升华
布置作业 大约需2分钟 巩固知识，提高能力
【设计依据】遵循新课标的要求，着重知识的发生，发展和运用。让学生通过自己阅读教材，钻研教材，突破难点，在教师的引导下完成新知的学习 。
教学媒体设计
根据我校的实际情况，本节课将常规的教学手段与现代化的多媒体辅助教学手段相结合。
1、运用多媒体和相关课件，不仅增加了课堂容量，而且让师生的互动更生动活泼。
2、运用图片和几何画板辅助教学，直观、形象地展示了生活中的数学以及公式的动态探索过程。
3，在多媒体辅助教学的同时，黑板仍起主导作用，在黑板上板书例题的解答过程，不仅留给学生思考空间的，也培养了学生良好的书写习惯。同时板书也有助于学生对这节课内容的回顾和整体把握。我的板书设计如下：
两角差的余弦
公式 公式的推导： 例题讲解：例1例2 练习：学生演练
教学过程设计
Ⅰ创设情景 激发求知
实际问题情境：2011年3月11日，日本本州岛附近海域发生了强烈的地震，强震导致福岛第一核电站发生爆炸，引发核危机，为了更好的降火，降温，采用直升机注水。
如图直升机距地面90m,从A点向3号机组C,D两点注水已知∠BAD=45° ∠CAD= 30°为了 更好灭火， 需要迅速求出AC= （列出算式）
解：
问题：你能不使用计算器就直接算出 的值吗？
学生答：15°＝45°－30°，会不由有呢？
师：这个结论肯定是不对的，左边是cos15°>0，而右边cos45°－cos30°<0。
[设计意图] 从实际问题出发，创设问题情景，提高学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识和知识的应用意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。
Ⅱ自主探究 合作学习
下面我们就一起探讨如何用角的正弦，余弦来表示
1）阅读指导：请同学们阅读教材：P125页到P126页：同时思考这样的几个问题：
①我们应该用怎样的思路和方法进行探究？
②教科书上介绍了几种证明方法，各有什么优缺点？
③两角差的余弦公式是什么？
2）回答问题：
①学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明．
②方法一：利用单位圆上的三角函数线来探究。
如图，设角的终边与单位圆相交于点P1,∠POP1＝，∠xOP＝－，PM⊥x轴，PA⊥OP1，AB⊥x轴，PC⊥AB，
则OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcos＋APsin
＝coscos＋sinsin
又因为OM＝cos（－），所以，
有cos（－）＝coscos＋sinsin
这个公式的结果是特殊情况下（都为锐角）而推得的，他的正确性还有待进一步探究。这种方法过于繁琐。
方法二：利用向量的数量积来探究，思路非常清晰，过程非常简洁。
设 由向量数量积的定义，有 （1）
由向量数量积的坐标表示，有
即
以上推理过程严密吗？
当是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角，使当，则；
当，则，且
③cos（－）＝coscos＋sinsin
[设计意图] 让学生通过阅读教材了解两角差的余弦公式的推导过程之后再进行讲解，，比分组讨论或者通过教师直接讲解要好一些，因为两角差余弦公式的推导是个难点，学生根本找不到证题思路，教师直接讲解的话，学生也难于理解，所以我就采用这种方式处理公式的推导，在实际教学中具有指导意义。
Ⅲ信息交流 揭示规律
注意： 1）公式中的为任意角，公式简单的记作。
2）两角差的余弦公式特点：
引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积的和．
3）学会公式的顺用和逆用。
[设计意图]这是本节课的重点，公式推导出来之后，要告诉学生公式的特征，作用，学生要理解公式的符号，意义，从而能够灵活运用公式。
Ⅳ运用公式 例题讲解
例1、利用差角余弦公式求的值.
解：分析：把构造成两个特殊角的差.
点评：把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
[巩固练习]求值：
(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°= ．
(2)cos(+21°)cos(-24°)+sin(+21°)sin(-24°)= ．
[设计意图]通过例题的讲解，解决了引入课题时的设疑，这样就做到了首位呼应。两个巩固练习，也让学生熟悉公式的逆用。
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
[设计意图] 为了能让学生正确地应用两角差的余弦公式，并养成规范书写的习惯，培养学生分析问题和解决问题的能力。
Ⅴ练习感悟 P127 1,2,3,4
师生活动：
独立思考——学生代表上台板演——师生共评
[设计意图]学生通过书本上练习，可以及时巩固所学知识，熟练掌握解题方法，发现解题规律，达到举一反三，触类旁通.
Ⅵ归纳小结 完善结构
设计了三个问题：1.通过本节课学习了哪些知识？
2.通过本节课你最大的体验是什么？
3.通过本节课的学习你掌握了哪些数学方法？
老师：两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟：
G·波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想．”
高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的．”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现．”
【设计意图】通过开放式小结让学生从不同角度总结自己的新收获，使学生学会总结、学会欣赏、学会科学的评价，培养学习的主动性。
Ⅶ布置作业 检验成效
分层作业：
必做题： P137 2题，3题
选做题： 已知都是锐角，，求的值
【设计意图】
一方面为了让学生进一步巩固加深所学的知识，另一方面是为了满足不同层次的学生对知识的追求。
教学评价设计
本节课力图贯彻“一切为了学生的发展” ,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学理念.在整个教学过程中学生自始至终精神饱满、兴趣盎然，掌握了两角差的余弦公式，解答问题时既能独立思考，又能与他人很好地交流和合作。总之，这堂课活而有序,学生心情愉悦，感觉收获很大，教师有成就感。
另外，课后通过常规作业，可了解到学生的知识掌握和应用程度；通过学生的学习报告，可看出学生的探究创新能力。而课后教师通过问卷调查，可了解到学生对教师教学的评价和建议，从而更好地改进教学方法，提高教学水平，实现师生共同进步的目标。(共29张PPT)
3.1.1 两角差的余弦公式
（说课配套课件）
人教A版《必修四》P.29-32
第三章 三角恒等变换
背景分析
资源运用 设计
教学过程设计
教学设计评价
课堂结构 体系
*
一、背景分析
“两角差的余弦公式”是人教A版高中教材必修四第三章第一节第一课时的内容。三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是这一章的基础和出发点，也是本节及其后面各节公式的“源头”。因此，两角差的余弦公式起着承上启下的核心作用。
1、教材地位和作用
2、重点及难点分析
教学重点：
两角差的余弦公式的结构及其运用
教学难点：
通过探索得到两角差的余弦公式。
*
教学环节 时间分配 目的任务
创设情境
大约需3分钟 提出问题，为新课引入
铺路搭桥.
探
索
与
研
究 阅读教材
公式推导 大约需10分钟分钟
让学生主动思考、积极参与，从而培养分析问题，解决问题的能力.
例题讲解
师生互动 大概需12分钟
巩固练习
大约需10分钟 应用数学，加深理解，
训练技能
小结提升 大约需５分钟 提炼与升华
布置作业 大约需2分钟 巩固知识，提高能力
课堂结构设计
【设计意图】根据新课程的理念，着重知识的发生，发展及其运用。让学生通过自己阅读教材，钻研教材，突破难点，在教师的引导下完成新知的学习 。
二、 课堂结构设计
三 资源运用
运用多媒体和相关课件，不仅增加了课堂容量，而且让师生的互动更生动活泼。
1
根据我校的实际情况，本节课将常规的教学手段与现代化的多媒体辅助教学手段相结合。
2
运用图片和几何画板辅助教学，直观、形象地展示了生活中的数学以及公式的动态探索过程。
在多媒体辅助教学的同时，黑板仍起主导作用，在黑板上板书例题的解答过程，不仅留给学生思考空间，也培养了学生良好的书写习惯。同时板书也有助于学生对这节课内容的回顾和整体把握。我的板书设计如下：
３
两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式
例1： 例2 学生板演练习题解答过程
其它由多媒体显示。
板书设计
２
创设情境，激发求知
探究新知，揭示规律
反思体验 ，巩固升华
回顾小结 ，小结提升
四、教学过程
【设计依据】遵循新课标的要求，让学生在自主探究、自主阅读
合作交流等方式下完成新知的学习
五个环节，七个步骤
分层作业，检验成效
教学过程
1、创设情景 激发求知
如图直升机距地面90m,从A点向3号 机组C,D两点注水已知∠BAD=45° ∠CAD= 30°为了 更好灭火， 需要迅速求出AC的长度
（列出算式）
B
A
D
C
45°
30°
90m
教学过程
你能不使用计算器就算出cos15°的值吗？
【问题】
*
15°＝45°－30°;
会不会有
cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°-cos30°
【学生猜想】
这个结果显然不对，
cos15°>0,而cos45°-cos30°<0
设计意图 ：
从实际问题出发，创设问题情景，能提高学生学习兴趣，强化学生的参与意识和应用意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。
①我们应该用怎样的思路和方法
探究cos（α－β）？
②教科书上介绍了几种证明方法，
各有什么优缺点？
③两角差的余弦公式是什么？
2、自主探究 阅读教材
阅读指导：请同学们带着三个问题阅读教材P125页到P126页：
*
设计意图 ：让学生通过阅读教材了解两角差的余弦公式的推导过程后进行讲解，比分组讨论或者通过教师直接讲解要好一些，因为两角差余弦公式的推导是个难点，学生根本找不到证题思路，教师直接讲解的话，学生也难于理解，所以我就采用这种方式处理公式的推导，在实际教学中具有指导意义.
*
师生活动：
问题(1)：
用怎样的方法思路和方法进行探究cos（α－β）？
探究分为两个步骤，
一是探求表示结果；
二是对结果的正确性加以证明．
*
问题(2): 教科书上介绍了几种证明方法，
各有什么优缺点？
想一想？
A
x
y
O
C
B
M
+
1
P
方法1: 三角函数线法
这个公式的结果是特殊情况下（ 都为锐角）而推得的，他的正确性还有待进一步探究。这种方法过于繁琐。
方法2: 向量法
由向量的数量积的定义有：
由向量的数量积的坐标表示有：
以上推理过程严密吗？
β的终边
x
B
O
y
α的终边
A
θ
α的终边
x
y
β的终边
A
O
B
θ
利用向量的数量积来探究，思路非常清晰，过程非常简洁。
3、信息交流 揭示规律
两角差的余弦公式
1)公式中的 为任意角，公式简单的
记作
2)两角差的余弦公式的特点：
左边是两角差的余弦，右边是同名三角函数值乘积的和。
３)学会公式的顺用和逆用。
注意：
*
4、运用规律 解决问题
师生活动：
学生思考——教师讲解——在黑板上板书.
例1、利用两角差的余弦公式求cos15°的值.
*
求值：
（1）cos15°cos105°＋sin15°sin105°
（2）
巩固训练：
设计意图：
通过例题的讲解，解决了引入课题时的设疑，这样就做到了首尾呼应。两个巩固练习，让学生熟悉了公式的逆用。
*
师生活动：
学生思考——教师讲解——在黑板上板书.
例2、已知 是第
三象限角，求 的值。
设计意图：
让学生正确应用两角差的余弦公式，并养成规范书写的习惯，培养学生分析问题和解决问题的能力。
*
5、练习感悟、巩固新知
设计意图：
学生通过练习，可以及时巩固所学知识，熟练掌握解题方法，发现解题规律，达到举一反三，触类旁通.
师生活动：
独立思考——学生代表上台板演——师生共评
P127 1,2,3,4
教学过程
这节课我学习的知识——
这节课我最大的体验——
这节课我掌握的数学方法——
【设计意图】通过开放式小结，让学生从不同角度总结自己的新收获，使学生学会总结、学会欣赏、学会科学的评价，培养学习的主动性。
*
G·波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想．”
高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的．”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现．”
两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟：
教学过程
分层作业
必做题：教材P137页 习题3.1
2题，3题
选做题：已知 都是锐角，
，求 的值
【设计意图】一方面为了让学生进一步巩固加深所学的知识，另一方面是为了满足不同层次的学生对知识的追求
7、布置作业、检验成效
本节课力图贯彻“一切为了学生的发展” ,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学理念.在整个教学过程中学生自始至终精神饱满、兴趣盎然，掌握了两角差的余弦公式，解答问题时既能独立思考，又能与他人很好地交流和合作。总之，这堂课活而有序,学生心情愉悦，感觉收获很大，教师有成就感。
另外，课后通过常规作业，可了解到学生的知识掌握和应用程度；课后教师通过问卷调查，可了解到学生对教师教学的评价和建议，从而更好地改进教学方法，提高教学水平，实现师生共同进步的目标。
五、教学评价设计
Good bye……
