《椭圆及其标准方程》教学设计
环 节 内 容 理论依据或意图
教学目标 1、知识与技能■ 掌握椭圆的定义及其标准方程，会根据条件写出椭圆的标准方程。■ 通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。2、过程与方法■ 通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，在实际操作实验的基础上，形成椭圆的定义。■引导学生寻求椭圆标准方程的研究途径，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法. 3、情感、态度与价值观通过实验、观察、推断、类比、归纳等教学活动，使学生体验到数学学习活动充满着探索和创造,不仅激发了学生对本课的学习兴趣，使之能以饱满的热情参与学习活动,而且使学生对后续知识的研究产生积极的探求愿望，从而逐步形成良好的意志品质。 根据《高中数学课程标准》的要求，强调积极主动，乐于探究，勤于动手，培养分析和解决问题的能力，逻辑推理及理性思维的能力，结合学生的实际情况确定的。
教学方法 本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。先通过实验演示，创设问题情境；使学生在椭圆形成的演示教学过程中，理解定义的内涵和外延，也通过求椭圆的方程的过程对求轨迹方程的步骤和方法的巩固和加深，指导学生进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。 启发式教学是课堂教学的重要手段，是体现课改理念的一种主要方式。学生通过教师的引导，主动探究知识，解决问题，使学生感受知识形式过程，从而实现教学目标。
环 节 教 学 内 容 师生互动 资源运用及评价
教学过程教学过程 情景引入 一、创设情境引入概念（1）常娥2号绕月飞行的视频播放（2）太阳系中各大行星绕太阳运行的轨道展示 让同学们观察这样的轨迹图形是什么 充分利用资源，让同学感受我国先进的科技水平以及大自然的无穷魅力，激发他们的课堂兴趣及探究欲望。
（3）向同学们展示生活中的椭圆实例 让同学们去思考这样的图形是如何制作而得到的？ 让同学们感受到椭圆与生活密切相关，并引导他们去思考和探究，培养学生去发现问题，然后解决问题的良好品质。
以境激情 二、创设情景,揭示课题做一个实验（事先准备一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸,让两个学生做,其它学生观看）在演示过程中让学生思考两个问题：（1）、实验结果是一种怎样的图形？（2）、实验过程中动点和两定点之间线段有何种数量关系？ 教师结合实验展示，生动解说，提出问题。学生积极思考，教师适时引出课题。 （处理好一个情景，四探究四突破）以实际操作图形的发生过程为背景，自然地创设生活情景，激发学生求知欲，揭示课题，同时提高学生创新能力
研讨论证 三、归纳总结，形成概念在学生动手获得椭圆以及对数量特征理性分析的基础上，教师适时引导学生对概念进行深层的剖析. 探究一：为什么要？反之，若、会怎样？定义：到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。定点F1、F2称为椭圆的焦点。F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距记为2c设置悬念：为什么要把常数记为2a,两定点的距离记为2c？三，学法指导，探索新知1椭圆的标准方程的推导（1）如何建系？（探究二）回顾圆的建系，让学生明白建系的原则：对称，简洁（2）类比圆对椭圆进行建系方案1：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴方案2：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴（3）推导方程以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系。设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距│F1F2│为2c（c>0）、正常数为2，则F1（-c,0）、F2（c,0）根据椭圆的定义可得：│PF1│+│PF2│=2设置互动环节：让学生完成填空①│PF1│＝②│PF2│＝③探究三：如何去掉＝2式中的根号？从而引导学生对上式的化简。化简得 设，设置悬念：为什么要这样处理？ 简化为：可以证明它就是椭圆的方程，我们称它为椭圆的标准方程。探究四：再次展示椭圆在坐标系下的动态过程，强调变量与不变量的关系是什么，特别当动点运动到y轴时，找到a,b,c的对应。（4）若以方案2建立坐标系，则椭圆的焦点在y轴上。（学生们自己写出F1、F2的坐标，以及列出方程，推导出与上面类似的结果）由学生类别得出椭圆的标准方程为： 2.两种类型的椭圆方程的比较： 教师提出问题(为什么要加这个条件呢 )，学生思考，，分组讨论，探究,得出结论。给出多媒体展示，让同学们对圆进行建系，通过比较发现，怎样建系效果最好（方程形式简洁、优美）并类比圆该怎样对椭圆进行建系。教师讲解,学生注意观察并思考,积极参与,共同完成对无理方程的解答,教师要教给方法(一个根式怎么解 两个根式怎么解 )（化简是难点，这里根式多，次数高，字母多）让学生自己完成体验。教师评价，并提出是x轴和y轴的交换，能否把方程中的x和y交换呢？怎么知道焦点在哪个轴上 a2是哪个 多媒体展示（讨论，归纳，这两种形式的标准方程有何异同） 通过探究，突破对定义的内涵和外延的理解。学会建立适当的坐标系，是构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。通过探究，突破对建立坐标系好处的认识(推导简易,方程简明)让学生体会这样建系的好处。让学生体验方程推导的全过程通过探究三，突破对无理方程的化简的难点体现对称的思想及数学的美感体验学生运用类比的方法，很容易推导出焦点在y轴的椭圆的标准方程，体会成功的喜悦，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用。通过探究四，突破对a,b,c的理解和认识，初步掌握他们的几何意义，让同学们感受到数学的巧妙和美感，从而解除他们心中的疑惑
四，应用举例（深化提高）【例1】判断焦点的位置并求其坐标：（1） （2） （3）（学生口答完成）【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）已知椭圆的焦点坐标是F1（－4，0）、 F2（4，0），椭圆上任一点到F1、F2的距离之和为10，求椭圆的标准方程。（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2） a=3，【例3】已知：椭圆经过点A(2, ),B(-3, )，求它的标准方程. 多媒体展示例题教师提问，学生观察思考、动手，教师引导完成结合学生解答，多媒体展示解题过程要求学生从方程的特征入手，找出参数满足的条件，解出其结果 让学生掌握好基础知识。即掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法（看大小）。掌握标准方程中a、b、c 的关系。从而对椭圆标准方程的巩固利用练习，及时反馈，强化知识点的学习。并要求学生运用所学知识来解决实际问题
归纳小结 1 椭圆的定义2．两种类型的椭圆方程的比较（注意板书内容）3．总结判断焦点位置的方法。（看大小） 在多媒体上展示 通过小结，使学生理清重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。
六作业布置1．教材P95--96 练习 1题；习题8.1 1，2，3，42．思考题：已知直线经过椭圆的一个焦点，且与椭圆交于A、B两点，求的周长。 在多媒体上展示 体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。
环 节 教 学 内 容 设 计 意 图
板书设计 §8.1椭圆及其标准方程一、定义：│PF1│+│PF2│=常数（大于│F1F2│）＝2a焦点F1、F2 焦距│F1F2│＝2c 二、标准方程： 推导过程焦点在X轴上：焦点在Y轴上：【关系】投影仪屏幕 有利于学生对本节课的知识有一个系统的认识.
环节 内 容 理论依据或意图
评价分析 本节课在教学设计上，力求调动一切积极因素，激发学生的学习兴趣。在教师的引导启发下，使学生的思维围绕“探究”步步深入，最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性。我认为本节课达到如下教学效果：■ “生活情景”激发学生学习的兴趣，通过椭圆及其标准方程的探究过程，增强了学生的自信心和感受研究方法的思想渗透。■ 通过定义和方程的推导，掌握了一般曲线方程的推导方法，感受领会从数到形的探究过程。■ 椭圆定义和方程类型的应用（如例题、练习）培养了学生分类思想和运用数形结合思想解决实际问题的能力。■ 整个课堂设计关注学生个体差异，使不同的个体均获得不同程度的学习效果和收获。 评价分析是由教学过程的反馈，检验教学是否达到预期目的，教学目标是否实现，教学方法与手段运用是否恰当的一个重要环节。一个方面，它可以了解学生对知识掌握能力培养的程度；另一方面，它又为以后的教学构想调整与教学措施的设计提供依据。本节课始终围绕“实验观察——结论猜想——过程推导——探究应用”这一模式组织教学，充分利用课堂资源，让学生在观察中了解椭圆，在了解的基础上认识椭圆，在认识的过程中探究椭圆，最后再到一个“数字化”椭圆,让学生逐步由感性认识上升到理性认识。我认为这样安排更符合学生的认识规律，同时也揭示了知识的发生、发展过程，体现现代教育理论中的基本要求和大体方向。
x
y
x
y
x
y(共16张PPT)
打造“探究式”教学新课堂
——关于资源运用与创新的思考
太阳系
新课引入创新
嫦娥二号
生活中的椭圆
课程内容创新
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（用2c表示）。
1.椭圆的定义探究
为什么不直接用a、c表达距离
探究：为什么要求2a﹥2c
运动过程中，变的是什么？什么没有变？
0
0
0
r
2. 探究建系的方案：
r
r
(x-a)2+y2=r2
x2+(y-b)2=r2
x2+y2=r2
M
F1
F2
O
x
y
F1
F2
M
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
O
x
y
x
F1
F2
M
0
y
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭
圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距
离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则
F1、F2的坐标分别 是( c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得：
2
2
)
(
y
c
x
+
-
2
|
|
MF
=
2
2
)
(
y
c
x
+
+
1
|
|
MF
=
=
y
c
x
y
c
x
a
2
)
(
)
(
2
2
2
2
+
-
+
+
+
3. 设置互动：
移项，再平方
2
2
2
)
(
y
c
x
a
cx
a
+
-
=
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
y
a
c
a
cx
a
x
a
x
c
cx
a
a
+
+
-
=
+
-
再平方整理：
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
x
c
a
-
=
+
-
由椭圆定义可知：
1
2
2
2
=
+
y
a
x
2
2
-
c
a
,
0
,
,
2
2
2
2
>
-
\
>
>
c
a
c
a
c
a
即
2
=
)
0
(
>
b
b
2
2
-
c
a
令
4. 设置疑问：为什么这样处理？
它表示：
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
椭圆的标准方程⑴
F1
F2
M
0
x
y
5a.b.c 关系的认识及答疑
椭圆的标准方程⑵
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c）
x
M
F1
F2
y
O
探究：怎样得到焦点在y轴上的标准方程？
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
椭圆标准方程的再认识：
1.课题引入
教学结构体系
2.新课讲授
3.典题精析与课堂训练
4.课堂小结
动画展示解答疑惑
探究第二种方程形式
从太空走向生活，视频、动画与图片直观展示
椭圆动态形成的探究
椭圆定义
观察与思考
建系探究
类比推理
对椭圆进行建系
2a.2c设疑
方程关系式获得
多媒体设置互动环节
方程化简
类比探究化简方案
标准方程获得
b参数项的引入设疑
a.c关系探究
资源运用和教学设计评价
本堂教学示例中，我始终以“探究”核心组织教学，充分利用各种资源，对部分教学结构和环节进行了优化和创新。并带领学生由“走近椭圆----认识椭圆----探究椭圆----数字化椭圆”。以这样的思路设计教学，我认为更符合学生的认知规律，同时也揭示了知识的发生和发展过程，体现了现代教育理念的基本要求和大体方向。版面一：
各位来宾各位评委，大家好。今天，十分荣幸借这个平台向各位阐述我对当今高中数学教学的一点心得体会。
“参与、探究、引导化”，这是我对于如何运用资源进行教学创新的一点浅见，敬请各位评审指导。
版面二：
下面，我以椭圆标准方程的教学为例，来谈谈我对标题的理解。我将尝试利用各种资源，对教学中某些环节进行优化创新，积极引导学生主动参与、探究，力图降低教学难度，激发学生的学习兴趣。
版面三、四、五：
首先，在新课导入中，我利用多媒体资源，从学生现有的生活体验以及认知水平出发，带领他们走近椭圆。
展示嫦娥二号视频： 解释：这段视屏展示了椭圆与空间技术关系
展示太阳系动画： 解释：椭圆蕴含自然界物质运动的奥秘
展示生活中的椭圆 解释：感受椭圆的美
这些资源所展示的内容，着眼于高中生已有的知识体系，符合他们现有的认知水平，把抽象的数学变得亲切自然。实践也表明，这样引入不但能极大提高学生学习积极性，同时也创造了轻松愉快的教学气氛
版面六与七：
正式进入教学流程后，我从学生的认知角度出发，对部分环节做了变更，设置了探究互动，在教材原有结构上进行了优化创新。
比如一开始椭圆定义的获得，我采用一段FLASH动画展示椭圆的动态形成过程。
展示动画
我认为这样的处理，与教材原有内容相比，除了更直观的展示椭圆的动态形成过程以外，还能使学生从中发现疑难，激发他们主动探究问题的欲望，从中找出运动的规律特征，加深对定义的理解。
设置了三个问题：
对于第三个问题，我采用问题引导的方法，又设置了一道探究问题，让学生自己寻找答案。
版面八和九：
下面是方程的推导，其中建系是第一个难关，我在此先带领学生回顾圆的方程，进而探究椭圆的建系
展示
通过这一对比过程让学生领悟：对称、简洁原则建系原则，能够使方程的形式简化，优美。
并探究第二个建系方案
版面十：
接下来为了得出方程的关系式，我把教材上直接给定的关系式用多媒体方式设置成提问的互动环节，让学生来完成，这样就让原来刻板的表达式鲜活起来，可以有效的集中学生的注意力。
版面十一：
进入到方程的化简环节，有一个技术上的难点，就是根式的消除。我设置了一个小的探究问题
展示
引导学生思考，应该消除根式同时避免根式相乘，从而类比处理上式。
通过探究过程的设置，不仅有助于学生理解椭圆方程化简，还可以让学生从中领悟一些计算上的技巧。
设疑：B的引入
版面十二：
在得到标准方程后。探究方程形式二
版面十三：
方程二
版面十四：
展示动画ABC关系的探究。回应2个问题
版面十五：
小结
版面十六：
好，关于探究创新的内容就介绍到这，下面，我展示一下这节课的主要流程。展示：
本节课我主要在第一和第二流程上使用多媒体资源，其中引入流程的材料均取自日常学习生活，是学生能够接触到或者感兴趣的内容和信息，因而有助于激发学习兴趣，便于新课讲授的开展。
而在讲授流程中，我将该流程划分为若干环节，每一个环节都配有相关的问题，或是探究、或是设疑，并在多媒体资源的辅助下引导教学进程。这样的设置，条理清晰，层次分明，起到了纲举目张的作用，而最后的动画资源展示，不但对本堂课程内容做了浓缩性总结，还解答了前面设置的疑问，更是起到了画龙点睛的效果。
版面十七：
评价
版面十八
致谢
