(共23张PPT)
正弦定理
一、背景分析：
1.教材分析：
解决三角形问题的有力工具
3.学情分析：
已掌握三角形中有关知识 分小组合作
初步数学建模能力
2.重难点分析：
正弦定理的发现、证明和简单应用
新浏阳河大桥将于2012年1月动工，假设让你设计如何测量出桥的长度？（只有测角仪和皮尺）
原有知识和学习目标之间搭建了平台
宽松、和谐、主动积极
提高学习兴趣、学习愿望
A
B
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
课堂活动1：
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
C
a
B
c
b
A
教师首先引导学生探究直角三角形中已有的边角关系:
将上述关系式整理变形，如何表示斜边c？
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
分小组合作探究：关系式在等边三角形、等腰三角形、一般三角形中是否成立？
课堂活动1：
合作
主动
创造
倾听
思考
交流
演示实验：几何画板
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
学生计算、验证、猜想：
等边三角形中成立
斜三角形中不成立
任意三角形中成立
只在直角三角形中成立
直角三角形中成立
课堂活动2：分小组合作探究证明 ：
Rt 中：
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
C
a
B
c
b
A
在锐角三角形中：
A
B
C
a
b
c
D
在钝角三角形中：
D
A
B
C
a
c
b
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
分类讨论思想
特殊
一般
板书课题：
正弦定理的准确描述：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
正弦定理
赞赏
成功
对称美
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
即：
课堂活动3：
各学习小组互相编题，给出三角形中的三个元素求其它元素：
讨论
交流
总结
掌握
归纳
三边
三角
两边一角
两角一边
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
学生归纳总结：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其它边角；
（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，求其它边角；
深刻
体验
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
掌握
课堂活动3：
各学习小组互相编题，给出三角形中的三个元素求其它元素：
讨论
交流
总结
掌握
归纳
三边
两边一角
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
解决情境中的实例：
科学价值
应用价值
A
B
C
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
课外兴趣活动：新浏阳河大桥即将动工，了解或测量、计算桥面实际距离；
A
B
C
多媒体展示大桥图片：
欣赏
憧憬
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
师生共同分享收获：
一份回忆：已学过的三角形知识；
一个定理：正弦定理；
一种能力：特殊到一般，未知到已知；
一种品质：大胆猜想，敢于探索的精神；
教学过程
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
教学过程
三、课堂结构：
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
设置情境
发现证明
定理应用
归纳总结
回归实际
四、教学资源运用与课堂教学设计评价：
1、“数学教学是数学活动的教学”、处理教材、采用实验探究、自主学习的研究性学习方式；
课堂活动1：正弦定理的发现；
课堂活动2：正弦定理的证明；
课堂活动3：正弦定理的应用；
2、蕴含丰富的数学思想方法：类比联想、特殊到一般
四、教学资源运用与课堂教学设计评价：
？
直角
三角形
等边
三角形
等腰
三角形
一般
三角形
突出数学本质，既有化归思想，又有逻辑推理；
四、教学资源运用与课堂教学设计评价：
在锐角三角形中：
A
B
C
a
b
c
D
在钝角三角形中：
D
A
B
C
a
c
b
垂直做媒介：一般三角形转化为直角三角形
3、强调课程与实际生活的联系，注重知识的发生过程；
四、教学资源运用与课堂教学设计评价：
A
B
C
A
B
C
4、成功运用“教学环境”这一重要教学资源：
学习者
教学材料
支持系统
达成学习目标
四、教学资源运用与课堂教学设计评价：
谢谢！
株洲市第八中学 陈一枝正弦定理教学设计
背景分析
教材分析
《正弦定理》是高中数学必修5第一章第一节的内容，是学生学习了三角函数、平面向量知识之后要掌握的重要定理，是解决有关三角形问题的有力工具，常与其它知识在高考中做综合考察。正弦定理教学时数的安排为2课时，我安排第一课时讲正弦定理的发现、证明和简单的应用，第二课时讲正弦定理的实际应用。
重、难点分析
正弦定理的发现、证明及简单应用
学情分析
学生已掌握三角形中的有关知识，特别是利用直角三角形定义锐角三角函数；已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型；已养成了良好的小组合作学习习惯。
教学目标
知识与技能：
掌握正弦定理，能运用正弦定理解决一些三角形中简单问题；
过程与方法：
通过对任意三角形边角关系的探索，发现三角形中的边长与角度之间的数量关系；通过正弦定理的证明和应用，培养学生探索问题、分析问题和解决问题的能力；
情感态度与价值观：
通过对三角形边角关系的探究，让学生经历数学探究活动的过程，体验获取知识的感受，领会数学的科学价值、应用价值、美学价值；
课堂结构
设置情境——发现证明——定理应用——归纳总结——回归实际
教学过程
授课地点：计算机房
设置情境：新浏阳河大桥将于2012年1月动工，假设让你设计如何测量出桥的长度？（只有测角仪和皮尺）
（很多学生会考虑通过构造直角三角形来解决，但由于地形等因素无法构造直角三角形那怎么办？这就需要我们进一步学习研究任意三角形中边与角的有关知识，这样就在原有知识和学习目标之间搭建了平台。）
课堂活动1: 教师引导学生探究直角三角形中存在的边角关系，学生可能会给出勾股定理、锐角三角形函数的定义，将这些关系式整理变形，如何表示斜边c？学生容易得到=，教师由此再提出问题：牛顿由一个苹果发现了万有引力定力，那么我们能否把直角三角形中的边角关系推广到等边、等腰、以及一般三角中去呢？各学习小组合作探究，在几何画板中经过多次计算、验证，猜想出以下结论：显然勾股定理只在直角三角形中成立，在直角三角形、等边三角形中成立，在斜三角形中不成立，而在任意三角形中都是成立的。关系式学生已经从感官上接受了，接下来要进行理论上的证明，这一顺序也恰是思维由感性到理性的完善。
课堂活动2：分小组合作探究证明；
（学生回忆关系式的发现过程，通过直角三角形中的三角函数关系经过恒等变形就可以得出，在斜三角形中只要通过作高转化为直角三角形即可求证，并分锐角和钝角三角形两种情况。当然有的小组还可能得到其它证明方法，我认为在本堂课上不做更深的探究，而是布置课外探究作业让学生自己探讨，并可考虑再上一节研究性学习课，这样就把数学探究活动延伸到课外。）
板书课题：正弦定理，教师给出正弦定理的准确描述：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；即：
（教师解析正弦定理，赞赏学生这节课发现了三角学中的一个非常重要的定理，让学生在数学活动中获取成就感，领会数学的美学价值。并让学生在互联网上搜索，了解有关正弦定理的数学史及在科学上取得的成就。）
课堂活动3：让各学习小组互相编题，给出三角形中三个元素求其它元素。
（在这个探究活动中，有的学生给出三角，有的给出三边，有的给两角一边还有的给出了两边一角求其它边角，学生通过计算就会发现有的三角形无解，有的一解，有的有两解，这时教师可选择典型案例通过几何画板去画这些三角形，第一对于三角形解的个数问题不作更深的讲解，只是让学生明白具体案例中产生无解、两解的原因及其具体怎么去判断增解，教师不给出一般性的结论，第二让学生自己从案例中归纳总结，正弦定理可以解决三角形中的两类问题：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其它边角；
（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，求其它边角；
这正是我们教科书上的两个例题的模型，学生就能够迎刃而解；
其中已知三边求三角和已知两边及其夹角这种情形虽然可以确定一个三角形，但发现正弦定理不能有效地解决它们，那就还需更进一步探究三角形中其它的边角关系，为后面学习余弦定理做出铺垫。
回归情境：将实际问题抽象成数学模型，只要测量出两角一边就可以计算出桥长，原来解决不了的问题通过这节课的学习可以解决了，这样使学生认为艰辛的付出有回报，并体会到学习数学知识是有用的。我布置了课外兴趣小组实践活动：有兴趣的同学到时可以实地测量、计算桥的长度，看看理论值与实际值是否一致；
媒体展示：教师将漂亮的新浏阳河大桥图片展现给学生欣赏（这样让学生体会到数学的科学价值和应用价值，同时也促使学生对美好事物的向往，对未来的憧憬，把课堂气氛推向高潮。）
分享收获：师生共同分享这节课的收获，最后我以“四个一”结束本节课：一份回忆：已学过的三角形知识；一个定理：正弦定理；一种能力：特殊到一般，未知到已知的化归能力；一种品质：大胆猜想，敢于探索的精神。（这样的归纳总结避免了学生的被动学习、抽象记忆，让学生通过自主学习体验获取知识的感受，实现本节课的情感目标。）
总的来说，这节课我就新课程下定理课教学课堂模式做了一些探索，从课堂结构来看，我设计了五个部分，首先从实际生活出发提出问题，通过探究直角三角形中的边角关系，引导学生能否将其推广到一般三角形中去，由此发现定理，证明过程中又将一般三角形转化为直角三角形来处理，然后通过学生自己编题归纳总结出正弦定理可以解决三角形中的两类问题，最后回归实际解决问题。
布置作业：教材P4：1、2；课外探究作业：证明正弦定理的其它方法；
教学资源的运用与课堂设计评价：
1、在这节课的教学中，我立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念，对教材进行了处理，设计了三个课堂活动让学生亲身感受定理发现、证明过程和应用，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式。
2、在设计正定理的发现及其证明两个课堂活动中，蕴涵了丰富的数学思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，类比联想又有严格的演绎推理，定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理，既有化归思想，又有逻辑推理，符合学生的认知规律。几何画板的运用让学生形成体验性认知，有效地将现代教育技术手段与数学学科整合起来。
3、教学设计中注意了课程与实际生活的联系，注重了知识的发生过程，从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题，让学生经历提出问题、探索问题、解决问题和应用问题的过程。
4、这节课成功的运用了“教学环境”这一重要的教学资源，它不单指教学过程发生的地点，而是教师创设的教学环境使学习者与教学材料、支持系统之间在进行交流的过程中形成了良好的氛围，其最突出的在于交互方式以及由此带来的交流效果为帮助学生达成学习目标起了重要的作用。尊敬的各位评委老师，今天我说课的题目是《正弦定理》，《正弦定理》是高中数学必修5第一章第一节的内容，是学生学习了三角函数、平面向量知识之后要掌握的重要定理，是解决有关三角形问题的有力工具，常与其它知识在高考中做综合考察。正弦定理教学时数的安排为2课时，我安排第一课时讲正弦定理的发现、证明和简单的应用，第二课时讲正弦定理的实际应用。授课地点：计算机房接下来我将详细的向大家介绍教学过程：我是这样设计情境的，引入实际问题，假设让你设计新浏阳河大桥如何测量出桥的长度？（只有测角仪和皮尺）很多学生会考虑通过构造直角三角形来解决，但由于地形等因素无法构造直角三角形那怎么办？这就需要我们进一步学习研究任意三角形中边与角的有关知识，这样就在原有知识和学习目标之间搭建了平台。
我设计了课堂活动1: 教师引导学生探究直角三角形中存在的边角关系，学生可能会给出勾股定理、锐角三角形函数的定义，将这些关系式整理变形，如何表示斜边c？学生容易得到=，教师由此再提出问题：牛顿由一个苹果发现了万有引力定力，那么我们能否把直角三角形中的边角关系推广到等边、等腰、以及一般三角中去呢？各学习小组合作探究，在几何画板中经过多次计算、验证，猜想出以下结论：显然勾股定理只在直角三角形中成立，在直角三角形、等边三角形中成立，在斜三角形中不成立，而在任意三角形中都是成立的。关系式学生已经从感官上接受了，接下来要进行理论上的证明，这一顺序也恰是思维由感性到理性的完善。
我设计了课堂活动2：分小组合作探究证明在任意三角形中成立；学生回忆关系式的发现过程，关系式是通过直角三角形中的三角函数关系经过恒等变形得出的，根据我们已有的知识，在一般三角形中只要通过作高转化为直角三角形即可求证，并分锐角和钝角三角形两种情况，这也体现了化归的思想。当然有的小组还可能得到其它证明方法，我认为在本堂课上不做更深的探究，而是布置课外探究作业让学生自主探讨，并可考虑再上一节研究性学习课，这样就把数学探究活动延伸到课外。）
教师赞赏学生发现了三角学中的一个非常重要的定理，给出正弦定理的准确描述，解析定理，引导学生欣赏数学中的对称美，并让学生在互联网上搜索，了解有关正弦定理的数学史及在科学上取得的成就。）
为了使学生掌握和应用好定理，我设计了课堂活动3：让各学习小组互相编题，给出三角形边角中三个元素求其它元素。在这个课堂活动中，有的学生给出有的给出两角一边、有的给出三边等等等等，学生们互相计算，发现有的三角形无解，有的一解，有的两解，这样设计第一让学生自己从案例中归纳总结，正弦定理可以解决三角形中的两类问题，这正是我们教科书上的两个例题的模型，第二，对于三角形解的个数问题不作更深的讲解，只是让学生明白具体案例中产生无解、两解的原因及其具体怎么去判断增解，教师不给出一般性的结论。 其中已知三边求三角和已知两边及其夹角这种情形虽然可以确定一个三角形，但发现正弦定理不能有效地解决它们，那就还需更进一步探究三角形中其它的边角关系，为后面学习余弦定理做出铺垫。
再回归情境：学生发现只要测量出两角一边就可以计算出桥长，学生体会到了学习数学知识是有用的。我布置了课外实践活动：同学们到时可以实地测量、计算桥的长度，看看理论值与实际值是否一致；教师将漂亮的新浏阳河大桥图片展现给学生欣赏，这样让学生体会到数学的科学价值和应用价值，把课堂气氛推向高潮。师生共同分享这节课的收获，最后我以“四个一”结束本节课：一份回忆、一个定理、一种能力、一种品质。这样的归纳总结避免了学生的被动学习、抽象记忆，让学生通过自主学习体验获取知识的感受，实现这节课的情感目标。
总的来说，这节课我就新课程下定理课教学课堂模式做了一些探索，从课堂结构来看，我设计了五个部分，首先从实际生活出发提出问题，通过探究直角三角形中的边角关系，引导学生能否将其推广到一般三角形中去，由此发现定理，证明过程中又将一般三角形转化为直角三角形来处理，然后通过学生自己编题归纳总结出正弦定理可以解决三角形中的两类问题，最后回归实际解决问题。
最后，我想就这节课在教学资源的运用与课堂设计方面谈谈自己的一点想法：
1、在这节课的教学中，我立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念，对教材进行了处理，设计了三个课堂活动让学生亲身感受定理发现、证明过程和应用，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式。
2、在设计正定理的发现及其证明两个课堂活动中，蕴涵了丰富的数学思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，类比联想又有严格的演绎推理，定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理，既有化归思想，又有逻辑推理，符合学生的认知规律。几何画板的运用让学生形成体验性认知，有效地将现代教育技术手段与数学学科整合起来。
3、教学设计中注意了课程与实际生活的联系，注重了知识的发生过程，从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题，让学生经历提出问题、探索问题、解决问题和应用问题的过程。
4、这节课成功的运用了“教学环境”这一重要的教学资源，它不单指教学过程发生的地点，而是教师创设的教学环境使学习者与教学材料、支持系统之间在进行交流的过程中形成了良好的氛围，其最突出的在于交互方式以及由此带来的交流效果为帮助学生达成学习目标起了重要的作用。
