2020-2021学年人教版 九年级下册数学 27.2 相似三角形 课时训练（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版 九年级下册数学 27.2 相似三角形 课时训练（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 494.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-24 08:08:25 | ||
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文档简介
人教版 九年级下册数学 27.2 相似三角形 课时训练
一、选择题
1. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
2. (2019?沈阳)已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是
A．3∶5 B．9∶25
C．5∶3 D．25∶9
3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
5. (2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A． B．
C． D．5
6. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
7. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )
A. (，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2)
8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
9. (2019?烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，与是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为__________．
10. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．
11. (2019?永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．
12. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC边上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、，若=2，则+= ．
13. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．
三、解答题
15. （2020·通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB?PA，
求证：AB⊥CD．
16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)设＝.
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
17. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于点D，DE交BC于点F，且EF＝EC.
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若BD＝4，BC＝8，⊙O的半径OB＝5，求EC的长．
人教版 九年级下册数学 27.2 相似三角形 课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】B [解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
2. 【答案】C
【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD=10，A'D'=6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故选C．
3. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．
4. 【答案】 B
【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．
5. 【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
6. 【答案】 B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
7. 【答案】B
【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，
∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．
8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
9. 【答案】
【解析】如图，连接并延长，并延长，与的交点即为位似中心P点，
由图可知、B、P在一条直线上，则P点横坐标为–3，
由图可得和的位似比为，，
所以，解得PB=2，
所以P点纵坐标为2，即P点坐标为．故答案为：．
10. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．
11. 【答案】
【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，
∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，
∴，()2，
∴S1∶S2，故答案为：．
12. 【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD =∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比为1︰3，
∵△PEF的面积为=2，∴=9S=9×2=18，
∴+==18．
13. 【答案】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：22＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．
14. 【答案】
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．
三、解答题
15. 【答案】
解：如图，连结AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PC?PD＝PB?PA，∵PC2＝PB?PA，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直径），AB是直径，∴AB⊥CD．
16. 【答案】
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC.
(2)①∵EF∥AB，
∴＝＝.
又∵BC＝BE＋EC＝12，
∴BE＝4.
②∵＝，∴＝.
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴＝2＝2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.
17. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
18. 【答案】
解：(1)证明：如图，连接OC.∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵DE⊥AB，
∴∠OBC＋∠DFB＝90°.
∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB＋∠ECF＝90°，∴OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线．
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝6.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB.
又∵∠ABC＝∠FBD，∴△ABC∽△FBD，
∴＝，∴＝，
∴BF＝5，∴CF＝BC－BF＝3.
∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠FCE＝90°，
∴∠ACO＝∠FCE.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.
∵∠FCE＝∠EFC，
∴∠ACO＝∠FCE＝∠CAO＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，∴＝，
∴EC＝＝＝.
一、选择题
1. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
2. (2019?沈阳)已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是
A．3∶5 B．9∶25
C．5∶3 D．25∶9
3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
5. (2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A． B．
C． D．5
6. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
7. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )
A. (，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2)
8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
9. (2019?烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，与是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为__________．
10. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．
11. (2019?永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．
12. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC边上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、，若=2，则+= ．
13. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．
三、解答题
15. （2020·通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB?PA，
求证：AB⊥CD．
16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)设＝.
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
17. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于点D，DE交BC于点F，且EF＝EC.
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若BD＝4，BC＝8，⊙O的半径OB＝5，求EC的长．
人教版 九年级下册数学 27.2 相似三角形 课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】B [解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
2. 【答案】C
【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD=10，A'D'=6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故选C．
3. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．
4. 【答案】 B
【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．
5. 【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
6. 【答案】 B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
7. 【答案】B
【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，
∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．
8. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
9. 【答案】
【解析】如图，连接并延长，并延长，与的交点即为位似中心P点，
由图可知、B、P在一条直线上，则P点横坐标为–3，
由图可得和的位似比为，，
所以，解得PB=2，
所以P点纵坐标为2，即P点坐标为．故答案为：．
10. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．
11. 【答案】
【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，
∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，
∴，()2，
∴S1∶S2，故答案为：．
12. 【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD =∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比为1︰3，
∵△PEF的面积为=2，∴=9S=9×2=18，
∴+==18．
13. 【答案】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：22＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．
14. 【答案】
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．
三、解答题
15. 【答案】
解：如图，连结AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PC?PD＝PB?PA，∵PC2＝PB?PA，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直径），AB是直径，∴AB⊥CD．
16. 【答案】
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC.
(2)①∵EF∥AB，
∴＝＝.
又∵BC＝BE＋EC＝12，
∴BE＝4.
②∵＝，∴＝.
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴＝2＝2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.
17. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
18. 【答案】
解：(1)证明：如图，连接OC.∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵DE⊥AB，
∴∠OBC＋∠DFB＝90°.
∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB＋∠ECF＝90°，∴OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线．
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝6.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB.
又∵∠ABC＝∠FBD，∴△ABC∽△FBD，
∴＝，∴＝，
∴BF＝5，∴CF＝BC－BF＝3.
∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠FCE＝90°，
∴∠ACO＝∠FCE.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.
∵∠FCE＝∠EFC，
∴∠ACO＝∠FCE＝∠CAO＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，∴＝，
∴EC＝＝＝.