2020-2021学年八年级数学北师大版下册 1.1.3等腰三角形（第三课时 17张）

第一章三角形的证明
等腰三角形3
等腰三角形的两腰相等。
等腰三角形的性质
等腰三角形的两底角相等。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高互相重合。简称“三线合一”
等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，对称轴是顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线。
（定义）
（性质定理）
（性质定理）
（轴对称性）
1
2
3
4
复习回顾
我们学过的等腰三角形的性质有哪些？
边：
等腰三角形的两腰相等；
角：
等腰三角形的两底角相等；简述为：等边对等角.
重要线段：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。简述为：“三线合一”
对称性：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，对称轴是顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线。
探究新知
你能画一个等腰三角形并作出它的两底角的平分线吗?
探究1：等腰三角形两底角的平分线有何关系?
做一做：
通过观察、测量,可猜想:等腰三角形两底角的平分线
_________.?你能尝试证明你猜想的结论吗?
探究新知
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CD和BE是△ABC的角平分线.
求证:CD=BE.
　相等　
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∵BE,CD为∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠3=∠4= ,∠1=∠2= .
∴∠4=∠1.
∠4=∠1, AC=AB,∠A=∠A.?
∴△ACD≌△ABE.
∴CD=BE?
在△ACD和△ABE中
结论：等腰三角形两底角的平分线相等。
探究2：等腰三角形两腰上的中线有何关系?
探究新知
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CD和BE是△ABC的中线.
求证:BE=CD.
相等
证明: ∵BE,CD为△ABC的中线,
∴AE= AD=
∵ AB=AC
∴AE=AD.
AB=AC,∠A=∠A,AE=AD.?
∴△ABE≌△ACD.
∴BE=CD?
在△ABE和△ACD中
结论：等腰三角形两腰上的中线相等。
探究3：等腰三角形两腰上的高线有何关系?
探究新知
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CD和BE是△ABC的高线.
求证:BE=CD.
相等
证明: ∵BE,CD为△ABC的高线,
∴
∴
∠AEB=∠ADC,∠A=∠A，AB=AC.?
∴△ABE≌△ACD.
∴BE=CD?
在△ABE和△ACD中
结论：等腰三角形两腰上的高线相等。
D
E
等腰三角形重要线段的结论:
等腰三角形两个底角的平分线_________;?
等腰三角形两腰上的高_________;?
等腰三角形两腰上的中线_________.?
归纳总结
　相等　
　相等　
　相等　
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
选D，因为∠1和∠2都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
请做选择：
A. 都对
B. （1）对（2）错
C. （1）错（2）对
D. 都错
（1） （2）
讲授新课
C
A
B
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,
求证：AB=AC
讲授新课
等腰三角形的判定
一
你准备如何证明：
A. 作∠A的平分线
B. 作BC上的中线
C. 作BC上的高
D. 不需要做辅助线
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,
求证：AB=AC
讲授新课
等腰三角形的判定
一
例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
典例精析
如何证△ABD≌△DCA
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
要证AE=DE你将怎么做？
A. △AEB≌△DEC
B. ∠DAC=∠ADB
讲授新课
E
2
1
A
B
C
D
72°
36°
③如果AD=4cm，则
1.已知:如图,∠A=36°，
∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1= , ∠2= ；
②图中有 个等腰三角形；
BC= cm；
个等腰三角形.
④如果过点D作DE∥BC,
交AB于点E,则图中有
当堂小测
求证:△OBC是等腰三角形
2.如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线，交点为O．
当堂小测