第五章
生活中的轴对称
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．(2020·广州市从化区二模)新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是( A )
2．长方形是轴对称图形(如图)，对称轴可以是直线( D )
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
3．已知等腰三角形有一个角为70°，那么它的底角为( B )
A．45°或55°
B．70°或55°
C．55°
D．70°
4．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( D )
AC＝A′C′
B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN
D．AB∥B′C′
5．下列语句正确的是( C )
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．等腰三角形的对称轴就是角平分线
6．若线段AB的垂直平分线上一点P到点A的距离PA＝5，则点P到点B的距离PB( B )
A．大于5
B．等于5
C．小于5
D．无法确定
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6
cm，则点D到AB的距离为( B )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
8．如图，AB＝AC，BD＝BC.若∠A＝40°，则∠CBD的度数是( D )
A．60°
B．70°
C．35°
D．40°
9．如图，等腰三角形ABC的周长为17，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( A )
A．11
B．12
C．13
D．16
10．如图是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是( D )
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．剪纸艺术充分体现了我国劳动人民的智慧，下图中的剪纸图案共有___2_____条对称轴．
12．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为___60°___．
13．如图，∠AOB＝25°，P是∠AOB内的一点，P1是点P关于直线OA的对称点，P2是点P关于直线OB的对称点，则∠P1OP2＝__50°_．
14．如图，四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，AC＝5，BD＝7，则四边形ABDC的周长为___24_____．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠B＝30°，则∠DAC＝___60°_____．
16．如图，AD垂直平分线段BC，EF垂直平分线段AB，点E在AC上，且BE＋CE＝20
cm，则AB＝___20___cm.
17．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF＝__70°______．
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
18．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半，并说明图形是什么形状．
解：图略．图①为五角星，图②为一棵树．
19．如图，两个班的学生分别在C，D两处参加植树劳动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？请在图中表示出来．
如图，点M即为所求．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P.求点P到AB的距离．
解：如答图，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F.
∵P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∴S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝PD·AB＋PE·BC＋PF·AC＝PD·(AB＋BC＋AC)＝PD·(7＋24＋25)＝28PD.
又∵∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB·BC＝×7×24＝84，
∴28PD＝84，解得PD＝3.
∴点P到AB的距离为3.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.求证：AD＝AE.
证明：连接AO.
∵AB＝AC，O是底边BC的中点，
∴∠DAO＝∠EAO.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴∠AOD＋∠DAO＝∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠AOD＝∠AOE，即OA平分∠DOE.
22．如图，∠A＝90°，E为BC上的一点，点A和点E关于BD对称，点B和点C关于DE对称．求∠C的度数．
解：∵点A和点E关于BD对称，
∴∠ABD＝∠EBD，即∠ABC＝2∠EBD.
∵点B和点C关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，∴∠ABC＝2∠C.
∵∠A＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，
∴2∠C＋∠C＝3∠C＝90°，∴∠C＝30°.
如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为6
cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16
cm，求OA的长．
解：(1)∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AE＝CE.
∴AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC.
∵△ADE的周长为6
cm，
即AD＋DE＋AE＝6
cm，∴BC＝6
cm；
(2)∵AB边的垂直平分线l1与AC边的垂直平分线l2交与点O，∴OA＝OB＝OC.
∵△OBC的周长为16
cm，即OC＋OB＋BC＝16
cm，
∴OC＋OB＝16－6＝10(cm)
∴OC＝5
cm，∴OA＝5
cm.
五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
24．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是BC边的中点，连接AD，AE.求∠DAE的度数．
解：∵AB＝AC，∠ABC＝35°，∴∠C＝35°.
∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝35°.
∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°－35°＝55°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝55°－35°＝20°.
25．已知△ABC为等边三角形．
(1)如图，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM交于点Q，猜测∠BQM等于多少度，并说明理由；
(2)若点M是BC延长线上任意一点，点N是CA延长线上任意一点，且BM＝CN，BN与AM的延长线交于点Q，(1)中结论还成立吗？画出相应图形，说明理由．
解：∠BQM＝60°.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°.
又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN.
∵∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°；
∴∠BAM＋∠ABN＝60°，∴∠AQB＝120°，
∴∠BQM＝60°；
(2)：成立，所画图形如图所示．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°.
又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，
∴∠BAM＝∠NBC.∵∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠NBA＝∠CAM.
而∠CAM＋∠QAB＝180°－∠BAC＝120°，
∴∠NBA＋∠QAB＝120°.
∴∠BQM＝180°－(∠NBA＋∠QAB)＝60°.第五章
生活中的轴对称
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．(2020·广州市从化区二模)新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是( )
2．长方形是轴对称图形(如图)，对称轴可以是直线( )
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
3．已知等腰三角形有一个角为70°，那么它的底角为( B )
A．45°或55°
B．70°或55°
C．55°
D．70°
4．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( )
AC＝A′C′
B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN
D．AB∥B′C′
5．下列语句正确的是( )
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．等腰三角形的对称轴就是角平分线
6．若线段AB的垂直平分线上一点P到点A的距离PA＝5，则点P到点B的距离PB( )
A．大于5
B．等于5
C．小于5
D．无法确定
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6
cm，则点D到AB的距离为( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
8．如图，AB＝AC，BD＝BC.若∠A＝40°，则∠CBD的度数是( )
A．60°
B．70°
C．35°
D．40°
9．如图，等腰三角形ABC的周长为17，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )
A．11
B．12
C．13
D．16
10．如图是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是( )
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．剪纸艺术充分体现了我国劳动人民的智慧，下图中的剪纸图案共有________条对称轴．
12．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为______．
13．如图，∠AOB＝25°，P是∠AOB内的一点，P1是点P关于直线OA的对称点，P2是点P关于直线OB的对称点，则∠P1OP2＝___．
14．如图，四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，AC＝5，BD＝7，则四边形ABDC的周长为________．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠B＝30°，则∠DAC＝_______．
16．如图，AD垂直平分线段BC，EF垂直平分线段AB，点E在AC上，且BE＋CE＝20
cm，则AB＝______cm.
17．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF＝________．
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
18．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半，并说明图形是什么形状．
19．如图，两个班的学生分别在C，D两处参加植树劳动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？请在图中表示出来．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P.求点P到AB的距离．
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.求证：AD＝AE.
22．如图，∠A＝90°，E为BC上的一点，点A和点E关于BD对称，点B和点C关于DE对称．求∠C的度数．
如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为6
cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16
cm，求OA的长．
五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
24．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是BC边的中点，连接AD，AE.求∠DAE的度数．
25．已知△ABC为等边三角形．
(1)如图，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM交于点Q，猜测∠BQM等于多少度，并说明理由；
(2)若点M是BC延长线上任意一点，点N是CA延长线上任意一点，且BM＝CN，BN与AM的延长线交于点Q，(1)中结论还成立吗？画出相应图形，说明理由．
