(共28张PPT)
3.2
圆的对称性
数学北师大版
九年级下
设⊙O的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有哪几种？
（1）点P在⊙O上
OP＝r
（2）点P在⊙O内
OP＜r
（3）点P在⊙O外
OP＞r
复习导入
新知讲解
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
图
3-8
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
新知讲解
利用折叠的方法，我们可以得到
新知讲解
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
想一想
新知讲解
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．特别地，
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
新知讲解
做一做
在等圆
⊙O
和
⊙O′
中，分别作相等的圆心角
∠AOB
和
∠A′O′B′（如图
3-9），固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得
OA
与
O′A′
重合．
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．
图
3-9
新知讲解
小红认为
=
，AB=A′B′．她是这样想的：
∵
半径
OA
与
O′A′
重合，∠AOB
=∠A′O′B′，
∴
半径
OB
与
O′B′
重合．
∵
点
A
与点
A′
重合，点
B
与点
B′
重合，
∴
与
重合，弦
AB
与弦
A′B′
重合．
∴
=
，AB=A′B′．
⌒
AB
⌒
A′B′
⌒
AB
⌒
A′B′
⌒
AB
⌒
A′B′
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
新知讲解
新知讲解
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
想一想
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
新知讲解
新知讲解
例
如图
3-10，AB，DE
是
⊙O
的直径，C
是
⊙O
上的一点，且
=
．BE与CE的大小有什么关系？为什么？
⌒
CE
⌒
AD
新知讲解
解：BE
=
CE．理由是：
∵
∠AOD
=∠BOE，
∴
=
．
又∵
=
，
∴
=
．
∴
BE
=
CE．
图
3-10
⌒
AD
⌒
BE
⌒
AD
⌒
CE
⌒
BE
⌒
CE
新知讲解
在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．
议一议
课堂练习
1、下列说法中，不正确的是(
)
A.
圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.
圆的每一条直径都是它的对称轴
C.
圆有无数条对称轴
D.
圆的对称中心是它的圆心
B
课堂练习
解：A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B错误；
C.圆有无数条对称轴，正确；
D.圆的对称中心是它的圆心，正确．
故选：B．
课堂练习
2、如图，C，D为半圆的三等分点，则下列结论：?①
;?②∠AOD=∠DOC=∠COB;?③AD=CD=
OC;?④△ADO绕点D逆时针旋转60°与△ODC重合.其中正确的共有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
⌒
⌒
⌒
AD=CD=BC
D
课堂练习
解：因为C，D为半圆的三等分点，所以
，故①正确;
在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，
所以∠AOD=∠DOC=∠COB，AD=CD=BC．
⌒
⌒
⌒
AD=CD=BC
课堂练习
又因为∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
所以∠AOD=∠DOC=∠COB=60
°
．
易知△AOD，△DOC和△COB为全等的等边三角形，
故①②③④正确．
故选D．
课堂练习
3、如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于(
)
A.
100°
B.
110°
C.
120°
D.
135°
C
课堂练习
解：连接OC，OD，
∵BC=CD=DA，
∴∠COB=∠COD=∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，
∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，
又∵OC=OD，OB=OC，
∴△OCD,△OCB是等边三角形，
∴∠BCD=2×60°=120°，
故选C．
拓展提高
4、如图，在⊙O中，∠AOB=2∠COD，则
的大小关系是
(
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
⌒
⌒
AB与2CD
⌒
⌒
AB＞2CD
⌒
⌒
AB＜2CD
⌒
⌒
AB＝2CD
C
拓展提高
解：作∠AOB的角平分线OE交⊙O于点E，
∵OE平分∠AOB，
∴∠AOE=∠EOB，
∵∠AOB=2∠COD，
∴∠AOE=∠EOB=∠COD，
∴
，
∴
．
故选C．
⌒
⌒
⌒
AE=BE=
CD
⌒
⌒
AB=2CD
课堂总结
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合.
因此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心.
板书设计
课题：3.2
圆的对称性
?
教师板演区
?
学生展示区
一、圆的对称性
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P72练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P73练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级下册3.2圆的对称性导学案
课题
3.2
圆的对称性
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力.
2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间的相等关系定理.
重点
难点
圆心角、弧、弦之间的相等关系定理.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
下列说法正确的是
A.
相等的圆心角所对的弧相等
B.
在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C.
在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D.
相等的弦所对的弧相等
2、
在同圆或等圆中，下列说法错误的是
A.
相等弦所对的弧相等
B.
相等弦所对的圆心角相等
C.
相等圆心角所对的弧相等
D.
相等圆心角所对的弦相等
合
作
探
究
探究一：
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
利用折叠的方法，我们可以得到圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
探究二：
在等圆⊙O
和
⊙O′中，分别作相等的圆心角∠?AOB
和∠?A′O′B′（如图
3-9），固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得
OA
与
O′A′重合．
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
探究三：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
例
如图
3-10，AB，DE
是
⊙O
的直径，C是⊙O
上的一点，且．BE
与CE
的大小有什么关系？为什么？
在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．
当
堂
检
测
1、下列说法中，不正确的是(
)
A.
圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.
圆的每一条直径都是它的对称轴
C.
圆有无数条对称轴
D.
圆的对称中心是它的圆心
2、
如图，C，D为半圆的三等分点，则下列结论：绕点D逆时针旋转与重合其中正确的共有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3、如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且，则等于
A.
B.
C.
D.
4、如图，在中，，则与的大小关系是??????
A.
B.
C.
D.
不能确定
课
堂
小
结
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合.
因此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心.
参考答案
自主学习：
解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等
解：相等弦所对的弧不一定同是优弧，或同是劣弧，故本选项错误；
B.相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C.相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D.相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．
故选A．
合作探究：
探究一：
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．特别地，
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
探究二：
小红认为，AB=A′B′．她是这样想的：
∵
半径
OA
与
O′A′重合，∠?AOB
=
∠?A′O′B′，
∴
半径
OB
与
O′B′
重合．
∵
点
A
与点
A′重合，点
B
与点
B′重合，
∴
与重合，弦
AB
与弦
A′B′
重合．
∴
，AB=A′B′．
探究三：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
解：BE
=
CE．理由是：
∵
∠
AOD
=∠?BOE，
∴
又∵，
∴
．
∴
BE
=
CE．
当堂检测：
1、解：A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B.圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；
C.圆有无数条对称轴，正确；
D.圆的对称中心是它的圆心，正确．
故选：B．
2、解：因为C，D为半圆的三等分点，所以，故正确
在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，
所以，．
又因为，
所以．
易知，和为全等的等边三角形，故正确．
故选D．
3、解：连接OC、OD，
，
，
，
，
又，，
是等边三角形，
，
故选C．
4、解：作的角平分线OE交于点E，
平分，
，
，
，
，
．
故选C．
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精品试卷·第
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