七年级下4.3余角和补角

(共28张PPT)
1.理解余角和补角的定义;
2. 知道余角和补角的性质 及它们的来源;
3.学会使用余角和补角的性质处理一些简单的问题.
1
2
3
4
结论：不论∠1、∠2、∠3、∠4的位置关系如何变化，只要大小不变， ∠1与∠2的和永远是平角， ∠3与∠4的和永远是直角．像这样具有特殊关系的角，我们分别叫它们互为补角和互为余角．
∠1+∠2=
∠3+∠4=
90°
180°
∠1和∠2互为补角
∠3 和∠4 互为余角
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
60o
80o
50o
40o
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
（2）互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°,能说∠1 、∠2、 ∠3 互补吗？
答：互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的
一个角是余角或补角是毫无意义的，但可以说
一个角是某一个角的余角或补角.
答：两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻.
不能
问：①互余的两个角分别是什么角？
②互补的两个角分别是什么角？
答：锐角。
答： 一个为锐角，另一个为钝角
或两个都是直角。
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
97°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
83°
x
90° x
180° x
注意：1、只有锐角有余角；
2、一个角的补角与它的余角相差90°.
1）已知∠1+∠2=90°则 ∠1 、∠2互为______.
余角
2）若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=________.
180°
3) ∠1= 180°—∠2,则∠1与∠2的关系为_______.
互为补角
判断：
1.锐角的余角是锐角，锐角的补角是钝角。（ ）
2.钝角没有余角，但有补角，其补角是锐角。（ ）
3.一个角的补角一定是钝角。（ ）
4.一个角的补角一定比这个角大。（ ）
5.两个互补的角中一定有一个是钝角。（ ）
6.相等且互补的两个角都是直角。（ ）
√
√
√
2
（
(1) 动手画一画： 已知∠α(如图)，请利用三角尺画的∠α的余角
(2)图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？
(3) 这一结论用文字怎么叙述？
同 角的余角相等
A
(等)
α
2
β
1
1
又因为∠α=∠β
(1) 动手画一画： 已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
C
O
B
α
（
D
探究：余角、补角的性质
同 角的补角相等
(等)
C
O
B
α
1
A
D
2
α
β
1
2
(4) 动手画一画
已知∠α(如图)，
请利用三角板画的∠α的补角
图中∠α的补角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？
已知∠1与∠2互补，∠3 与∠4互补。若∠1=∠3，说说∠2和∠4有什么关系？
由∠1与∠2互补，∴ ∠2= 180°－ ∠1
由∠3与∠4互补，∴ ∠4= 180°－ ∠3
又因为∠1=∠3， 180°－ ∠1=180°－ ∠3
所以∠2=∠4
1
2
3
4
（等角的补角相等）
（1）若∠1与∠2互余， ∠2与∠3互余，则 ___________，根据___________.
（2）若∠1与∠2互补， ∠2与∠3互补，
则___________，根据___________.
∠1= ∠3
同角的余角相等
∠1= ∠3
同角的补角相等
（3）∠1与∠2互余，∠3 与∠4互余。若∠1=∠3，则________，根据___________.
等角的余角相等
∠2= ∠4
1.一个角是70°，则它的余角的补角是
2.一个角的补角是150°，则这个角的余角是
3.一个角的补角是它的3倍，则这个角是
160°
60°
45°
A
O
B
4.如图，要测量两堵围墙所形成的∠ AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
C
答：如图测量∠ AOC的度数
∠ AOB=180 °- ∠ AOC
1.互余的角：
C
A
O
B
D
E
）
）
（
）
4
3
1
2
∠3与∠4。
3.互补的角：
∠AOC=∠BOC=∠DOE=900
2.相等的角：
∠1与∠2，
∠1与∠4，
∠4与∠AOE，
∠1与∠DOB，
∠2与∠3，
∠2=∠4 ,
∠1=∠3
∠3与∠DOB，
∠2与∠AOE，
∠AOC与∠BOC，
∠AOC与∠DOE，
∠BOC与∠DOE。
如图，A、O、 B在同一直线上,
∠AOC= ∠DOE= ９０度 ：
例1
若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。
解：设这个角是x °，则它的补角是（180-x） °,余角是(90-x) ° 。
根据题意得:（180-x） °= 4 (90-x) °
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
用代数方法解决几何问题是常用的一种策略。
你能想出方法吗？
解： 设这个角的度数为x度，
由题意得：
已知：一个锐角的补角加上20°后等于这角的3倍。
求：这个角的度数
答：这个角为50°。
方位角
东
南
西
北
东南
西南
西北
东北
你知道方位角吗？
　如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照 这条射线，画出表示下列方向的角：（１）南偏东２５０　（２）北偏西６００
A
东
南
西
北
300
25°
60°
︵
︶
︵
A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（ ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°
（C）南偏东30° （D）南偏西30°
A
东
北
东
北
1
2
B
D
︵
︶
2、如图，OA表示北偏东32°方向线， OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于————。
105 °
4、 小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米，到达点B，小林从点A出发向南偏西40°方向走了4米，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示3米），并从图上求出B点到C点的实际距离。
东
南
西
北
A
500
400
B
C
︶
︵
BC=5米
如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°和西北方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
O
●
东
南
西
北
● A
60°
∴射线OA的方向就是南偏东60°，即灯塔A所在的方向。
● B
● D
射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向。
C ●
40°
10°
射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向。
射线OD的方向就是南偏西45°，即海岛D所在的方向。
45°
数学小知识
打台球时，球的反射角总是等于入射角.
入射角
反射角
O
如果∠5=40°,那么∠1应等于多少度,才能保证蓝色球准确入袋？请说明理由.
6
7
8
9
40°
∠1=∠5=40°