切线的性质
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(共17张PPT)
思考：
1.什么是圆的切线 判断一条直线是圆的切线有哪些方法
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：
①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。
3.切线还有什么性质？
切线的性质
观察右图：
如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？
A
T
O
如果AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
A
T
O
M
反证法：假设AT与OA不垂直
则过点O作OM⊥AT,垂足为M
根据垂线段最短，得OM＜OA
即圆心O到直线AT的距离d＜R
∴直线AT 与⊙O 相交
这与已知“AT是 ⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OA
O
A
T
切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言：
∵AT是 ⊙O 的切线，A 为切点
∴AT⊥OA
按图填空：(口答)
(1). 如果AB切⊙O于A，
那么
A
O
B
⊙O的切线
(2). 如果半径OA⊥AB，那么AB是
切点
(3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是
⊥
OA
AB.
预备练习：
1、已知：如图：在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数。
2、已知：如图：AB是⊙O的弦，AC切⊙于点A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度数。
例1、求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行。
C
D
O
A
B
已知：如图，AB是圆O的直径，直线AC,BD分别是过点A,B的圆O的切线。
求证 : AC BD
证明：如图，
AB 是⊙O的直径
∵AC、BD是⊙O的切线
∴AB⊥AC
AB⊥BD
∴AC∥BD
3
2
1
O
B
A
C
D
例2 如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
例3:如图, PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°，
求∠ACB的度数.
已知直线和圆相切时：常
连接切点与圆心。-----辅助线
若不给出图形,结果是否一样
B
A
O
P
C
C
PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°，
求∠ACB的度数.
∠ACB=70°
，或 ∠ACB=110°
1
2
3
O
B
A
C
D
例4. 如图，AB为⊙O的直径， ，AD是和⊙O相切于点A的切线， ⊙O的弦BC平行于OD.
求证：DC是⊙O的切线
4
练习
如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线， C为切点.求证：C是AB的中点.
C
A
B
O
证明：如图，
∴ C是AB的中点.
AC=BC
在大圆⊙O中, 根据垂径定理，得
∴OC⊥AB
连接OC, 则
∵AB是小圆的切线， C为切点
D
C
B
O
A
练习
如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC
求∠ABD的度数.
解：∵ AB为直径
又∵BC为切线
∴∠ABC=90°
∵ △ABC为直角三角形
AD=DC
∴∠ADB=90°
∴AD=DB
∴△ABD为等腰直角三角形
∴∠ABD=45°
课堂小结
①、切线和圆有且只有一个公共点
③、圆的切线垂直于经过切点的半径
②、切线和圆心的距离等于半径
切线性质
2.能运用切线性质定理进行计算与证明。
3.掌握常见的关于切线辅助线作法
思考：
1.什么是圆的切线 判断一条直线是圆的切线有哪些方法
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：
①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。
3.切线还有什么性质？
切线的性质
观察右图：
如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？
A
T
O
如果AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
A
T
O
M
反证法：假设AT与OA不垂直
则过点O作OM⊥AT,垂足为M
根据垂线段最短，得OM＜OA
即圆心O到直线AT的距离d＜R
∴直线AT 与⊙O 相交
这与已知“AT是 ⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OA
O
A
T
切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言：
∵AT是 ⊙O 的切线，A 为切点
∴AT⊥OA
按图填空：(口答)
(1). 如果AB切⊙O于A，
那么
A
O
B
⊙O的切线
(2). 如果半径OA⊥AB，那么AB是
切点
(3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是
⊥
OA
AB.
预备练习：
1、已知：如图：在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数。
2、已知：如图：AB是⊙O的弦，AC切⊙于点A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度数。
例1、求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行。
C
D
O
A
B
已知：如图，AB是圆O的直径，直线AC,BD分别是过点A,B的圆O的切线。
求证 : AC BD
证明：如图，
AB 是⊙O的直径
∵AC、BD是⊙O的切线
∴AB⊥AC
AB⊥BD
∴AC∥BD
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1
O
B
A
C
D
例2 如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
例3:如图, PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°，
求∠ACB的度数.
已知直线和圆相切时：常
连接切点与圆心。-----辅助线
若不给出图形,结果是否一样
B
A
O
P
C
C
PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°，
求∠ACB的度数.
∠ACB=70°
，或 ∠ACB=110°
1
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O
B
A
C
D
例4. 如图，AB为⊙O的直径， ，AD是和⊙O相切于点A的切线， ⊙O的弦BC平行于OD.
求证：DC是⊙O的切线
4
练习
如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线， C为切点.求证：C是AB的中点.
C
A
B
O
证明：如图，
∴ C是AB的中点.
AC=BC
在大圆⊙O中, 根据垂径定理，得
∴OC⊥AB
连接OC, 则
∵AB是小圆的切线， C为切点
D
C
B
O
A
练习
如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC
求∠ABD的度数.
解：∵ AB为直径
又∵BC为切线
∴∠ABC=90°
∵ △ABC为直角三角形
AD=DC
∴∠ADB=90°
∴AD=DB
∴△ABD为等腰直角三角形
∴∠ABD=45°
课堂小结
①、切线和圆有且只有一个公共点
③、圆的切线垂直于经过切点的半径
②、切线和圆心的距离等于半径
切线性质
2.能运用切线性质定理进行计算与证明。
3.掌握常见的关于切线辅助线作法