三角形的内切圆

(共25张PPT)
确定圆的条件是什么
由于不共线三点确定一个圆，因此每一个三角形都有且只有一个外接圆，圆心是三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等。三角形的外心可能在三角形内(锐角三角形)，可能在三角形的一边上(直角三角形的外心是斜边的中点)，可能在三角形外面(钝角三角形).
回顾 & 思考
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如
A
B
C
M
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
N
I
D
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
分析
2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
m
D
n
A
E
l
B
C
F
O
．
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
读句画图：
②作直线m与⊙O相切于点D，
作直线n与⊙O相切于点E，
直线m和直线n相交于点A;
①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O;
③作直线l与圆O相切于点F，
直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.
1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，
点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
外接
内接
外心
三边中垂线
2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，
⊙I是△DEF的 圆，
点I是 △DEF的 心，
它是三角形 的交点。
A
B
C
O
．
图1
I
D
E
F
．
图2
外切
内切
内
三个角平分线
D
E
F
G
.O
3. 如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆.
内切
外切
三角形内心的性质：
1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
三角形外心的性质：
D
E
F
．
O
C
A
B
．
I
O
A
C
D
B
图（1）
图（2）
说出下列图形中圆与四边形的名称
四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形
四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3. 等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
错
错
对
对
一 判断题：
如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边
与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 三角形；
△ABC是⊙O的 三角形； ⊙I叫△ABC的 圆；
⊙O叫△ABC的 圆，点I是△ABC的 心，
点O是△ABC的 心
外切
内接
内切
外接
A
B
C
I
．
．
O
内
外
二 填空：
（2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。
解:
130
20
（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
= 180 °－(25°＋ 35 °)
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
A
B
C
O
=120 °
)
1
(
3
2
)
4
(
同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 70° =35 °
∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= 50°= 25°
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠1＋ ∠3 = （∠ABC+ ∠ACB）
∴ ∠1= ∠ABC， ∠3= ∠ACB
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）
= （180 ° － ∠A ）
= 90 °+ ∠A
= 90 ° － ∠A
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。
A
B
C
O
)
1
(
3
2
)
4
(
在△OBC中，
∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ）
C
O
B
A
如图,O是△ABC的内心, ∠BAC与∠BOC有何数量关系 试着作一推导.
∠BOC = 90 + ∠ A
1
2
探讨1：
结论：
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .
2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出
三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念。
3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与
“外心”的区别，
4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
C
A
B
O
D
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面
为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直
三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱
柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的
半径。
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
比一比
看谁做得快
A
B
C
F
D
E
x
x
13-x
13-x
9-x
9-x
∴(13-x)+(9-x)=14
略解：设AF＝x，则BF=13-x
由切线长定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x,
DC=EC=9-x,又∵BD+CD=14
解得x=4
答：AF=4
BD=9
CE=5
∴AF=4，BD=9，CE=5
比一比
看谁做得快
.
A
B
C
a
b
c
r
r =
a+b-c
2
例：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为______。
r
O
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长。
2
E
D
探讨2：
设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论
解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L
2AD+2BE+2CE=L
2AD=L－2（BE+CE）
　AD=ＡF＝？
　　ＢＤ＝ＢＥ？
　　ＣＥ＝ＣＦ＝？
C
O
B
A
D
E
F
三角形面积
（L为三角形周长，r为内切圆半径）
rL
S
2
1
=
r
1. 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____ 个,三角形的内心在圆的_______.
2.如图,O是△ABC的内心,则
OA平分∠______, OB平分∠______,
OC平分∠______,.
(2) 若∠BAC=100 ,则∠BOC=______.
填空:
1
无数
内部
C
O
B
A
BAC
140
ABC
ACB
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
E
D
F
例3 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
∴点M是△ABC的内心，
连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米，
⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，
则MD⊥AC，
ME ⊥BC， MF ⊥AB，
则 MD= ME= MF=r，
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30，
∴AB=50
∵ △ABC的面积为 AC·BC = × 40×30= 600，
又∵ △ABC的面积为 （AC·MD+BC ·ME+AB ·MF）
=20 r+15 r+25 r=60 r
∴60 r= 600， r=10
答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
E
D
F
解：
A
C
B
思考 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
·
C
B
A
O
I
1.如图, ABC 的内心为I,外心为O.
求证:
(2) BOC = 4 BIC 360 °
(1) BIC=90° + A
1
2
·
C
B
A
O
I
E
D
2.如图,I是 ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交 ABC的外接圆于点E.
求证:
(1) EI = EB ;
(2)IE = AE · DE .
分析
2
)
5
)
3
)
4
)
1
)