北京第十八中学11-12学年高二上学期数学复习知识纲要（简易逻辑、导数、立体几何及圆锥曲线）

北京第十八中学高二上学期数学复习（知识与方法篇） 第一部分 《常用逻辑用语》
考点1 命题及其四种形式
（一）命题 1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题。2.“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论。3.真命题：判断为真的陈述句；假命题：判断为假的陈述句。（二）命题的四种形式 1. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”。2.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.3. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
考点2 命题的四种形式的相互关系
1.四种命题的相互关系原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ　　　　　　　互　　　　　　　互　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否　　　　　　 否否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ2.四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(原命题逆否命题)。即原命题与逆否命题有相的真假性；逆命题与否命题有相同的真假性。两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真。
考点3 复合命题
1.“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。2.用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．3. 用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．4. 对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．5.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或6.真值表 ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假
考点4 特称命题与全称命题
1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题：“，”，它的否定：，．特称命题的否定是全称命题．2.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题：，，它的否定：，．全称命题的否定是特称命题．
考点5 充要条件
1.当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.2.若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p q.3. 从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).5. 反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
北京第十八中学高二上学期数学复习（知识与方法篇） 第二部分 《导数》
考点6 平均变化率及其实际意义
是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，）的割线斜率；物理意义为平均速度。
考点7 导数的原始定义
设函数在处附近有定义，如果时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即。
考点8 导数的定义
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
考点9 导数的实际意义
导数的几何意义：是曲线上点()处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点()处的切线方程为特别注意：区分清“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。特别提醒：用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率。
导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。。
考点10 利用定义求函数的导数主要有三个步骤
(1)求函数的改变量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数＝
考点11 导数的运算
常见函数的导数公式: ①； ②； ③；④； ⑤； ⑥；⑦； ⑧ 。
（二）导数的四则运算1．和差： 2．积： 3．商： 注意：若c为常数，则(cu) ′=cu′。
（三）复合函数的导数：复合函数的导数：．
考点12 导数的应用（一）————————利用导数求解证明不等式
主要方法为将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。
考点13 导数的应用（二）————————利用导数判断函数单调性及求解单调区间
1.导数和函数单调性的关系： (1)若(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： ( http: / / www.21cnjy.com / )①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间： ( http: / / www.21cnjy.com / )(x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；(x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
考点14 导数的应用（三）————————利用导数求解函数极值与最值
1.极值与最值的定义：(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点(3)函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。2.极值的性质：(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值特别提醒：“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若 （或）恒成立，则函数无极值。4.求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域，求导数 (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 ( http: / / www. / wxc / )检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值5.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
其它知识要点：
1．多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
2．设那么
上是增函数；
上是减函数.
3．研究函数问题时要树立定义域优先的原则。
4．①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
5． 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
6． ① 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数，使=0，但不是极值点.
②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.
7．瞬时速度
在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，就可以用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．
8．我们把使导数f′（x）取值为0的点称为函数的驻点，那么
（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.
（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点。
9．曲线的切线
　　在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．
　
导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用
答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值、证明不等式等.
10．（x0）=的几种等价形式：
（x0）=
=
=
北京第十八中学高二上学期数学复习（知识与方法篇） 第三部分 《圆锥曲线》
15 高频考点
1.斜率公式 ，（为过两点、的直线的倾斜角）.
2.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点，且斜率为)。（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距)。（3）两点式 ()(、 ())。(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)。（5）一般式 (其中A、B不同时为0)。
3.两条直线的平行和垂直 若，，则①； ②。
4.点到直线的距离为。
16.重要考点与方法
1.（1）若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；（2）若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 。 2.求轨迹方程的常用方法： ⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0且不相等时表示椭圆，时表示双曲线）。
17.椭圆的定义及几何性质
椭圆的定义 平面内到两定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
重要结论 （1）设M为椭圆上任一点，则；（2）
标准方程
图形
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 短轴长 长轴长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴、原点对称
离心率
1.方程表示椭圆>0，>0，且≠；是，中之较大者，焦点的位置也取决于，的大小。2.椭圆的定义：方程为椭圆；无轨迹；以为端点的线段。3．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。
18.双曲线的定义及其几何性质
双曲线的定义 平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹，叫做双曲线。
重要结论 （1）设M为双曲线上任一点，则；（2）。
标准方程
图形
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
范围 或， 或，
顶点 、 、
轴长 虚轴长 实轴长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
渐近线
1.双曲线的定义：
若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2.与双曲线共渐近线的双曲线系方程是。与双曲线共焦点的双曲线系方程是。
3.方程表示双曲线<0， 双曲线的焦点位置取决于,的正负：若>0, <0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-,焦点在x轴上；若<0, >0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-，焦点在y轴上。
4.研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。
5.研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还经常用到正、余弦定理。
6.常见的特殊双曲线：
①等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
②共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
③共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
19.抛物线的定义及其几何性质
定义 平面内到一定点的距离与到一定直线的距离相等（）的点的轨迹叫做抛物线。
的几何意义 定点到定直线的距离——焦准距。
方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴 轴 轴
顶点 (0，0)
离心率
焦半径
焦点弦长公式
1．不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“”表示焦准距。
例：抛物线的准线方程为，则的值为
（A） （B） （C） （D）
2．过抛物线y2=2px的焦点直线与抛物线y2=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，记住并会证明：，，|AB|=(其中为弦AB的倾角，=900时的弦AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+(其中m为AB的斜率的倒数)； ；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；。
北京第十八中学高二上学期数学复习（知识与方法篇） 第四部分 《立体几何》
坐标系下的空间向量在立体几何中的应用
知识回顾
1 空间直角坐标系：
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，
这个基底叫单位正交基底，用表示；在空间选定
一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别
以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，
它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，
点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量基本定理（三维）：设为空间中不共面的三个向量，则对于空间中的任一向量，都 可以用表示，且表示法唯一。即：（x、y、z唯一）。叫基向量。其中，（）叫做在基底下的坐标。在不同基底下的坐标是不一样的，在单位正交基底下的坐标是最常用的坐标。为两两垂直的单位向量。
4．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则， ，
， ，
★ a=kb（a与b为非零向量）
★。
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
5模长公式：若，，
则， ．
6．夹角公式：．
7．两点间的距离公式：若，，
则.
8．平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组；（4）解方程组，取其中一个解，即得法向量。
题型一 证线线平行
（一） 综合法1）三角形的中位线定理；2）平行四边形的对边平行；3）平行线截线段成比例定理的逆定理；4）公理4——平行公理； a∥b，b∥c， a∥c5）线面平行的性质定理； 线面平行线线平行 a∥α，aβ，β∩α=b， a∥b6）面面平行的性质定理； 面面平行线线平行 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，a∥b7）线面垂直的性质定理。 线面垂直线线平行 a⊥α，b⊥α，a∥b
（二） 向量法证两直线的方向向量平行。
题型二 证线面平行
（一） 综合法1）线面平行的判定定理； 线线平行线面平行 a∥b，aα，bα，a∥α2）面面平行线面平行。 面面平行线面平行 α∥β，aα，a∥β
（二） 向量法（1）证直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行；（2）证直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线在平面外。（3）证直线的方向向量可以用平面内两不共线的向量表示。平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
题型三 证面面平行
（一） 综合法1）线面平行的判定定理 线线平行线面平行 a∥b，aα，bα，a∥α2）面面平行的性质定理 面面平行线面平行 α∥β，aα，a∥β
（二） 向量法用向量证两平面平行的方法：不重合的两个平面，的法向量分别为，，则。
题型四 证线线垂直
（一） 综合法（1）勾股定理的逆定理；（2）三角形的角的计算（如：求出另两角之和为90度。）；（3）求解异面直线所成的角；（4）线面垂直的定义 线面垂直线线垂直 a⊥α，bα，a⊥b（5）两平行直线的一条直线垂直于一直线，则另一条也垂直于该直线。a∥b，a⊥c，b⊥c
（二）向量法 证两直线的方向向量的数量积为0.
题型五 证线面垂直
（一） 综合法（1）直线与平面垂直的判定定理 线线垂直线面垂直 a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=O，a⊥α（2）直线与平面垂直的判定定理 线面垂直线面垂直 a⊥α，b∥a，b⊥α（3）面面垂直的性质定理。面面垂直线面垂直 α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，a⊥β
（二）向量法（1）证直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数量积为0；（2）证直线的方向向量与平面的法向量平行。 ※．
题型六 证面面垂直
（一） 综合法（1）定义----两平面所成二面角为直角（2）面面垂直的判定定理 线面垂直面面垂直 a⊥α，aβ，β⊥α
（二）向量法（1）证两平面的法向量垂直。不重合的两个平面，的法向量分别为，，．（2）证一平面内一直线的方向向量与另一平面垂直。
题型七 求异面直线的夹角（范围0°＜θ≤90°）
（一） 综合法通过平移一条或两条线化归为相交直线所成的角是关键。 一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．
题型八 求直线与平面所成的角（范围0°≤θ≤90°）
（一） 综合法过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,找射影是产生线面角的关键. 一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．
题型九 求二面角（范围0°≤θ≤180°）
（一） 综合法通过观察或作出垂直于二面角棱的两条线，画出或找出平面角是关键。（二面角的棱的垂面）。一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法（1）若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图（a）所示）．（2）设、是二面角的两个角α、β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）．
二面角的大小为 二面角的大小为 图（b）友情提醒：解题时一定要观察所求的二面角是锐角还是钝角.
题型十 求距离
（一） 综合法求点到面的距离一般有三种办法：①直接法———过“点”作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；②等体积法。
（二）向量法法向量法: 若平面的法向量为，直线AB与平面交于点A，则点B到平面的距离=。 ★另外：点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算。
导 数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则