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北师大版数学九年级下册3.3垂径定理导学案
课题
3.3
垂径定理
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论.
2.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.
重点
难点
垂径定理及其推论.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
优弧：_________________
劣弧：_____________
圆弧分为:_________________
合
作
探
究
探究一：
做一做
如图
3-11，AB
是
⊙O
的一条弦，作直径
CD，使CD⊥AB，垂足为
M．
图
3-11
是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
探究二：
已知：如图
3-12，AB
是
⊙O
的一条弦，CD
是
⊙O
的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为
M．
求证：AM
=
BM，
探究三：
想一想
如图
3-13，AB
是
⊙O
的弦（不是直径），作一条平分
AB
的直径
CD，
交
AB
于点
M．
图
3-13
是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
例
如图3-14，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点
O
是所在圆的圆心），其中
CD
=
600
m，E
为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．
当
堂
检
测
1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=16，BE=4，则⊙O的直径为(
)
A.
8
B.
10
C.
15
D.
20
2、往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为(
)
A.
8cm
B.
10cm
C.
16cm
D.
20cm
3、已知⊙O的半径为5，CD是⊙O的一条弦，E是CD的中点，过点E作直径AB，若CD=8，则BE的长是(
)．
A.
8
B.
2
C.
2或8
D.
3或7
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是(
)
A.3≤OM≤5
B.
4≤OM≤5
3D.
45、数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板(其中斜边上带有刻度)的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段(DE)长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为(
)
A.
3厘米
B.
20厘米
C.
10厘米
D.
2厘米
课
堂
小
结
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
参考答案
自主学习：
大于半圆的弧叫做优弧.
小于半圆的弧叫做劣弧.
圆弧分三类,优弧、劣弧、半圆
合作探究：
探究一：
(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线.
(2)AM=BM
探究二：
证明：连接
OA，OB，则
OA
=
OB．
在
Rt△OAM
和
Rt△OBM
中，
∵
OA
=
OB，OM
=
OM，
∴
Rt△OAM
≌
Rt△OBM．
∴
AM
=
BM．
∴
点
A
和点
B
关于
CD
对称．
∵
⊙O
关于直径
CD
对称，
∴
当圆沿着直径
CD
对折时，
点
A
与点
B
重合，
重合，重合
探究三：
(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线.
(2)AM=BM
解：连接OC．
设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m．
∵
OE⊥CD，∴CF=
CD
=×600
=
300（m）．
根据勾股定理，得
OC2
=
CF2
+
OF2,
即
R2
=
3002
+（R
-
90）2．
解这个方程，得
R
=
545．
所以，这段弯路的半径为545
m．
当堂检测：
1、解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴CE=8，
设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，
∵OC2=OE2+CE2，即r2=82+(r-4)
2
解得r=10，
∴⊙O的直径=2r=20，
故选：D．
2、解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48，
∴BD=
AB=×48=24cm，
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，OD=
cm，
∴CD=OC-OD=26-10=16(cm)，
故选：C．
3、解:连接OC，
∵E是CD的中点，直径AB过点E，
∴AB⊥CD，CE=0.5CD=4，
在Rt△COE?中，
OE=
=3，
∴BE=OB+OE=5+3=8
或BE=OB-OE=5-3=2，
故选C
4、解：∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，∴OM的最大值为5．
如图，连接OA，作OM⊥AB于M．
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM．
∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，
OM=
，
此时OM最短．所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．
5解：过O点作OM⊥AB，
∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO=h
∵AO=7-x，
∴
h=7-x，
在Rt△DMO中，h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17(舍去)或x=3，
故选：A．
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3.3
垂径定理
数学北师大版
九年级下
复习导入
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中，圆心角、两条弧、两条弦之间的关系？
复习导入
如图
3-11，AB
是
⊙O
的一条弦，作直径
CD，使CD⊥AB，垂足为
M．
（1）图
3-11
是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
图
3-11
做一做
(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线.
(2)AM=BM,
⌒
⌒
AD=BD.
⌒
⌒
AC=BC,
新知讲解
垂径定理
③AM=BM,
①
CD是直径
②
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
条件
结论
●O
A
B
C
D
M└
新知讲解
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
新知讲解
已知：如图
3-12，AB
是
⊙O
的一条弦，CD
是
⊙O
的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为
M．
求证：AM
=
BM，
，
．
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
图
3-12
新知讲解
证明：连接
OA，OB，则
OA
=
OB．
在
Rt△OAM
和
Rt△OBM
中，
∵
OA
=
OB，OM
=
OM，
∴
Rt△OAM
≌
Rt△OBM．
∴
AM
=
BM．
∴
点
A
和点
B
关于
CD
对称．
∵
⊙O
关于直径
CD
对称，
∴
当圆沿着直径
CD
对折时，
点
A
与点
B
重合，
重合，
⌒
⌒
AC与BC
⌒
⌒
AD与BD重合.
⌒
⌒
∴AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
新知讲解
想一想
如图
3-13，AB
是
⊙O
的弦（不是直径），作一条平分
AB
的直径
CD，
交
AB
于点
M．
图
3-13
新知讲解
（1）图
3-13
是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线.
(2)AM=BM,
⌒
⌒
AD=BD.
⌒
⌒
AC=BC,
新知讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
新知讲解
例
如图3-14，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
，
点
O
是
所在圆的圆心），其中
CD
=
600
m，E
为
上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．
图3-14
⌒
CD
⌒
CD
⌒
CD
新知讲解
解：连接OC．
设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m．
∵
OE⊥CD，
∴CF=
CD
=
×600
=
300（m）．
根据勾股定理，得
OC2
=
CF2
+
OF2,
即
R2
=
3002
+（R
-
90）2．
解这个方程，得
R=545．
所以，这段弯路的半径为545
m．
课堂练习
1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=16，BE=4，则⊙O的直径为(
)
A.
8
B.
10
C.
15
D.
20
D
课堂练习
解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴CE=8，
设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，
∵OC2=OE2+CE2，即r2=82+(r-4)
2
解得r=10，
∴⊙O的直径=2r=20，
故选：D．
课堂练习
2、往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为(
)
A.
8cm
B.
10cm
C.
16cm
D.
20cm
C
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48，
∴BD=
AB=
×48=24cm，
∵⊙O的直径为52cm，∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，OD=
cm，
∴CD=OC-OD=26-10=16(cm).
故选：C．
课堂练习
课堂练习
3、已知⊙O的半径为5，CD是⊙O的一条弦，E是CD的中点，过点E作直径AB，若CD=8，则BE的长是(
)．
A.
8
B.
2
C.
2或8
D.
3或7
C
课堂练习
解:连接OC，
∵E是CD的中点，直径AB过点E，
∴AB⊥CD，CE=CD=4，
在Rt△COE中，
OE=
=3，
∴BE=OB+OE=5+3=8
或BE=OB-OE=5-3=2.
故选：C．
课堂练习
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是(
)
A.3≤OM≤5
B.
4≤OM≤5
C.
3D.
4B
课堂练习
解：∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，∴OM的最大值为5．
如图，连接OA，作OM⊥AB于M．
∵OM⊥AB于M，∴AM=BM．
∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，
OM=
，
此时OM最短．所以OM长的取值范围是
4≤OM≤5．故选B．
拓展提高
5、数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板(其中斜边上带有刻度)的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段(DE)长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为(
)
A.
3厘米
B.
20厘米
C.
10厘米
D.
2厘米
A
拓展提高
解：过O点作OM⊥AB，
∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，∴AO=
h
∵AO=7-x，∴
h=7-x，
在Rt△DMO中，h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17(舍去)或x=3，
故选：A．
课堂总结
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
板书设计
课题：3.3
垂径定理
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定理
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P76
练习第1,2题
练习册基础
能力作业：
课本P77练习第3,4题
