考点1： 一元二次不等式的解法
题型1.解一元二次不等式
例1： 不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【点评】：解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根
解：方法一：由得,
所以解集为, 故选D;
方法二:抓住选择题的特点,
显然当时满足不等式, 故选D.
题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
例2：已知关于的不等式的解集为 ,求的解集.
【点评】：由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数
解： 由的解集为
知,为方程的两个根, 由韦达定理得,
解得,
∴即,
其解集为.
【新题导练】
1 . 不等式,对一切∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）
（-∞,2] B.（-2,2]
C.（-2,2） D.（-∞,2)
2. 关于的不等式(-1)( -2)＞0，若此不等式的解集为{|＜x＜2}，则的取值范围是
考点2 : 含参数不等式的解法
题型1：解含参数有理不等式
例3: 解关于的一元二次不等式
【点评】：解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);
②根据根的判别式讨论().
③根据根的大小讨论().
解：∵，∴
⑴当，
不等式解集为；
⑵当时，不等式为，
解集为；
⑶当，
不等式解集为
题型2：解简单的指数不等式和对数不等式
例4. 解不等式loga(1－)＞1
【点评】：解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.
解:(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
由此得1－a＞.因为1－a＜0，所以x＜0，
∴＜x＜0.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不 等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，
由②得0 ＜x＜，∴1＜x＜.
综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|＜x＜0， 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}.
【新题导练】
3.关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.以上答案都不对
4. 解关于的不等式：
考点3: 分式不等式及高次不等式的解法
例5:解不等式:
【点评】：先分解因式,再标根求解
解:原不等式,
各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
所以不等式的解集为.
【新题导练】
5.若关于的不等式的解集是,则的值为_______
6.解不等式
考点4: 简单的恒成立问题
题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围
例6.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【点评】：不等式对一切恒成立或
不等式对任意恒成立或
解:当时,不等式解集不为,
故不满足题意;
当时,要使原不等式解集为,
只需,解得
综上,所求实数的取值范围为
题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围
例7:已知二次函数f(x)过（0,1),且，f(x)>2x+m在恒成立，求m.
【点评】：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.
对一切恒成立,则;
对一切恒成立,则;
解:设.
由得, 故.
∵
∴
即,
所以, 解得
∴ (1)
由(1)知在恒成立,
即在恒成立.
令,
则在上单调递减.
所以在上的最大值为.
所以的取值范围是.
【新题导练】
7. 不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．
8. 若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是 ( )
A．0 B． –2 C．- D．-3
（ ）
3．2 一元二次不等式热点考点题型
答案：
【新题导练】
∵可推知-2＜a＜2,
另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，
∴-2＜a≤2.
选B
2.由不等式的解集形式知m＜0. 答案：D
3.原不等式可化为,
需对分三种情况讨论,即不等式的解集与有关.答案：D
4.
当；
当，
当
原不等式,
结合题意画出图可知.
6.
即得
所以原不等式的解集为
7：不等式对一切R恒成立,
即
对一切R恒成立
若=0,显然不成立
若0，则 ∴
设f（x）＝x2＋ax＋1，
则对称轴为x＝,若，
即a－1时，
则f（x）在〔0，〕上是减函数，
应有f（）0－x－1
若0，即a0时，
则f（x）在〔0，〕上是增函数，
应有f（0）＝10恒成立，故a0
若0，即－1a0，
则应有f（）＝恒成立，故－1a0． 综上，有－a,故选C ．
一．选择题
1.下列不等式中，与不等式 ≥0同解的是（ ）.
（A）（x－3）（2－x）≥0 （B）（x－3）（2－x）＞0
（C）≥0 （D）lg（x－2）≤0
2. 不等式（1＋x）（1－| x|）＞0的解集为（ ）.
（A）{x|0≤x＜1} （B）{x|x＜0且x≠－1}
（C）{x|－1＜x＜1} （D）{x|x＜1且x≠－1}
3.已知p：|2x－3|＜1，q：x（x－3）＜0，则p是q的（ ）.
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）即不充分也不必要条件
4.不等式≥2的解集为（ ）.
[－3，] （B）[－ ，3]
（C）[，1）∪（1，3] （D）[－ ，1）∪（1，3]
5. 函数f（x）＝的定义域是（ ）.
（A）（－∞，0） （B）（0，2]
（C）[0，2] （D）[－2，0]
6.若（a－2）x 2＋2（a－2）x－4的值恒为负值，
则a的取值范围是（ ）.
（－∞，2] （B）（－2，2）
（C）（－2，2] （D）（－2，＋∞）
二、填空题
7.不等式＞1的解集为 .
8.不等式|x2－3x|＞2的解集为 .
9. 已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
10. 解不等式 ＜ .
11. 已知关于x的方程x2＋2＝k（1－2x）没有实根，求证关于x的方程4x2＋4kx＝3－4k一定有两个不相等的实根.
12.已知二次函数f（x）满足f（－1）＝0，且x≤f（x）≤（x2＋1）对一切实数x恒成立，求函数f（x）的解析式.
3．2 一元二次不等式及其解法 ( http: / / / gzsx / jsbsyjc / dzkb / bx5 / 200412 / t20041217_149911.htm" \t "_blank )（二）
答案：
1.D
2.D 提示：原不等式等价于不等式组
和
A 提示：|2x－3|＜1的解集为{x|1＜x＜2}；
x（x－3）＜0的解集为{x|0＜x＜3}.
4.D 提示：原不等式等价于不等式组
5.C
6.C 提示：当a＝2时，原式为－4；当a≠2时，原式的值恒为负值，当且仅当
7.{x|x＜－2}
8.（－∞，）∪（1，2）∪（，＋∞）
提示：原不等式等价于不等式组
和
（2，3）
提示：A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|x≤1或x≥4}.若A∩B＝，则a－1＞1且a＋1＜4，即2＜a＜3.
10. 原不等式可化为 ＜0，
即 ＜0.
此不等式等价于不等式
x＋3＜0且x≠1，
解得原不等式的解集为 {x|x＜－3}.
11.方程x2＋2＝k（1－2x）可化为
x2＋2kx＋2－k＝0.
因为方程没有实根，所以根的判别式
△1＝（2k）2－4（2－k）＜0，
即 －2＜k＜1.
又方程4x2＋4kx＝3－4k即为
4x2＋4kx＋4k－3＝0.
根的判别式
△2＝（4k）2－4×4×（4k－3）
＝16（k－1）（k－3）.
∵－2＜k＜1，∴k－3＜k－1＜0.
∴△2＞0.
∴关于x的方程4x2＋4kx＝3－4k一定有两个不相等的实根
12.设f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0），依题设有
eq \b\lc\{(\a\al( a－b＋c＝0， ①, ax2＋（b－1）x＋c≥0， ②,（a－ ）x2＋bx＋c－ ≤0. ③))
由②对一切实数x恒成立有
由③对一切实数x恒成立有
eq \b\lc\{(\a\al(a－ ＜0，,b2－4（a－ ）（c－ ）≤0. ⑤))
又由①有 b＝a＋c，于是由④⑤又有
（a－c）2≤2（a＋c）－1≤－（a－c）2.
∴ eq \b\lc\{(\a\al(a＝c，,a＋c＝.))
∴ a＝，c＝，b＝.
∴ f（x）＝ x2＋ x＋ .
3．2 一元二次不等式热点考点题型探析
①
②
4
2
1
-1
x
3．2 一元二次不等式及其解法 （二）
- 4 -例2：19x－3x2≥6；
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上
且与x轴有两个交点(，0)和(6,0)．
所以原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0
(3x－1)(x－6)≤0 (x－)(x－6)≤0.
∴原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
【点评】：解一元二次不等式的步骤：（方法一）
① 将二次项系数化为“+”：y=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，
③若，则求解不等式的解；
④据图象，写出解集.
解一元二次不等式的步骤：（方法二）
（数轴标根法）
（1）化简：将不等式化成标准形式（右边为0）；
（2）化正：将最高次的系数化为正（如1）；
（3）求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；
（4）标根：将两根在数轴上依次标出；
（5）结论：记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
例3： 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．
【点评】： 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解： 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知
例4：(2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．
【点评】：
解: 可转化为x2－3x＞4 (1)
或x2－3x＜－4 (2)
两个一元二次不等式．
答 : 填{x|x＜－1或x＞4}．
例5： 设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，
B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则( )
A．(UA)∩B＝R
B．A∪(UB)＝R
C．(UA)∪(UB)＝R
D．A∪B＝R
解： 由x2－5x－6＞0
得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}
由|x－5|＜a
得5－a＜x＜5＋a，
即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．
答 ： 选D．
例6：不等式0
【点评】：
解：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|－2不等式②的解集为{x|x<－1或x>2}．
因此原不等式的解集为
{x|x<－1或x>2}∩{x|－2＝{x|－2答案：{x|－2例7：在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选B.
∵x⊙(x－2)
＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.
∴－2一．选择题
1. 不等式x2<3x的解集为( )
A．{x|x>3} B．{x|x<0或x<3}
C．R D．{x|02. 不等式(x＋2)(1－x)>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>－1} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－23. 不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．(－∞，2)
4. 已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2、3，a>0，那么ax2－bx＋c>0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－3或x>2}
C．{x|－25. 设集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|x2－a2>0}，若A∩B＝ ，则a的取值范围为( )
A．{a|a≥6} B．{a|a>6}
C．{a|a≤－6或a≥6} D．{a|a≤－6}
6. 若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－a＋b的值为( )
A．14 B．－10 C．10 D．－14
7. 二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
8. 集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－5x＋6>0}，则A∩B＝( )
A．{x|1≤x<2或3C．{1,2,3,4} D．{x|－4≤x≤－1或2≤x≤3}
填空题
9. a<0时，不等式x2－2ax－3a2<0的解集是________．
10. 关于x的不等式ax2－2ax＋2a＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围为________．
11. 不等式x2＋x＋<0的解集是________．
12. 设a>0，a≠1.函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．
三．解答题
13．已知A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|2x＋a<0}，A∩B＝B，求实数a的取值范围．
14. 方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的两根一个大于1，另一个小于1，求k的取值范围．
15. 已知A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．试确定a的取值范围，使C (A∩B)．
16. 若函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式－x≤f(x)≤(1＋x2)对一切实数x都成立？若存在，求出a、b、c.若不存在，则说明理由．
3．2 一元二次不等式及其解法 ( http: / / / gzsx / jsbsyjc / dzkb / bx5 / 200412 / t20041217_149911.htm" \t "_blank )（一）
答案：
1..x2<3x x2－3x<0 x(x－3)<0 02. 不等式(x＋2)(1－x)>0，
同解于(x－1)(x＋2)<0.
∵相应方程(x－1)(x＋2)＝0的两根为
x1＝1，x2＝－2，
∴(x－1)(x＋2)<0的解为－2即原不等式(x＋2)(1－x)>0的解集为{x|－2故选C.
3. 当a＝2时，－4<0，对一切x∈R恒成立；
当a<2时，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0
4(a－2)(a＋2)<0 －2∴－24..由题意知
∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2－bx＋c>0化为ax2＋ax－6a>0，
即x2＋x－6>0.方程x2＋x－6＝0的两根是－3和2，
不等式的解集是{x|x<－3或x>2}，故选B.
5. A＝{x|－1当a>0时，B＝{x|x>a或x<－a}，
若A∩B＝ ，a≥6；
当a<0时，B＝{x|x>－a或x若A∩B＝ ，a≤－6，
综上{a|a≤－6或a≥6}，故选C.
6. 由
∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14，故选D.
即与x轴无交点，当时成立，故选B.
. A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，
B＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，
∴A∩B＝{x|1≤x<2或39.∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.
又a<0，故3a<－a.
∴不等式的解集为{x|3a10.当a≠0时，由题意得
即
解得a>0.
当a＝0时，恒有3>0，不等式也成立，
故a的取值范围是[0，＋∞)．
∵Δ＝1－4×＝－2<0，且二次项系数1>0，
∴x2＋x＋<0的解集为 .
12.∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2有最小值2，
∴lg(x2－2x＋3)有最小值lg2.根据题意有0∴loga(x2－5x＋7)>0，即0解得213. A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|x<－}，
若A∩B＝B，则有－≤－1，所以a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞)．
14.解法1：利用判别式、韦达定理．
令方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的两根为x1，x2，且x1<1，x2>1，
则
解法2：图像法
令f(x)＝x2－(k＋1)x＋2k－1，它与x轴的两交点为x1，x2，x1<1，x2>1，如右图所示．
由图可得
k<1.
所以k的取值范围为(－∞，1)．
k<1.
15. A＝{x|－21}，∴A∩B＝{x|10时，C＝{x|a∴解得1≤a≤2.当a＝0时，C＝ ，满足条件；当a<0时，C＝{x|2a16. 假设存在常数a、b、c满足题意，
由于－x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R成立．
∴当x＝－1时，则有1≤f(－1)≤1，
又f(－1)＝a－b＋c，
∴a－b＋c＝1.又f(1)＝a＋b＋c＝0，
∴a＋c＝，b＝－.
又∵f(x)≥－x时x∈R都成立，
即ax2－x＋－a≥－x
ax2＋x＋－a≥0的解集为R，
∴a>0且Δ≤0 a>0且(2a－)2≤0，
∴a＝，c＝.又x2－x＋≤(1＋x2)恒成立，
故存在这样的常数a、b、c，
其中a＝c＝，b＝－满足题意．
3．2 一元二次不等式及其解法 （一）
- 2 -第三章：不等式
3.2 知识梳理：
一元二次不等式>0的解集（）
=b2-4ac
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：
A=>0(或<0)(a>0) ③ 写出解集.
② 计算判别式，分析不等式的解的情况： 方法提炼：
ⅰ.>0时，求根<， 例1：解不等式
解：整理，得.
ⅱ.=0时，求根＝＝， 因为
无实数解，
ⅲ.<0时，方程无解， 从而，原不等式的解集是.第三章：基本不等式
3.4 知识梳理：
1.几个重要不等式
（当仅当a=b时取等号）
如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
2. 最值定理：
若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
3. 注意：
前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
（当仅当a=b=c时取等号）
平均不等式：
如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
方法提炼：
例1.(1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
【点评】：本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解.(1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
例2： 已知且满足,求的最小值.
解：, ∴
,当且仅当时等号成立,即,∴,又,
∴
∴当时,有最小值18.
【点评】：利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．
例3：已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
【点评】：是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．
解. ∵x>0，y>0，3x+4y=12，
∴ ≤，
∴lgx+lgy=lgxy≤lg3 ．
由 解得
∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3
例4：已知,求证:.
【点评】：因为是轮换对称不等式可考虑由局部证整体.
解. ,
相加整理得.
当且仅当时等号成立.
例5： 已知a，b为正数，求证：≥【点评】：观察结构用基本不等式加以证明.
解析1：∵ a>0，b>0，
∴ ≥，
≥，
两式相加，得
≥，
∴ ≥．
解析2. ≥．
∴≥．
∵ (a-b)2≥0成立，∴ 原不等式成立 ．
例6：已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围。
解：因为在（0，+）上恒成立，
即∴ ∵ 的最小值为4 ∴
解得
例7：当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.
【点评】：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
解：∵x＞-1,∴x+1＞0.
∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.
当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.
∴f(x)min=1.
例8：已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.
【点评】：本题属于“1”的代换问题.
解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.
∵x,y＞0,a,b＞0，
∴x+y≥10+2=18，即=4.
又a+b=10，
∴或
例9：求函数y=的最小值.
解：令t=x2+1，则t ≥ 1且x2=t-1.
y=.
∵t≥1,∴t+≥2=2,
当且仅当t=,即t=1时，等号成立.
∴当x=0时，函数取得最小值3.
一．选择题
1.设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 ( )
A．8 B．4 C．1 D.
2.已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ( )
A．8 B．6 C．4 D．2
3. 已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
4.若0＜x＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为 ( )
A. B. C. D.
5.已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是 ( )
A．2 B．2 C．4 D．5
6. 商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0A．18 B．27 C．20 D．16
7.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 ( )
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
二．填空题
8. 若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．
9. 函数y＝(x≠0)的最大值为________，此时x的值为________．
10. 当a＞0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________．
11.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
三．解答题
12．设x＞－1，求函数y＝的最值．
13. 已知：a，b是正常数，x，y∈R*，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
14.已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
答案
1.解：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.
即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．答案：B
2.解：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a
≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，
当且仅当a·＝等号成立，
3.解：∵x＜0，∴－x＞0，
∴x＋－2＝－(－x＋)－2≤－2 －2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.
答案：C
4.解：∵0＜x＜1，∴4－3x＞0，
∴x(4－3x)＝·3x(4－3x)
≤·()2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取得等号．
答案：D
5.解：∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成
立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.
答案：C
6.解：平均销售量y＝＝
7.解：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 a2＋b2≥2.
法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.
＝t＋＋10≥18. 答案：C
8. 解：∵logmn＝－1，∴m－1＝n，
∴mn＝1，∵n＞0，m＞0且m≠1，
∴3n＋m≥2＝2.
9. 解：y＝＝≤＝，
当且仅当x2＝，即x＝±时取等号．
答案： ±
10.解：A(2,1)，故2m＋n＝1.
∴4m＋2n≥2＝2＝2.
当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．
∴4m＋2n的最小值为2.
11. 解：设仓库建在离车站d千米处，
由已知y1＝2＝，得k1＝20，∴y1＝，
y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，
∴y1＋y2＝＋≥2 ＝8，
当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小
12. 解∵x＞－1，∴x＋1＞0，
设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，
∴y＝＝＝z＋＋5
≥2 ＋5＝9，
当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号，
∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．
13. 解：∵x＋y＝(x＋y)(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2
当且仅当bx2＝ay2时等号成立．
∴x＋y的最小值为a＋b＋2＝18
又a＋b＝10.①
∴2＝8，
∴ab＝16.②
由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
13.证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，
∴(－1)(－1)(－1)＝
＝≥＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3.4 基本不等式
- 3 -第三章：二元一次不等式（组）与平面区域
3.3.1 知识梳理：
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义:
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
2、结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
3、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
方法提炼：
例1：画出不等式表示的平面区域。
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
【点评】：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
例2：用平面区域表示.不等式组的解集。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，
如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
【点评】：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
例3：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
【点评】：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集
例4：
解：(1)
或矛盾无解，
故点在一带形区域内（含边界）。
【点评】：转化为等价的不等式组,把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
例5：利用区域求不等式组
的整数解.
【点评】：不等式组的实数解集为三条直线，，所围成的三角形区域内部(不含边界)。设，，，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的的整数值。
解：设，，，，，，∴，，。于是看出区域内点的横坐标在内，
取＝1，2，3，当＝1时，代入原不等式组有 ，得＝－2，
∴区域内有整点(1,-2)。
同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。
例6．三个顶点坐标为，求内任一点所满足的条件．
【点评】：先求出三边所在的直线方程，然后在内找任意一点，代入直线方程验证。
解：三边所在的直线方程：
：；
：；
：．
内任意一点都在直线下方，
且在直线的上方，
故满足的条件为．
选择题
1. 已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则（ ）
B．0
C． D．
2. 不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是
3．双曲线的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）
B、
C、 D、
4．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )
二、填空题
5．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）
（1）不等式表示直线
的平面区域；
不等式表示直线
的平面区域；
不等式表示直线
的平面区域；
不等式表示直线
的平面区域．
6. 原点和点在直线的两侧，则实数的取值范围是 ．
7. 若点在直线下方区域，则实数的取值范围为 ．
8. 若点在直线的上方区域，则点在此直线的下方还是上方区域 ．
三、解答题
8.画出不等式所表示的平面区域。
9.画出不等式表示的平面区域。
10. 试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．
3．3 二元一次不等式（组）与平面区域答案 ( http: / / / gzsx / jsbsyjc / dzkb / bx5 / 200412 / t20041217_149911.htm" \t "_blank )
答案
答案: D。解析：将（1，2）代入得小于0，则
答案：C。
解析：原不等式等价于
两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．
答案：A。解析：双曲线的两条渐近线方程为，过（3，0）且平行于的直线是和，∴围成的区域为A。
4.答案:A。解析：，故选A
5.略
二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．
6. 将点和的坐标代入的符号相反，即，∴．
7.∵直线下方的点的坐标满足，∴．
8.∵直线的上方区域的点的坐标满足，
∵点在直线的上方区域，∴，∴．
又∵，∴点在此直线的上方区域．
9.略
10.略
11.答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：
①或 ②
上述两个不等式组所表示的平面区域为
如图所示的阴影部分．
它所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3．
：简单的线性规划问题
3.3.2 知识梳理：
1、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3、结论
线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
方法提炼：
例1：投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：
资 金（百万元） 场 地
（平方米） 利 润（百万元）
A产品 2 2 3
B产品 3 1 2
限 制 14 9
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解
解：设生产A产品百吨，生产B产品米，利润为百万元，
则约束条件为，目标函数为．
作出可行域（如图），
将目标函数变形为，
它表示斜率为，在轴上截距为的直线，
平移直线，当它经过直线与和的交点时，
最大，也即最大．此时，．
因此，生产A产品百吨，生产B产品米，利润最大为1475万元．
【点评】：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．
对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
例2．某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．
解：设每天调出A型车辆，B型车辆，公司花费成本元，
则约束条件为，
即，
目标函数为．
作出可行域（图略，见课本第83页图3-3-11），
当直线经过直线与轴的交点时，有最小值．但不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是，经过的整点是，它是最优解．
因此，公司每天调出A型车8辆时，花费成本最低．
【点评】：解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解。
例3．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．
解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．
由图知，原点不在公共区域内，当
时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大．
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
例4．（1）已知，求的取值范围；
（2）设，且，，求的取值范围。
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，
作直线：，作一组平行线：，
由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，
当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，
所以，．
（2），，，
由（1）知，．
一．选择题
1. 在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A. [6，15] B. [7，15]
C. [6，8] D. [7，8] ( http: / / www.21cnjy.com / )2. 若实数x,y满足则z＝3x+2y的最小值是 …( )
A.0 B.1 C. D.9
3. 若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. B.1 C. D.2
4. 当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z＝kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是( )
(-∞,-1］∪［1,+∞) B.［-1,1］
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)
二、填空题
5.已知则x2+y2的最小值是__________________.
6. 已知变量x,y满足约束条件若目标函数z＝ax+y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为______________.
三、解答题
7. 预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能得多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
8.设满足约束条件组，求的最大值和最小值
3．3 简单的线性规划问题
答案 1.由交点为A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C′(0,4),
(1)当3≤s＜4时,可行域是四边形OABC,此时,7≤z＜8;
(2)当4≤s≤5时,可行域是△OAC′,此时zmax＝8,故选D.
2.将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是(0,-2),选C.
3.解出可行域的顶点,代入验证即可. 答案:B
4.目标函数所表示的直线的斜率为-k,当直线所表示的斜率比直线BC的斜率大,比直线AC的斜率小时,恰好在点C(1,2)处取得最优解.∵kAC＝1,kBC＝-1,∴-1≤-k≤1,解得-1≤k≤1. 答案:B
5. 画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),则x2+y2的最小值是5.
6. 画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z＝ax+y取得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有3a＞a+1且3a＞1，解得a＞.
7. 解:设桌、椅分别买x张、y把，目标函数z＝x+y,把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由
解得所以A点的坐标为（,).
由解得
所以B点的坐标为(25,).所以满足条件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三角形区域（如下图），由图形可知，目标函数z＝x+y在可行域内的最优解为(25,),但注意到x∈N*,y∈N*，故取
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.
8. 解：由知，代入不等式组消去得，代入目标函数得，作直线：，作一组平行线：平行于，由图象知，当往左上方移动时，随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当经过时、，当经过时，，所以，，．
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探析
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探析
- 8 -第三章：不等式
3.1 知识梳理：
1、基本不等式性质：
（5）
2、“作差法”比较大小：
① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
方法提炼：
例1：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【点评】：
解：设杂志社的定价为x 元，
则销售的总收入为 万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
例2：已知求证
。
【点评】：
证明：以为，所以ab>0,。
于是
，即
由c<0 ，得
例3：比较(a＋3)（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小。
【点评】：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）
＝－7＜0
∴（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4）
例4：日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。
【点评】：（浓度＝）
解:
例5：若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
【点评】：
解:
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1 ≤ f(-1) ≤ 2，
3 ≤ f(1) ≤ 4， ①
所以
3 ≤ 3 f(-1) ≤ 6． ②
①+②得
4 ≤ 3 f(-1) + f(1) ≤ 10，
即 6 ≤ f(-2) ≤ 10．
例5：已知
,满足，则实数的范围是__________
【点评】：当，即时，B为空集， 显然成立；当B不为空集时，有，
综上m的范围为。
一．选择题
1. 已知不等式①，②，
③ 能成立的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
2. 若aA．和均不能成立
B．和均不能成立
C．不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立
D．不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立
3. 下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）a>b且ab<0<; (2) >a>b;
(3) bc2a>b
A. 0 B. 1 C. 2 D.3
4. 如果，，则不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 若，，则（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知，，那么，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
7. 如果，那么________．
8. 若，且，则，，，中最大的是_______________．
9. 某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量应不少于％，蛋白质的含量应不少于％，写成不等式组就是____________________．
三．解答题
10．比较下列两个数的大小： 与
11.已知，，，
求证：．
12.设为实数，求证：
3．1 不等关系与不等式 ( http: / / / gzsx / jsbsyjc / dzkb / bx5 / 200412 / t20041217_149911.htm" \t "_blank )
答案
1、答案：选A。提示：对①，当a，b为负时不成立，对②，只有a，b同号时才成立。③
，因为b的符号不确定，故不成立。
2、答案：B。解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴.
故不成立.
3、答案：选B。提示：当时（1）错误；当时不能推出；由不等式性质知(3)正确；当时，ac2=bc2。
4. A
5. D 取特殊值验证，x=1时等号成立
6. A a=6, b= 5
>
略
>
略
证: 要证明原不等式成立,则只要证:
只要证:
若,上式显然成立,从而原不等式成立;
若1+ab>0,则只要证:
只要证:
上式显然成立,从而原不等式成立。
3．1 不等关系与不等式
- 2 -