(共18张PPT)
26.3
实践与探索
1.利用二次函数解决实物抛物线形问题
教学目标
教学重点与难点
重点:掌握二次函数模型的建立,会把实际问题转化为二次函数问题.
难点:利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题.
1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系和确定
二次函数关系式．
2.利用二次函数知识解决实际问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
问题探究
问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于
水面竖一根柱子,在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水.
柱子在水面以上部分的高度为1.25m,水流在各个方向上沿
形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.
x
O
y
A
B
图1
A
图2
O
根据设计图纸已知:在图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间函数关系式是：
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，
那么水池的半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？
利用二次函数解决实际问题
(1)“柱子在水面以上部分的高度为1.25m”实际是指什么？
(0,1.25)
(2)“喷出的水流距水平面的最大高度”实质是求什么？
求运动路线的最高最远问题
问题探究
x
O
y
A
B
图1
A
图2
O
y
x
A
O
Ｂ
水池为圆形，
O点在中央，
喷水的落点到圆心的距离相等.
(3)“如果不计其他因素,为使水不溅落在水池外,那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内”实质是求什么？
问题探究
(3)“如果不计其他因素,为使水不溅落在水池外,那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内”实质是求什么？
A
O
y
x
Ｂ
y=－x?+2x+0.8
最小半径
线段ＯＢ的长度(点Ｂ的横坐标)
Ｃ
(不合题意,舍去)
舍去
注意自变量的实际意义
∴最小半径为２.5m.
方法总结
求运动路线的最高与最远问题的实质
物体运动的路线是抛物线形时：
(1)求最高就是求抛物线顶点的纵坐标；
(2)求最远就是求抛物线与x轴的交点的横坐标.
如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线,当篮球运行水平距离为2.5m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
随堂练习
x
y
O
A
B
C
(1.5,3.05)
(0,3.5)
解:如图所示，建立直角坐标系.
则点A的坐标是(1.5,
3.05)，
篮球在最大高度时的位置为B(0,
3.5).
以点C表示运动员投篮球的出手处.
设以y轴为对称轴的抛物线的
解析式为
y=ax2+k.
∵
点A，B在这条抛物线上，
随堂练习
x
y
O
A
B
C
(1.5,3.05)
(0,3.5)
解:如图所示，建立直角坐标系.
则点A的坐标是(1.5,
3.05)，
篮球在最大高度时的位置为B(0,
3.5).
以点C表示运动员投篮球的出手处.
设以y轴为对称轴的抛物线的表达式为
y=ax2+k.
∵
点A，B在这条抛物线上，
解得:a=
,k=
.
3.5
－0.2
∴该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
∴当
x=－2.5时，y=2.25
.
∴该运动员出手时的高度为2.25m.
问题探究
问题2:一个涵洞的截面边缘是如图所示的抛物线,现测得
水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)这时,离开水面1.5m处,涵洞ED宽是多少?是否会超过1m?
B
B
D
A
E
分析：
想求抛物线的解析式，
要先建立平面直角坐标系.
怎样建立平面直角坐标系呢？
你的想法是什么？
y
x
O
建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式：
y
x
O
y
x
O
方法1
方法2
方法3
哪种建立比较简单？
问题探究
问题2:一个涵洞的截面边缘是如图所示的抛物线,现测得
水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m.
(1)求抛物线的解析式；
O
x
y
A
B
E
D
解:如图所示，建立直角坐标系.
则点A的坐标是(－0.8,
－2.4)，
点B的坐标是(0.8,
－2.4).
设抛物线的表达式为
y=ax2(a<0).
把点B的坐标(0.8,
－2.4)代入得：
a=
－3.75,
∴抛物线的解析式为y=－3.75x2.
“离开水面1.5
m处,涵洞宽ED是多少”你是怎样理解的？
1.5
m
(x,－0.9)
问题探究
问题2:一个涵洞的截面边缘是如图所示的抛物线,现测得
水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m.
O
x
y
A
B
E
D
1.5
m
(x,－0.9)
(2)这时,离开水面1.5m处,涵洞ED宽是多少?是否会超过1m?
设离开水面1.5m处的点D的坐标
为(x,－0.9)，
代入y=－3.75x2得:
<0.5,
∴
2x<1,
∴
涵洞ED宽不会超过1m.
方法总结
求实物模型的高度与宽度问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、拱门和大桥
等实际应用问题：
(1)首先要把这些实际问题中的相应数据正确地
落实到平面直角坐标系中的抛物线上，求解得出抛物线所对应的函数表达式；
(2)通过二次函数的性质来解决测量问题中的高度
或宽度问题、最值问题等.
有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为
20
m,拱顶距离水面
4
m．如图所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线表示的函数的解析式；
(2)若水面下降
1m，则水面宽度增加多少m？
O
A
C
D
B
y
x
20
m
h
解:(1)设这条抛物线的解析式为y=ax2.
随堂练习
∵该抛物线过(10,－4),
∴－4=100a，
∴
a=－0.04，
∴这条抛物线表示的函数
的解析式为y=－0.04x2.
(2)∵水面下降1m,
即当y=
时，
－5
∴－5=－0.04x2,
∴水面宽度增加了
m.
一.求运动路线的最高与最远问题的实质：
物体运动的路线是抛物线形时：
(1)求最高就是求抛物线顶点的纵坐标；
(2)求最远就是求抛物线与x轴的交点的横坐标.
课堂小结
二.求实物模型的高度与宽度问题：
利用二次函数解决抛物线形的隧道、拱门和大桥等实际应用问题：
(1)首先要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上，求解得出抛物线所对应的
函数表达式；
(2)通过二次函数的性质来解决测量问题中的高度或宽度问题、最值问题等.
作业与课外学习任务
1.作业：课本P30
习题26.3
1
2.课外学习任务：
预习课本P26-29
26.3
实践与探索
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共23张PPT)
26.3
实践与探索
2.二次函数与二次方程、二次不等式的关系
教学目标
教学重点与难点
重点:能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
难点:理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
1.通过探索,理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式：
2.二次函数的一般形式：
请同学们思考,一元二次方程和二次函数之间是否
存在一定的关系呢？若有,它们之间的关系是怎样
的呢？
问题探索
二次函数与一元二次方程的关系
问题:画出二次函数y=x2－3x+2的图象,根据图象回答下列
问题：
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？
(2)当x取何值时,
y=0?这里x的取值与方程x2－3x+2=0有何
关系？
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
5
-2
3
2
1
-1
6
5
4
8
7
y
(1,0),(2,0)
当y＝0时,解析式变成一元二次方程x2－3x+2=0
,其解为
x1=1x2=2
,就是抛物线y=x2－3x+2与x轴的两个交(1,0),(2,0)的横坐标.
一元二次方程x2－3x+2=0的解x1，x2就是抛物线y=x2－3x+2与x轴的两个交点的横坐标.
x
O
A
B
y
二次函数与一元二次方程的关系
问题总结
(1)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2,那么抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的坐标分别是(x1,0),(x2,0).
(2)求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的方法：
令y=0，则ax2+bx+c=0.一元二次方程的两根x1,
x2
就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标.
y
x
O
直线
问题探索
二次函数与一元二次不等式的关系
问题:根据二次函数y=x2－3x+2的图象,回答下列问题：
(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时,y>0?
(2)试用含有x的不等式来描述问题(1).
(1)当1即x2－3x+2<0
;
当x<1或x>2时,y>0,
即x2－3x+2>0.
(2)一元二次不等式x2－3x+2<0的解集就是1一元二次不等式x2－3x+2>0的解集就是x<1或x>2.
y
x
O
问题探索
二次函数与一元二次不等式的关系
问题:根据二次函数y=－x2+3x－2的图象,回答下列问题：
(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时,y>0?
(2)试用含有x的不等式来描述问题(1).
(1)当x<1或x>2时,y<0,
即－x2+3x－2<0
;
当10,
即－x2+3x－2>0.
(2)一元二次不等式－x2+3x－2<0的解集就是x<1或x>2;
一元二次不等式－x2+3x－2>0的解集就是1(2)利用图象解不等式,用数形结合的思想比较简捷,如下表：
y
x
x1
x2
O
y
x
x1
x2
O
y
x
x1
x2
O
y
x
x1
x2
O
的解集是:
x＜x1或x＞x2
的解集是:
x1＜x＜x2
的解集是:
x1＜x＜x2
的解集是:
x＜x1或x＞x2
问题总结
二次函数与一元二次不等式的关系
(1)画出函数y=ax2+bx+c的图象,不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合;
不等式ax2+bx+c<0的解集为图象下x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么
方程ax2+bx+c=0的根是
__________;
不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.
3
-1
O
x
y
x1=－1,x2=3
x<－1或x>3
－1随堂练习
2.如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2
的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴
有____
个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0
的根是______.
1
(2,0)
x1=x2=2
2
O
x
随堂练习
y
3.如果方程ax2+bx+c=0
（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴有______个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
0
解:(1)当a>0时,
ax2+bx+c<0无解；
(2)当a＜0时,
ax2+bx+c<0的
解集是一切实数.
3
-1
O
x
随堂练习
利用函数图象解下列方程和不等式:
(1)
①－x2+x+2=0;
②－x2+x+2>0;
③－x2+x+2<0.
(2)
①x2－4x+4=0;
②x2－4x+4>0;
③x2－4x+4<0.
(3)
①－x2+x－2=0;
②－x2+x－2>0;
③－x2+x－2<0.
x
y
0
2
0
x
y
-1
2
x
y
0
y=
－x2+x+2
x1=－1
,
x2=2
－1
＜
x＜2
x1＜－1
或
x2＞2
y=x2－4x+4
x=2
x≠2的一切实数
x无解
y=－x2+x－2
x无解
x无解
x为全体实数
随堂练习
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
5
-2
3
2
1
-1
5
4
y
x
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
5
-2
3
2
1
-1
5
4
y
问题探索
二次函数与一元一次方程的关系
问题：利用你学过的函数知识，解方程：x2=2x+3.
方法1:方程化为x2－2x－3=0,画出函数y=x2－2x－3的图象
与x轴的交点，其横坐标即为方程的根.
方法2:分别画出y=x2和y=2x+3的图象，两个函数图象的
交点的横坐标就是原方程的解.
你对这两种解法有什么看法？
A
B
x
O
y
问题总结
二次函数与一元一次方程的关系
(1)求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点的
横坐标,就是求一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根.
(2)求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交点的方法:
联立得方程组:
方程组的解就是交点坐标.
y
x
O
A
B
y
x
O
A
B
问题探索
二次函数与一元函数的关系
问题:二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=mx+n的
图象交于A(x1,
y1)，B(x2,
y2).根据图象回答下列问题：
(1)当x取何值时,
y1＞y2?
当x取何值时,
y1＜y2?
当x取何值,
y1=y2?
(2)试用含有x的不等式来描述问题(1).
当xx2时,y1>y2;
当x1当x=x1或x=x2时,y1=y2.
当x1y2
;
当xx2时,y1当x=x1或x=x2时,y1=y2.
随堂练习
1.已知函数y1＝x2与函数
的图象大致如图,
若y1＜y2，则自变量x的取值范围是(
).
解析：先根据方程
算出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案.
C
2.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为(
).
A.
x1=0,
x2=4
B.
x1=1,
x2=5
C.
x1=1,
x2=－5
D.
x1=－1,
x2=5
3.若二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（
）
A.
x＜－4或x＞2
B.
－4≤x≤2
C.
x≤－4或x≥2
D.
－4＜x＜2
D
D
随堂练习
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是(
).
A.
m≥－2
B.
m≥5
C.
m≥0
D.
m≥4
解析：
方程ax2+bx+c=m有实数根，
即表示二次函数y=ax2+bx+c
的图象与直线y=m有交点.
A
随堂练习
5.如图,一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx－2交于A、
B两点,且A(1,0),抛物线的对称轴是
.
(1)求k和a、b的值；
(2)求不等式
kx+1＞ax2+bx－2的解集.
x
y
A
O
B
随堂练习
解:(1)∵y1=kx+1经过点A(1,0)，
∴
0=k+1，
∴
k=－1.
∵
y=ax2+bx－2经过点A(1,0)，
∴
a+b－2=0
①，
∵抛物线的对称轴是
联立①
②，解得:
a=
,
b=
.
5.如图,一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx－2交于A、
B两点,且A(1,0),抛物线的对称轴是
.
(1)求k和a、b的值；
(2)求不等式
kx+1＞ax2+bx－2的解集.
x
y
A
O
B
随堂练习
(2)根据抛物线的对称性，
可得y2与x轴的另一个交点为
，
(－4,0)
(1,0)
(－4,0)
.
根据图象可以看出，
kx+1＞ax2+bx－2的解集为
.
－4＜x＜1
kx+1≤ax2+bx－2的解集为
?
x≤－4或x≥1
变
形
函数图象交点的横坐标
变
形
函数图象交点的横坐标
变
形
变
形
解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围
解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P30
习题26.3
3,4
2.课外学习任务：
期中考复习：第21,22,26章
教学反馈：
作业存在的主要问题：
