(共20张PPT)
27.1
圆
的
认
识
博学
慎思
求真
至善
2.
圆的对称性
教学目标
教学重点与难点
重点:圆的对称性、同圆中圆心角弧弦三个量之间的相互关系、垂径定理及其应用.
难点:垂径定理及其应用.
1.了解圆是中心对称图形和轴对称图形.
2.理解在同一个圆中，圆心角、弧、弦三个量之间
的相互关系，并掌握它们在解题中的应用.
3.掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用垂径定理
及圆的要素解决一些实际问题.
(1)描述定义：
圆是由一条
绕着它的一个
旋转
所形成的图形.
O
A
B
(2)集合定义：
圆是到
(
)的距离等于
(
)的点的集合.
温故夯基
一.圆的定义:
P
O
线段
端点
一周
定点
圆心
定长
半径
●
O
温故夯基
二.圆的确定:
圆是由
和
共同确定.
圆心确定圆的
,半径确定圆的
.
A
圆心
半径
位置
大小
三.圆的分类:
同心圆：
相同，
不同的圆.
等圆：
不同，
相同的圆.
圆心
半径
圆心
半径
四.弦和弦心距:
弦：连结圆上
的线段.
任意两点间
弦心距：圆心到
的距离.
弦
直径：经过
的弦.
圆心
B
A
C
O
1.弧：圆上
的部分.
2.半圆：
分圆所成的两段弧.
3.劣弧：
的弧，用
个字母表示.
4.优弧：
的弧，用
个字母表示.
温故夯基
五.弧及其分类:
任意两点间
5.等弧：同圆或等圆中,能够
的弧.
直径
小于半圆
两
大于半圆
三
完全重合
六.圆心角:
顶点在
,并且两边都和
相交
的角.
圆心
圆周
巩固练习
1.下面四个图中的角，是圆心角的是(
).
D
第1题图
第3题图
2.如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，
∠DAB＝70°，连结AC，则∠DAC等于(
).
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
B
3.在⊙O中,直径AB＝a,弦CD＝b,则a与b的大小关系为(
).
A．a≥b
B．a＞b
C．a≤b
D．a＜b
A
巩固练习
4.如图,在⊙O中,弦有
,直径是
,
优弧有
,劣弧有
.
5.如图，A，B是⊙O上的两点，若∠OAB＝30°，
则∠AOB＝
.
第4题图
第5题图
AC,AB
AB
⌒
ABC,
⌒
CAB
⌒
AC,
⌒
CB
120°
1.什么是旋转对称图形？
旋转对称图形：一个图形绕一点旋转一定角度后能与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形.
中心对称图形:一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形.
知识回顾
2.
什么是中心对称图形？
圆是旋转对称图形吗？是中心对称图形吗？
圆有哪些对称性呢？
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度。
学习新知
圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以圆既是旋转对称图形，也是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆是轴对称图形吗?
它的对称轴是什么?
有几条?
一.圆的中心对称性
即时应用
下列说法中，不正确的是(
).
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
O
A
B
C
C'
A'
B'
根据旋转的性质,将扇形AOB绕圆心O旋转到扇形A'
OB'的位置时,显然∠AOB＝∠A'
OB'
,射线OA与OA'重合,OB与OB'重合.而同圆的半径相等,OA=OA'
,OB=OB'
,从而点A与A'重合,B与B'重合．
新知探索
将图中的扇形AOB(着色部分)绕点O逆时针旋转某个角度,
在得到的图形中，比较前后两个图形，你能发现什么？
∵∠AOB＝∠A'
OB'
,
∴
AB=A'
B',
AB＝A'
B'.
在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等、
所对的弦相等.
若弧相等呢？
若弦相等呢？
学习新知
二.圆心角、弦和弧的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等、
所对的弦相等.
几何语言：
∵∠AOB＝∠A'
OB'
,
∴
AB=A'
B',
AB＝A'
B'.
2.在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对
的圆心角相等、所对的弦相等.
几何语言：
∵
AB=A'
B',
∴∠AOB＝∠A'
OB'
,
AB＝A'
B'.
3.在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对
的圆心角相等、所对的弧相等.
几何语言：
∵
AB＝A'
B'，
∴∠AOB＝∠A'
OB'
,
AB=A'
B'.
以上三个结论
对于在等圆中
也成立！
在同圆(或等圆)中,圆心角、弦、弧三组量中,只要有一组量相等,那么另两组量也相等.
1.判断下列说法是否正确：
(1)相等的圆心角所对的弧相等.（
）
(2)相等的弧所对的弦相等.（
）
(3)相等的弦所对的弧相等.（
）
×
√
×
即时应用
C
2.下列命题是真命题的是(
).
A.相等的弦所对的弧相等
B.圆心角相等，其所对的弦相等
C.在同圆或等圆中,圆心角不等,所对的弦不相等
D.弦相等，它所对的圆心角相等
例1
如图，在⊙O中，AC=BD，∠1=
45°.求∠2的大小.
解：
∵
AC=BD
,
∴
∴
AB=CD,
AC-BC=BD-BC
,
∴
∠2=∠1=45°.
(在同圆中,相等的弧所对的圆心角相等)
例题精析
（
（
A
B
C
D
O
例2
如图,
AB、CD是⊙O中的两条相交弦,且AB=CD.
求证：AD=CB.
例题精析
证明:
∵
AB=CD,
AB=CD
,
∴
∴
AB-DB=CD-DB
,
∴
AD=CB
.
若分别连接AD与BC，你能得到什么结论？
AD=BC
(在同圆中,相等的弧所对的弦相等)
随堂练习
1.如图1,
AB是⊙O的直径,C、D是BE的三等分点,
∠AOE=60°,则∠COE的度数是（
）.
A.
40°
B.
60°
C.
80°
D.
120°
（
O
A
B
C
D
E
图1
O
A
B
C
D
图2
2.如图2,
AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦,
且BC=CD=DA，则∠BCD的度数是（
）.
A.
100°
B.
110°
C.
120°
D.
135°
C
C
课本P39页
3.如图，在⊙O中，
，∠B=
70°
.
求∠C的大小.
AB=AC
⌒
⌒
解：
∵
AB＝AC
⌒
⌒
∴
AB=AC，
随堂练习
(在同圆中,相等的弧所对的弦相等)
∴
∠C=∠B=
70°
.
∠A的度数能求吗？
∠A=
40°
随堂练习
4.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°.
求∠AOE的大小.
⌒
⌒
⌒
课本P39页
解：
∵
BC＝CD＝DE
⌒
⌒
⌒
∴
∠BOC=∠COD=∠DOE=
40°，
(在同圆中,相等的弧所对的圆心角相等)
∴
∠AOE=
180°－∠BOC－∠COD－∠DOE
=
180°－3
×40°
=
60°.
一.圆的中心对称性
课堂小结
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,也是旋转
对称图形.对称轴是过圆心的任意一条直线,对称中
心和旋转中心都是圆心,旋转角度可以是任意角度.
二.圆心角、弦和弧的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等、
所对的弦相等.
2.在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弦相等.
3.在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等.
以上三个结论对于在等圆中也成立！
作业与课外学习任务
1.作业：课本P45
习题27.1
1,2
练习：学习检测
P19-21
1～14
2.课外学习任务：
预习课本P39-40
27.1
圆的认识
2.
圆的对称性（垂径定理）
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共33张PPT)
27.1
圆
的
认
识
博学
慎思
求真
至善
2.
圆的对称性（垂径定理）
教学目标
教学重点与难点
重点:圆的对称性、同圆中圆心角弧弦三个量之间的相互关系、垂径定理及其应用.
难点:垂径定理及其应用.
1.了解圆是中心对称图形和轴对称图形.
2.理解在同一个圆中，圆心角、弧、弦三个量之间
的相互关系，并掌握它们在解题中的应用.
3.掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用垂径定理
及圆的要素解决一些实际问题.
一.圆的中心对称性
圆既是
对称图形,又是
对称图形,也是
对称
图形.对称轴是过
的任意一条直线,对称中心和
旋转中心都是
,旋转角度可以是
角度.
二.圆心角、弦和弧的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的
相等、
所对的
相等.
2.在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的
相等、所对的
相等.
3.在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的
相等、所对的
相等.
以上三个结论对于在
中也成立！
温故夯基
轴
中心
旋转
圆心
圆心
任意
弧
弦
圆心角
弦
圆心角
弧
等圆
巩固练习
1.如图所示,在⊙O中,
AB＝AC,∠A＝30°,则∠B＝(
).
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
B
2.如图,在⊙O中,若点C是AB的中点,∠A＝50°,
则∠BOC＝(
).
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
A
3.如图,三圆同心于O,
AB＝12
cm,CD⊥AB于点O,
则图中
阴影部分的面积为
cm2.
第1题图
第2题图
第3题图
9π
⌒
⌒
⌒
A
B
圆的旋转不变性
一个圆绕圆心旋转任何
角度后，与它自身重合
圆是中心对称图形
圆心是它的对称中心
温故知新
圆的对称性
·
O
温故知新
圆的对称性
圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线,有无数条对称轴.
判断对错并说明理由:
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径.（
）
×
问题:图中CD为圆O的直径,AB为圆O的弦.相交于点P,当弦AB在圆上运动的过程中有没有特殊情况?
直径CD和弦AB互相垂直
观察思考
C
D
O
B
A
P
B
A
B
A
在这个条件下，我们能得到什么结论呢？
如图,
AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为P．
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?
·
O
A
B
D
C
P
(1)这个图形是轴对称图形．
直径CD所在的直线是它的对称轴.
(2)线段：AP=BP,
⌒
⌒
弧:
AC＝
BC ，
AD＝BD.
⌒
⌒
ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
观察思考
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AP与BP重合，
猜想:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
P
B
A
C
D
O
⌒
AC=BC,
AD=BD
.
⌒
⌒
⌒
推理证明
已知:在⊙O中,
CD是直径,
AB是弦,
AB⊥CD,
垂足为点P.
求证：AP=BP，
证明:
连结OA、OB、CA、CB,
则OA=OB，
即△AOB是等腰三角形.
∵
AB⊥CD,
∴
AP=BP.
又∵
CP=CP,
∴
Rt△APC≌Rt△BPC.
∴
AC=BC,
AC=
BC
.
∴
(在同圆中,相等的弦所对的弧相等)
∴
AD=
BD
.
┏
学习新知
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对
的两条弧.
P
B
A
C
D
O
几何语言：
∵CD是直径
，AB⊥CD,
∴
AP=BP,
⌒
AC=BC,
AD=BD
.
⌒
⌒
⌒
说明：
(1)这里的直径可以理解为“过圆心的直线”，
结论也成立；
(2)垂径定理由两个条件和三个结论组成：
条件:①直径;②直径垂直于弦;
结论:①直径平分弦；②直径平分弦所对的优弧；
③直径平分弦所对的劣弧.
即时应用
判断题：
(1)过圆心的直线平分弦.
(
)
(2)垂直于弦的直线平分弦.
(
)
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE.
(
)
?O
A
B
C
D
E
(1)
错
?O
A
B
C
D
E
(2)
错
O
?
A
B
E
(3)
对
学习新知
垂径定理的推论
P
B
A
C
D
O
平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分
这条弦所对的两条弧.
已知:如图,在⊙O中,直径CD交弦AB于点P，
AP=BP.
求证：CD⊥AB，
AD=BD,AC=BC.
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结AO、BO，
∵AO=BO,
∴△AOB为等腰三角形.
∵AP=BP,
∴CD⊥AB,
∵CD是直径，
∴
AD=BD,AC=BC.
⌒
⌒
⌒
⌒
几何语言：
∵CD是直径
,AP
=BP,
AB不是直径的弦，
∴
CD⊥AB,
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
注意:这里的弦不能是直径!
平分弦的直径垂直于弦（
）
错
学习新知
垂径定理的推论
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
P
B
A
C
D
O
几何语言：
∵CD是直径
，
∴
AB⊥CD,
AP=BP.
AC=BC,
⌒
⌒
方法总结
一条直线如果具有：
“①经过圆心(直径),
②垂直于弦
,
③平分弦
，,④平分弦
所对的一条弧,
⑤平分弦所对的另一条弧”中的任意两条
性质，那么就具有其余三条性质(具有①和
③时,所说的弦
不能是直径).
【用途】垂径定理不但给我们提供了证明线段相等、弧相等的工具，也给我们进行圆的计算提供了理论基础，关键是可以构造直角三角形利用勾股定理，它是我们所学习的圆部分的最重要的定理之一.
1.按图填空：在⊙O中，
(1)若MN⊥AB，MN为直径，
则________，________，________；
(2)若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，
则________，________，________；
(3)若MN⊥AB，AC＝BC，
则
________
，________，________；
(4)若AN
=
BN
，MN为直径，
则________，________，________．
A
Ｂ
N
M
C
Ｏ
⌒
⌒
即时应用
AC=BC
AM=BM
AN=BN
MN⊥AB
AM=BM
AN=BN
MN为直径
AM=BM
AN=BN
MN⊥AB
AC=BC
AM=BM
(1)垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.
(
)
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心.(
)
(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.
(
)
(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(
)
(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分.
(
)
×
√
×
×
√
2.判断题：
即时应用
例1
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.
.
A
E
B
O
例题精析
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
解：连结OA,过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE.
∵AB＝8厘米,
∴
AE＝4厘米.
在Rt△AOE中，
OA＝
∴
⊙O的半径为5厘米.
例题精析
例2
如图，在半径为5
cm的⊙O中，弦AB=
8
cm.
求点O与弦AB的距离.
O
A
B
E
4
5
解：连结OA,过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OA＝5
cm，AE＝BE.
∵AB＝8
cm,
∴
AE＝4
cm.
在Rt△AOE中，
OE＝
∴
点O与弦AB的距离为3
cm.
变式1:如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离
为3cm,求弦AB的长.
变式2：如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=8cm,OE⊥AB
于E交⊙O于F,求EF的长.
F
8
cm
2
cm
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
．
O
A
B
C
r
d
要点总结
a
D
h
(1)
常用的辅助线：
①作半径；
②过圆心作弦的垂线（段）
；
图中：
半径OB=r
弦长AB=a
弦心距OC=d
CD=h
(2)半径、半弦长、弦心距组成的
直角三角形是研究与圆有关问题的
主要思路，它们之间的关系：
在a、r、h、d
四个量中，已知其中两个量，可以求出另外两个量.
1.
在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，
则圆心到弦的距离是
cm.
2.
在圆O中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离
为5,则圆O的直径是
.
3.
如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，
AE＝16，BE=4,则CD＝
.
?
A
B
D
C
E
O
?
o
C
D
E
?
C
D
O
E
随堂练习
3
O
E
26
16
O
A
B
O
A
B
D
C
M
图
1
图
2
C
随堂练习
4.如图1，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，
则弦AB的长是(
).
A.
B.
C.
D.
5.如图2，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，若CM=8，DM=12,则AB等于(
).
A.
B.
C.
D.
D
B
6.在⊙O中，弦AB的长为24
cm，圆心O到弦AB的距离（弦心距）为5
cm，求⊙O的半径.
随堂练习
7.如图,
AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,
且AB=8
cm，OC=5
cm，求DC的长.
E
B
A
O
D
B
A
C
O
13
cm
2
cm
C
D
A
B
E
平分已知弧AB
已知：AB
作法：
1.连结AB.
2.作AB的垂直平分线
CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点.
求作：AB的中点.
⌒
⌒
学习新知
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；
2.以O为圆心，OA为半径作圆.
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；
2.以O为圆心，OA为半径作圆.
例3
赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米，主拱CD高约10米.
(1)如图1,尺规作图,找出桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹);
(2)如图2，求桥弧AB所在圆的半径R.
图
2
C
A
O
B
D
R
图
1
例题精析
A
B
C
O
例3
赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米，主拱CD高约10米.
(2)如图2，求桥弧AB所在圆的半径R.
图
2
C
A
O
B
D
R
例题精析
解:由(1)的作图可得：
△AOD为直角三角形,D为AB的中点,
CD=10.
∴
AD=
在Rt△AOD中，
∵
AD=20,OD=R－10,OA=R,
OA2=AD2+OD2,
解得:R=25.
∴桥弧AB所在圆的半径R为25米.
某居民区一处圆形下水管破裂,修理人员准备更换一段
新管道,如图,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离
为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？
60cm
10cm
随堂练习
A
B
O
C
解:连结OA,过O作OC⊥AB,垂足为C，
则AC=
OC=OA－10.
在Rt△AOC中，
∵
AC=30,OC=OA－10,
OA2=AC2+OC2,
∴
OA2=302+(OA－10)2,
解得:OA=50.
∴
内径为2×50=100.
答：修理人员应准备内径为100
cm的管道.
课堂小结
一.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧.
二.垂径定理的推论：
1.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
2.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
一条直线如果具有：
“①经过圆心(直径),
②垂直于弦
,
③平分弦
，,④平分弦
所对的一条弧,
⑤平分弦所对的另一条弧”中的任意两条
性质，那么就具有其余三条性质(具有①和
③时,所说的弦
不能是直径).
说明
【用途】垂径定理不但给我们提供了证明线段相等、弧相等的工具，也给我们进行圆的计算提供了理论基础，关键是可以构造直角三角形利用勾股定理，它是我们所学习的圆部分的最重要的定理之一.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
．
O
A
B
C
r
d
a
D
h
(1)
常用的辅助线：
①作半径；
②过圆心作弦的垂线（段）
；
图中：
半径OB=r
弦长AB=a
弦心距OC=d
CD=h
(2)半径、半弦长、弦心距组成的
直角三角形是研究与圆有关问题的
主要思路，它们之间的关系：
在a、r、h、d
四个量中，已知其中两个量，可以求出另外两个量.
课堂小结
三.半径、半弦长、弦心距之间的关系
作业与课外学习任务
1.作业：课本P45
习题27.1
3
练习：学习检测
P19-21
1～14
2.课外学习任务：
预习课本P40-44
27.1
圆的认识
3.
圆周角
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共26张PPT)
27.1
圆
的
认
识
博学
慎思
求真
至善
1.
圆的基本元素
教学目标
教学重点与难点
重点:圆的定义及其基本元素.
难点:正确理解圆的基本元素.
1.理解圆的定义及其要素.
2.理解圆的基本元素：弦、劣弧、优弧、圆心角的概念.
情境引入
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，
一切平面图形中最美的是圆形.”它的完美来自于中心对称,
无论处于哪个位置，都具有同一形状。它们是最谐调、
最匀称的图形.
与圆的对称性有关联的还有哪些性质呢？你想知道吗？
让我们共同走进圆吧！
本章将带我们走进圆的世界，去了解圆的性质.
车轮为什么做成圆形的？
50%
20%
30%
步行
公共汽车
其他
情境引入
我们已经学会将收集到的数据用扇形统计图加以描述.
下图就是反映某学校学生上学方式的扇形统计图.
那么，如何确定一个圆呢？
接下去的内容，不会让你“晕头转向”，
而会让你知道“没有规矩,不成方圆”的“圆的魔力”!
(1)描述定义：
圆是由一条线段绕着它的一个端点旋转一周所形成的图形.
O
A
B
(2)集合定义：
圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合.
学习新知
一.圆的定义:
P
O
在同一平面内，一条线段OP绕它的一个
端点O旋转一周，另一个端点P所经过的
封闭曲线叫做圆.
注意这里所指的圆是指圆周，而不是一个圆的平面.
●
O
(1)这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“⊙O”;
(2)同圆中所有的半径都相等,直径是半径的两倍;
学习新知
二.圆的确定:
圆是由圆心和半径共同确定.
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
说明：
A
B
C
OA=OB=OC,
AB=2OA=2OB=2OC.
(3)圆周上的每一个点到圆心的距离都等于半径；
到圆心的距离等于半径的点都在圆周上.
学习新知
三.圆的分类:
同心圆：圆心相同，半径不同的圆.
等圆：圆心不同，半径相同的圆.
(1)弦的两个端点都在圆上,圆中有长度不同的弦;
(2)直径是弦，是过圆心的弦，弦不一定是直径,
在圆中，直径是最长的弦;
O
A
B
C
●
O
B
C
A
为什么半径OB不是弦？
学习新知
四.弦和弦心距:
弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦；
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
说明：
如:弦AC、AB、BC.
(3)半径不是弦，因为圆心不在圆周上.
经过圆心的弦叫做直径.
直径是最长的弦，你能说明理由吗？
O
D
C
B
A
即直径是圆中最长的弦.
推理证明
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的任意一条弦.
求证：AB＞CD.
证明：
连结OC，OD.
∵
OA=OB=OC=OD,
∴
OC+OD=AB.
又∵
OC+OD＞CD,
∴
AB＞CD.
.
O
A
D
Q
C
B
P
H
G
F
E
如图所示：
(1)直径是_______;
(2)弦是_____________;
(3)
PQ是直径吗?______;
(4)线段EF、GH是弦吗？_______.
K
AB
CD、DK、AB
不是
不是
即时应用
B
A
C
O
1.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；
如弧BC,记作BC.
2.半圆：直径分圆所成的两段弧叫做半圆；
3.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；
4.优弧：大于半圆的弧叫做优弧.
如弧BAC,记作BAC.
5.等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
学习新知
五.弧及其分类:
说明：
(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆;
(2)半圆既不是劣弧，也不是优弧;
(3)劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.
要点异同
弦与弧的注意点
1.弦与弧的关系：
(1)弦是圆上两点间的线段,有无数条；
弧是圆上两点的部分,弧是曲线,弧也有无数条;
(2)每条弧对一条弦，而每条弦所对的弧有两条：优弧劣弧或两个半圆.
2.半圆是弧,半圆不是扇形,半圆是优弧和劣弧的区分标准;
3.等弧是指在同圆或等圆的前提下，能完全重合的弧叫做等弧.不能理解为长度相等的弧叫做等弧.
注意：在大小不等的两个圆中，不存在等弧！
C
●
O
B
A
1.如图所示：
⌒
ABC,
⌒
ACB,
⌒
BCA,
它们一样吗？
⌒
AB
⌒
BC
劣弧有：
;
优弧有：
.
⌒
ACB
⌒
BAC
注意:和角一样，优弧的三个字母也是有顺序的.
即时应用
不一样
(2)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧．
注意：一条弦对的弧有两条！
1
4
4
3
2.如图所示：
(1)有____条直径，____条弦，以A为一个端点的
优弧有___条，劣弧有___条;
即时应用
弦AB所对的弧有：
，
⌒
ADB
⌒
AEB
弦CD所对的弧有：
,
弦EF所对的弧有：
.
⌒
CAD
⌒
CD
⌒
EAF
⌒
EF
O
A
B
C
学习新知
五.圆心角:
顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的角叫做
圆心角.
请你指出图中
的圆心角
图中的圆心角有：
∠AOB
∠BOC
∠AOC
思考:∠ABC与∠ACB
是不是圆心角？为什么？
圆心O是这些圆心角的顶点.
C
B
O
A
F
E
D
M
如图所示，∠CMB，
∠CMA是不是圆心角？
圆心角有：
.
∠DOE
，
∠COE
不是
注意：圆心角的顶点必须在圆心！
即时应用
问题解决
车轮为什么做成圆形的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离
都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与
平面的距离保持不变.
因此,
当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到
非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理.
1.判断下列说法是否正确：
(1)直径是弦，弦是直径.
（
）
(2)半圆是弧，弧是半圆.
（
）
(3)半径相等的两个圆是等圆.（
）
(4)两段相等的弧是等弧.
（
）
(5)优弧一定比劣弧长.
（
）
(6)直径是圆中最长的弦.
（
）
随堂练习
(7)圆的任何一条弦的两端点,把圆分成两条弧,所以一条弦对两条弧.
（
）
(8)面积相等的两个圆是等圆.
（
）
(9)直径是弦，且圆内最长的弦是直径.
（
）
(10)半圆是弧，弧小于半圆.
（
）
×
√
×
×
×
√
√
√
√
×
2.以下命题，正确的个数有（
）.
(1)半圆是弧,但弧不一定是半圆；
(2)过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径；
(3)弦是直径；
(4)直径是圆中最长的弦；
(5)直径不是弦；
(6)优弧大于劣弧；
(7)以O为圆心的圆可以画无数个圆.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
随堂练习
C
√
×
×
√
×
×
√
3.下列说法错误的是（
）.
A.圆上的点到圆心的距离相等
B.过圆心的线段是直径
C.直径是圆中最长的弦
D.半径相等的圆是等圆
B
4.下列说法中,错误的有（
）
(1)经过点P的圆有无数个；
(2)以点P为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3cm且经过点P的圆有无数个;
(4)以点P为圆心,3cm为半径的圆有无数个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
随堂练习
√
√
√
×
A
5.下列说法：
①直径是弦;
②弦是直径;
③半圆是弧，但弧不一定是半圆;
④长度相等的两条弧是等弧;
⑤完全重合的两条弧是等弧.
正确的命题有（
）.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
√
×
√
√
×
C
6.过圆上一点可以作圆的最长弦有____条.
7.图中有____条直径,____条非直径的弦,圆中以A为一个
端点的优弧有____条,劣弧有____条.
8.如图,
⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线
上，图中弦的条数为_____.
9.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,且AB=OC,
则∠A=_______.
1
1
2
4
4
2
第9题
24°
随堂练习
第7题
第8题
1.如图,
已知AB是⊙O的直径,
AC为弦,
OD∥BC,
交AC于点D,BC=6cm，求OD的长.
D
C
A
O
B
∴OD＝3cm.
能力提高
解:
∵
OD∥BC,
∴
△ADO∽
△ACB,
∵BC=6cm，
你还有其他解法吗？
另解:
∵
OD∥BC,O为AB的中点,
∴
OD为△ABC的中位线,
∵BC=6cm，
∴OD＝3cm.
能力提高
2.如图，E是⊙O上一点,AB是⊙O的弦,OE的延长线交AB
的延长线于C.
如果BC=OE,∠C=40°,求∠
EOA的度数.
解：连结OB.
∵
BC=OE,
∴
BC=OB,
∴∠C=∠BOE=40°,
∴∠ABO=
∠C+∠BOE=80°.
又∵OA＝OB,
∴∠A=∠ABO=
80°,
∴∠
EOA＝180°－
∠
A
－
∠
C
＝180°－
80°－
40°＝
60°.
2.理解圆的有关概念(如弦、弧及其分类、圆心角、同心圆、等圆等).
1.理解圆的描述定义、集合定义.
3.在圆中常添作的辅助线为圆的半径，构造等腰三角形或全等三角形.
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P37
练习
1,2
练习：学习检测
P18-19
1～12
2.课外学习任务：
预习课本P37-40
27.1
圆的认识
2.
圆的对称性
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共29张PPT)
27.1
圆
的
认
识
博学
慎思
求真
至善
3.
圆周角
教学目标
教学重点与难点
重点:圆周角的概念、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其应用.
难点:圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其应用.
1.理解圆周角的概念.
2.理解圆周角与圆心角的关系，掌握直径所对圆周角的特征.
3.能熟练应用圆周角定理及推论进行有关问题的计算和证明.
一.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧.
二.垂径定理的推论：
1.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
2.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
一条直线如果具有：
“①经过圆心(直径),
②垂直于弦
,
③平分弦
，,④平分弦
所对的一条弧,
⑤平分弦所对的另一条弧”中的任意两条
性质，那么就具有其余三条性质(具有①和
③时,所说的弦
不能是直径).
说明
温故夯基
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
．
O
A
B
C
r
d
a
D
h
(1)
常用的辅助线：
①作半径；
②过圆心作弦的垂线（段）
；
图中：
半径OB=r
弦长AB=a
弦心距OC=d
CD=h
(2)半径、半弦长、弦心距组成的
直角三角形是研究与圆有关问题的
主要思路，它们之间的关系：
在a、r、h、d
四个量中，已知其中两个量，可以求出另外两个量.
三.半径、半弦长、弦心距之间的关系
巩固练习
2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误
的是(
).
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
BC＝BD
D．△OCE≌△ODE
⌒
⌒
第1题图
第2题图
A
B
1.如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24，ON⊥AB,
垂足为N，则ON＝(
).
A．5
B．7
C．9
D．11
巩固练习
D
4.已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间
的距离是
cm
C
D
O
A
B
E
F
OE=
,OF=
.
6
8
2
C
D
O
A
B
E
F
或14
3.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，
则弦AB所对圆心角的大小为(
).
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
O
A
B
O
A
B
C
这个又是
什么角呢？
温故知新
你还记得圆心角的定义吗?
顶点在圆心的角叫做圆心角.
角的顶点在圆的什么位置？
角的两边和圆是什么关系？
圆上
两边和圆相交
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
学习新知
一.圆周角的定义：
顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角.
定义既体现了圆周角的特征，也是判断依据.
说明：
判定一个角是否是圆周角，必须从两个方面：
一是角的顶点在圆上；
二是角的两边必须和圆相交.
即时应用
(1)
(4)
(2)
(3)
(5)
(6)
判断下列图中哪些角是圆周角：
不是
不是
不是
是
不是
是
猜想：直径所对的圆周角为90°?
你能给予证明吗？
新知探索
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的任意一点
(除点A、B外)，那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.
猜猜看：∠ACB会是怎样的角？
用量角器量∠ACB，
你就知道它的度数！
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∵
∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝
180°，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即：
证明：∵
OA＝OB＝OC，
猜想证明
∴
△AOC、△BOC都是等腰三角形，
＝90°.
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).
学习新知
二.半圆或直径所对的圆周角的特征：
B
A
O
C
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).
几何语言：
∵AB是直径
，
∴∠ACB=
90°.
反之：
90°(直角)的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.
几何语言：
∵∠ACB=
90°,
∴AB是直径
.
那么对于一般的弧所对的圆周角,又有什么规律呢?
圆心在圆周角内
A
B
C
O
圆心在圆周角边上
A
B
C
O
圆心在圆周角外
A
B
C
O
新知探索
问题：在圆上任取一个圆周角,观察圆心与圆周角的位置
关系有几种情况？
我们知道：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
那么，在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有
什么关系呢？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系.
解:
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵
OA=OB，
●
O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴
∠AOC=2∠B.
即
∠ABC
=
∠AOC.
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半.
理解并掌握这个模型.
新知探索
三.同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系：
1.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?怎么转化？
过点B作直径BD.由1可得:
●O
A
B
C
D
新知探索
三.同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系：
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
新知探索
三.同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系：
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?怎么转化？
过点B作直径BD.由1可得:
D
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
D
D
圆心在角的边上
圆心在角外
圆心在角内
要点归纳
三.同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系：
E
学习新知
四.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧相等.
C
O
D
A
B
1.图中有几个圆周角？
∠CAD
∠CBD
∠C
∠D
2.相等的圆周角有几对？
∠CAD
=∠CBD，
∠C=
∠D
3.若∠AOB=
80°,则∠D=
？
40°
4.若∠C=
90°,则∠AOB=
？
B
A
O
C
180°
则弦AB是
？
直径
推论1
90°的圆周角所对的弦是直径.
例题精析
例1
如图，AB是⊙O的直径,
点D在⊙O上,
∠AOD=130°,
BC//OD交交⊙O于点C，则∠A等于（
）.
A.
50°
B.
40°
C.
30°
D.
20°
A
B
O
C
D
例2
如图,
在⊙O中,
弦AB和CD交于点M,
∠A=45°,
∠AMD=75°,∠B的度数是（
）.
A.
15°
B.
25°
C.
30°
D.
75°
例3
如图,AB是⊙O的直径,D是AC的中点,∠ABC=50°,
则∠DAB的度数是（
）.
A.
55°
B.
60°
C.
65°
D.
70°
D
A
B
C
O
第2题图
D
A
B
C
第3题图
O
第1题图
B
M
C
⌒
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=
___
.
O
A
B
C
B
A
O
.
70°
x
1.求下列各图圆中角X的度数：
A
O
.
X
120°
3.
如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为半圆上的两点,∠COD=500,则∠CAD=_____.
35°
120°
130°
25°
随堂练习
第1题图
第2题图
学习新知
五.圆的内接多边形：
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.
如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形
叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
A
B
C
F
E
D
·
O
六边形ABCDEF叫做
⊙O的内接六边形
⊙O是六边形的
ABCDEF的外接圆
任意多边形都有外接圆，任意一个圆都有内接多边形.
D
C
O
B
A
∵
∠BCD和∠BAD所对的圆心角的和是周角，
∴
∠A＋∠C＝
180°.
同理:∠B＋∠D＝180°.
学习新知
五.圆的内接多边形：
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A与∠C
有何关系呢？
推论2
圆的内接四边形的对角互补.
C
O.
D
B
A
E
∠A与∠DCE
有什么关系？
∠A=∠DCE
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
思考
图27.1.14是一个圆形零件，你能找到它的
圆心位置吗？你有什么简捷的办法？
方法1：在圆中任意画两条互不平行
的弦，分别作每条弦的垂直平分线，
两条垂直平分线的交点就是圆心.
方法2：把一个直角三角板的直角顶点放在圆周上,
两直角边与圆分别有交点,连结两交点的线段即是
直径,然后变换位置再做一次,两条直径的交点就是
圆心.(注意避开两条直径重合的情形)
例4
如图，AB为⊙O的直径，
∠A=80°，
求∠ABC的大小.
A
O
例题精析
解：∵AB为⊙O的直径，
∴
∠ACB=90°，
(直径所对的圆周角等于90°)
又∵
∠A=80°,
∴
∠ABC=
180°
－∠A－∠ACB
=180°
－80°－
90°
=
10
°.
例题精析
例5
求出图中∠x的大小：
O
D
A
B
E
F
C
20°
30°
x
解：连结BF.
∵
同弧所对的圆周角相等，
∴
∠ABF=
∠D=
20°
,
∠CBF=
∠E=
30°
,
∴
∠x=∠ABF+
∠CBF=
50°
.
随堂练习
1.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
已知∠BOD=100°,则∠BAD=
,∠BCD=
.
2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCE=75?,则∠BOD=
.
3.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,
则∠A=
,
∠B=
,∠C=
,∠D=
.
O
B
C
D
A
O
B
C
D
A
E
50?
130?
第1题图
第2题图
150?
60?
90?
120?
90?
4.在圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)
°
和(5x－30)
°,则这条弧所对的圆心角为
，
圆周角为
.
140?
70?
课堂小结
一.圆周角的定义：
顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角.
二.半圆或直径所对的圆周角的特征：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).
推论1
90°的圆周角所对的弦是直径.
三.同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
四.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
五.圆的内接多边形：
推论2
圆的内接四边形的对角互补.
作业与课外学习任务
1.作业：课本P45
习题27.1
4,5,6,7,8
练习：学习检测
P21-23
1～16
2.课外学习任务：
预习课本P46-48
27.2
与圆有关的位置关系
1.
点与圆的位置关系
教学反馈：
作业存在的主要问题：
