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北师大版数学九年级下3.4
圆周角和圆心角的关系（1）导学案
课题
3.4
圆周角和圆心角的关系（1）
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
理解圆周角定义，掌握圆周角定理,会熟练运用定理解决问题.
2、圆周角定理及其应用.
重点
难点
圆周角定理及其应用.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
垂径定理的内容是什么？
合
作
探
究
探究一：
在射门游戏中（如图
3-15），球员射中球门的难易与他所处的位置
B
对球门
AC
的张角（∠ABC）有关．图
3-16
是一个俯视图，位置B，D，E
对球门
AC
所形成的张角的大小相等吗？
图3-15
图3-16
观察图
3-16
中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，
它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角（angle
ina
circular
segment）．
做一做
如图
3-17，∠AOB
=
80°．
（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系呢？请与同伴进行交流．
（2）这些圆周角与圆心角
∠
AOB
的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．
图3-17
议一议
在图
3-17
中，改变∠AOB
的度数，上面的结论仍成立吗？
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
探究二：
已知：如图
3-18，∠?ACB
是所对的圆周角，∠?AOB
是所对的圆心角．
求证：∠?ACB
=
∠?AOB
圆周角与圆心角有几种不同的位置关系呢？
分析：根据圆周角和圆心的位置关系分三种情况讨论：
（1）圆心
O
在
∠?ACB
的一条边上，如图
3-18（1）；
（2）圆心
O
在
∠?ACB
的内部，如图
3-18（2）；
（3）圆心
O
在
∠?ACB
的外部，如图
3-18（3）．
在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．
图3-18
证明：（1）圆心
O
在
∠?ACB
的一条边上，如图
3-18（1）．
∵
∠?AOB
是
△AOC
的外角，
∴
∠
AOB
=
∠?CAO
+
∠?ACB．
∵
OA
=
OC，
∴
∠?CAO
=
∠?ACB．
∴
∠?AOB
=
2
∠?ACB
即∠ACB
=∠?AOB．
议一议
你能解决其他两种情况吗？要解决图
3-18（2）和图
3-18（3）的情况，
可以分别将其转化成图
3-18（1）的情况，从而利用三角形外角解决问题．
探究三：
想一想
在射门游戏中，当球员在
B，D，E
处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC
的大小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？
同弧或等弧所对的圆周角相等.
当
堂
检
测
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于(
)
A.
90°
B.
50°
C.
100°
D.
80°
如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠D=30°，则∠AOC等于(
)
A.
60°
B.
90°
C.
120°
D.
150°
3、如图，在⊙O中，弦AB//CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=
(
)
A.
80°
B.
50°
C.
40°
D.
20°
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
(2)若∠M=30°，求∠D的度数．
课
堂
小
结
1、圆周角定义：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2、圆周角定理及其定理应用：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
参考答案
自主学习：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
合作探究：
探究一：相等
（1）∠ACB、∠ADB和∠AEB这几个圆周角相等
（2）这些圆周角=圆心角∠
AOB
议一议
上面的结论仍成立
当堂检测：
1、解：∵圆心角∠AOC和圆周角∠ABC都对着
，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=100°，
故选：C．
2、解：∵∠D=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°-60°=120°，
故选：C．
3、解：∵AB//CD，
∴∠C=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠C=80°．
故选A．
4、解：(1)∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=(x-4)2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
(2)∵∠M=30°，
∴∠DOB=2∠M=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD为等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠D=
×60°=30°
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3.4
圆周角和圆心角的关系（1）
数学北师大版
九年级下
复习导入
在同圆或等圆中圆心角、弧和弦有什么关系？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
新知讲解
在射门游戏中（如图
3-15），球员射中球门的难易与他所处的位置
B
对球门
AC
的张角（∠?ABC）有关．图
3-16
是一个俯视图，位置
B，D，E
对球门
AC
所形成的张角的大小相等吗？
图
3-15
图
3-16
相等
新知讲解
观察图
3-16
中的
∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，
它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角（angle
ina
circular
segment）．
新知讲解
做一做
如图
3-17，∠AOB
=
80°．
（1）请你画出几个
所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系呢？请与同伴进行交流．
（2）这些圆周角与圆心角
∠AOB
的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．
⌒
AB
图
3-17
新知讲解
图
3-17
A
C
B
O
（1）∠ACB、∠ADB和∠AEB这几个
圆周角相等.
D
E
（2）这些圆周角=
圆心角=
∠AOB
新知讲解
在图
3-17
中，改变
∠AOB
的度数，上面的结论仍成立吗？
议一议
上面的结论仍成立.
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
新知讲解
新知讲解
已知：如图
3-18，∠ACB
是
所对的圆周角，∠AOB
是
所对的圆心角．
求证：∠ACB
=
∠AOB．
⌒
AB
⌒
AB
圆周角与圆心角有几种不同的位置关系呢？
新知讲解
分析：根据圆周角和圆心的位置关系分三种情况讨论：
（1）圆心
O
在
∠ACB
的一条边上，如图
3-18（1）；
（2）圆心
O
在
∠ACB
的内部，如图
3-18（2）；
（3）圆心
O
在
∠ACB
的外部，如图
3-18（3）．
图
3-18
新知讲解
在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．
证明：（1）圆心
O
在
∠ACB
的一条边上，如图
3-18（1）．
∵
∠?AOB
是
△AOC
的外角，
∴
∠
AOB
=
∠?CAO
+
∠?ACB．
∵
OA
=
OC，
∴
∠CAO
=
∠ACB．
∴
∠AOB
=
2
∠ACB
即∠ACB
=
∠AOB．
图
3-18（1）
新知讲解
你能解决其他两种情况吗？要解决图
3-18（2）和图
3-18（3）的情况，可以分别将其转化成图
3-18（1）的情况，从而利用三角形外角解决问题．
议一议
新知讲解
在射门游戏中，当球员在
B，D，E
处射门时，所形成的三个张角
∠ABC，∠ADC，∠AEC
的大小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？
想一想
同弧或等弧所对的圆周角相等.
新知讲解
课堂练习
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于(
)
A.
90°
B.
50°
C.
100°
D.
80°
解：∵圆心角∠AOC和圆周角∠ABC都对着
，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=100°，
故选：C．
⌒
AC
C
课堂练习
2、如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠D=30°，则∠AOC等于(
)
A.
60°
B.
90°
C.
120°
D.
150°
解：∵∠D=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°-60°=120°，
故选：C．
C
拓展提高
3、如图，在⊙O中，弦AB//CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=
(
)
A.
80°
B.
50°
C.
40°
D.
20°
解：∵AB//CD，
∴∠C=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠C=80°．
故选:A．
A
拓展提高
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
(2)若∠M=30°，求∠D的度数．
拓展提高
解：(1)∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=(x-4)2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
拓展提高
(2)∵∠M=30°，
∴∠DOB=2∠M=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD为等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠D=
×60°=30°．
课堂总结
1、圆周角定义：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2、圆周角定理及其定理应用：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
板书设计
课题：3.4
圆周角和圆心角的关系（1）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、圆周角和圆心角的关系
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P81练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P81练习第3、4题
