7.2 二次根式的性质课件（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 7.2 二次根式的性质课件（共37张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-24 16:47:31 | ||
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文档简介
第七章 二次根式
2 二次根式的性质
知识点一 的性质
名称
符号语言
应用与拓展
注意
的
性 质
知识点一 的性质
名称
符号语言
应用与拓展
注意
的
性 质
（1）正用公式:
（2）逆用公式:
（以后会学习）
化简形如 将其转化为|a|的形式，再根据a的符号去掉绝对值符号
特别提醒 （ ）2（a≥0）与 的异同点：
式子
异同点
（ ）2（a≥0）
不同点
意义
取值
结果
相同点
特别提醒 （ ）2（a≥0）与 的异同点：
式子
异同点
（ ）2（a≥0）
不同点
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
取值
a是非负数
a是任意实数
结果
（ ）2＝a（a≥0）
相同点
（ ）2（a≥0）与 本身都是非负数，且当a≥0时，（ ）2＝
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
分析 求（1）（2）（4）的值直接用 化简，要注意结果是a还是-a；（3）先化为 ，再化简.
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
分析 求（1）（2）（4）的值直接用 化简，要注意结果是a还是-a；（3）先化为 ，再化简.
解析（1） ＝|-1.2|＝1.2.（2） .
（3） ＝ ＝|x＋1|，∵x＜-1，∴x＋1＜0，∴ ＝-（x＋1）＝-x-1.
（4） ＝|3.14-π|＝π-3.14.
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
分析 求（1）（2）（4）的值直接用 化简，要注意结果是a还是-a；（3）先化为 ，再化简.
解析（1） ＝|-1.2|＝1.2.（2） .
（3） ＝ ＝|x＋1|，∵x＜-1，∴x＋1＜0，∴ ＝-（x＋1）＝-x-1.
（4） ＝|3.14-π|＝π-3.14.
点拨 应用 ，进行计算时其结果一定是非负数.
知识点二 积的算术平方根的性质
文字语言
符号语言
特别提醒
知识点二 积的算术平方根的性质
文字语言
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
符号语言
（a≥0，b≥0）
特别提醒
（1）积的算术平方根的性质对两个以上因式的积的算术平方根同样适用；
（2）应用积的算术平方根的前提条件是乘积中的每个因式都必须是非负数；
（3）此性质的作用是化简二次根式
例2 化简:（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）；（5） .
例2 化简:（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）；（5） .
解析（1） .
（2） .
（3）
（4）
（5）
例2 化简:（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）；（5） .
解析（1） .
（2） .
（3）
（4）
（5）
点拨 积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况，如 （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）.
知识点三 商的算术平方根的性质
文字语言
符号语言
特别提醒
知识点三 商的算术平方根的性质
文字语言
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
符号语言
（a≥0，b＞0）
特别提醒
（1）商的算术平方根中要注意，分母不能为0，即除式b必须是正数；
（2）当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数；
（3）利用商的算术平方根的性质可以化简二次根式，使其被开方数不含分母
例3 化简下列各式:（1） （a＞0）；
（2） （a≥0，b≥0，c＞0）；（3） .
例3 化简下列各式:（1） （a＞0）；
（2） （a≥0，b≥0，c＞0）；（3） .
解析
（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
例3 化简下列各式:（1） （a＞0）；
（2） （a≥0，b≥0，c＞0）；（3） .
解析
（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
点拨 应用商的算术平方根的性质进行计算时，其结果一定是最简二次根式或整式.
知识点四 最简二次根式
内容
举例
条件
化成最简二次根式的一般方法
特别
提醒
知识点四 最简二次根式
内容
举例
条件
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
化成最简二次根式的一般方法
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数
若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数
被开方数是多项式时要先进行因式分解
特别
提醒
（1）最简二次根式的被开方数中不含分母，即被开方数必须是整数或整式；
（2）最简二次根式的被开方数中每个因数或因式的指数都是1
例4 把下列各式化为最简二次根式或整式
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）.
例4 把下列各式化为最简二次根式或整式
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）.
解析（1）原式＝ .
（2）原式＝ .
（3）原式＝ .
（4）原式＝ .
温馨提示 化简二次根式一般要注意以下几点:
（1）被开方数较大时，可将被开方数化为一个数的平方与另一个数（此数为不含能开得尽方的因数）的乘积的形式；
（2）被开方数是带分数时，要化成假分数；
（3）被开方数是小数时，要化成分数；
（4）被开方数是多项式时，能分解因式的要分解因式.
经典例题
题型一 应用 化简二次根式
例1 实数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A.2a＋b B.-3b C.-2a-6 D.3b
题型一 应用 化简二次根式
例1 实数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A.2a＋b B.-3b C.-2a-6 D.3b
解析 由题中数轴可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a-b＞0，a＋2b＜0，则原式＝a-b-a-2b＝-3b.
答案 B
题型二 二次根式的大小比较
例2 比较 和 的大小
题型二 二次根式的大小比较
例2 比较 和 的大小
解析 解法一:∵ ， ，45＞24，∴ ，即 ＞ .
解法二∵（ ）2＝32×5＝45，（ ）2＝22×6＝24，45＞24，∴ ＞ .
题型二 二次根式的大小比较
例2 比较 和 的大小
解析 解法一:∵ ， ，45＞24，∴ ，即 ＞ .
解法二∵（ ）2＝32×5＝45，（ ）2＝22×6＝24，45＞24，∴ ＞ .
点拨 比较两个正的二次根式的大小，①可以转化为比较两个被开方数的大小先将根号外的系数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，依据是被开方数大的，其算术平方根也大；②先将两个二次根式分别平方，计算出结果，再比较大小，依据是平方的结果越大，原来的二次根式越大.
题型三 二次根式的化简
例3 把下列二次根式化成最简二次根式或整式:
（1） ；（2） ；（3 ） ；
（4） ；（5） ；（6） .
题型三 二次根式的化简
例3 把下列二次根式化成最简二次根式或整式:
（1） ；（2） ；（3 ） ；
（4） ；（5） ；（6） .
解析（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
（5）原式＝
（6）原式＝
点拨
把二次根式化为最简二次根式时，常用的性质有 （a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0），
＝a（a≥0）.
易错易混
易错点 化简二次根式易出错
例 当x≤2时，化简: ＝___________.
易错点 化简二次根式易出错
例 当x≤2时，化简: ＝___________.
解析 ∵x≤2，∴ ＝ ＝|x-2|＝2-x.
答案 2-x
易错点 化简二次根式易出错
例 当x≤2时，化简: ＝___________.
解析 ∵x≤2，∴ ＝ ＝|x-2|＝2-x.
答案 2-x
易错警示
本题中容易出现的错误是忽略x-2的正负情况，直接把结果写成x-2，因此我们在化简 时，若a表示多项式，则一定要对被开方数的正负情况进行判断.
2 二次根式的性质
知识点一 的性质
名称
符号语言
应用与拓展
注意
的
性 质
知识点一 的性质
名称
符号语言
应用与拓展
注意
的
性 质
（1）正用公式:
（2）逆用公式:
（以后会学习）
化简形如 将其转化为|a|的形式，再根据a的符号去掉绝对值符号
特别提醒 （ ）2（a≥0）与 的异同点：
式子
异同点
（ ）2（a≥0）
不同点
意义
取值
结果
相同点
特别提醒 （ ）2（a≥0）与 的异同点：
式子
异同点
（ ）2（a≥0）
不同点
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
取值
a是非负数
a是任意实数
结果
（ ）2＝a（a≥0）
相同点
（ ）2（a≥0）与 本身都是非负数，且当a≥0时，（ ）2＝
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
分析 求（1）（2）（4）的值直接用 化简，要注意结果是a还是-a；（3）先化为 ，再化简.
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
分析 求（1）（2）（4）的值直接用 化简，要注意结果是a还是-a；（3）先化为 ，再化简.
解析（1） ＝|-1.2|＝1.2.（2） .
（3） ＝ ＝|x＋1|，∵x＜-1，∴x＋1＜0，∴ ＝-（x＋1）＝-x-1.
（4） ＝|3.14-π|＝π-3.14.
例1 求下列各式的值（1） ；（2） ；
（3） （x＜-1）；（4） .
分析 求（1）（2）（4）的值直接用 化简，要注意结果是a还是-a；（3）先化为 ，再化简.
解析（1） ＝|-1.2|＝1.2.（2） .
（3） ＝ ＝|x＋1|，∵x＜-1，∴x＋1＜0，∴ ＝-（x＋1）＝-x-1.
（4） ＝|3.14-π|＝π-3.14.
点拨 应用 ，进行计算时其结果一定是非负数.
知识点二 积的算术平方根的性质
文字语言
符号语言
特别提醒
知识点二 积的算术平方根的性质
文字语言
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
符号语言
（a≥0，b≥0）
特别提醒
（1）积的算术平方根的性质对两个以上因式的积的算术平方根同样适用；
（2）应用积的算术平方根的前提条件是乘积中的每个因式都必须是非负数；
（3）此性质的作用是化简二次根式
例2 化简:（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）；（5） .
例2 化简:（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）；（5） .
解析（1） .
（2） .
（3）
（4）
（5）
例2 化简:（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）；（5） .
解析（1） .
（2） .
（3）
（4）
（5）
点拨 积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况，如 （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）.
知识点三 商的算术平方根的性质
文字语言
符号语言
特别提醒
知识点三 商的算术平方根的性质
文字语言
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
符号语言
（a≥0，b＞0）
特别提醒
（1）商的算术平方根中要注意，分母不能为0，即除式b必须是正数；
（2）当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数；
（3）利用商的算术平方根的性质可以化简二次根式，使其被开方数不含分母
例3 化简下列各式:（1） （a＞0）；
（2） （a≥0，b≥0，c＞0）；（3） .
例3 化简下列各式:（1） （a＞0）；
（2） （a≥0，b≥0，c＞0）；（3） .
解析
（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
例3 化简下列各式:（1） （a＞0）；
（2） （a≥0，b≥0，c＞0）；（3） .
解析
（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
点拨 应用商的算术平方根的性质进行计算时，其结果一定是最简二次根式或整式.
知识点四 最简二次根式
内容
举例
条件
化成最简二次根式的一般方法
特别
提醒
知识点四 最简二次根式
内容
举例
条件
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
化成最简二次根式的一般方法
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数
若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数
被开方数是多项式时要先进行因式分解
特别
提醒
（1）最简二次根式的被开方数中不含分母，即被开方数必须是整数或整式；
（2）最简二次根式的被开方数中每个因数或因式的指数都是1
例4 把下列各式化为最简二次根式或整式
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）.
例4 把下列各式化为最简二次根式或整式
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （a≥0，b≥0）.
解析（1）原式＝ .
（2）原式＝ .
（3）原式＝ .
（4）原式＝ .
温馨提示 化简二次根式一般要注意以下几点:
（1）被开方数较大时，可将被开方数化为一个数的平方与另一个数（此数为不含能开得尽方的因数）的乘积的形式；
（2）被开方数是带分数时，要化成假分数；
（3）被开方数是小数时，要化成分数；
（4）被开方数是多项式时，能分解因式的要分解因式.
经典例题
题型一 应用 化简二次根式
例1 实数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A.2a＋b B.-3b C.-2a-6 D.3b
题型一 应用 化简二次根式
例1 实数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A.2a＋b B.-3b C.-2a-6 D.3b
解析 由题中数轴可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a-b＞0，a＋2b＜0，则原式＝a-b-a-2b＝-3b.
答案 B
题型二 二次根式的大小比较
例2 比较 和 的大小
题型二 二次根式的大小比较
例2 比较 和 的大小
解析 解法一:∵ ， ，45＞24，∴ ，即 ＞ .
解法二∵（ ）2＝32×5＝45，（ ）2＝22×6＝24，45＞24，∴ ＞ .
题型二 二次根式的大小比较
例2 比较 和 的大小
解析 解法一:∵ ， ，45＞24，∴ ，即 ＞ .
解法二∵（ ）2＝32×5＝45，（ ）2＝22×6＝24，45＞24，∴ ＞ .
点拨 比较两个正的二次根式的大小，①可以转化为比较两个被开方数的大小先将根号外的系数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，依据是被开方数大的，其算术平方根也大；②先将两个二次根式分别平方，计算出结果，再比较大小，依据是平方的结果越大，原来的二次根式越大.
题型三 二次根式的化简
例3 把下列二次根式化成最简二次根式或整式:
（1） ；（2） ；（3 ） ；
（4） ；（5） ；（6） .
题型三 二次根式的化简
例3 把下列二次根式化成最简二次根式或整式:
（1） ；（2） ；（3 ） ；
（4） ；（5） ；（6） .
解析（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
（5）原式＝
（6）原式＝
点拨
把二次根式化为最简二次根式时，常用的性质有 （a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0），
＝a（a≥0）.
易错易混
易错点 化简二次根式易出错
例 当x≤2时，化简: ＝___________.
易错点 化简二次根式易出错
例 当x≤2时，化简: ＝___________.
解析 ∵x≤2，∴ ＝ ＝|x-2|＝2-x.
答案 2-x
易错点 化简二次根式易出错
例 当x≤2时，化简: ＝___________.
解析 ∵x≤2，∴ ＝ ＝|x-2|＝2-x.
答案 2-x
易错警示
本题中容易出现的错误是忽略x-2的正负情况，直接把结果写成x-2，因此我们在化简 时，若a表示多项式，则一定要对被开方数的正负情况进行判断.