12.3.2 等边三角形
【教学目标】
1.知识与能力：
理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法：
在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
【教学重点】
理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
等边三角形性质和判定的应用．
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．
活动1
请你探索等边三角形的性质和判定方法．
学生活动设计：
学生独立思考，然后进行交流，在交流中完成：
（1）所有性质的探索；
（2）性质的证明．
教师活动设计：
让学生归纳所有性质，并证明所有的性质（可以口述）．
归纳：
等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
二、问题探究、巩固练习
活动2
问题
如图（1），兴趣小组在一次测量活动中测得∠APB＝60°，AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m．他们的结论对吗？
图（1）
学生活动设计：
学生在独立思考的基础上进行讨论，经过讨论可以发现，只需要证明△ABP是等边三角形即可．根据条件AP=BP知，此三角形是等腰三角形，又∠APB＝60°，可以得到三角形是等边三角形，进而可以得到AB＝200 m，所以兴趣小组的结论是正确的．
教师活动设计：
让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．另外本问题的解决方法不止一种，注意学生的不同解法（比如可以利用三个角相等的三角形是等边三角形）
〔解答〕略．
活动3
如图（2），在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？
图（2）
学生活动设计：
学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，要证明△ADE是等边三角形可以有两种方法：
方法1 证明有两边相等，且有一个角是60°；
方法2 证明三个角都相等（是60°）．
对于方法1，根据条件容易得到，AD=AE且∠A＝60°于是结论成立；对于方法2由于不容易实现，学生可以课下思考．
教师活动设计：
鼓励学生大胆猜测结论，然后进行证明．
〔解答〕因为△ABC是等边三角形，
所以AB=AC，∠A＝60°．
又因为AD=AE，
所以△ADE是等边三角形．
活动4
如图（3），将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？你能证明你的结论吗？
图（3）
学生活动设计：
学生观察图形，分析数量关系，发现∠BAD＝60°，而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD＝2BC，进而得到：
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
然后进行证明．
教师活动设计：
鼓励学生寻找不同的解决问题的方法，上述可以是方法1，可能有如下方法，如图（4）．
图（4）
作∠DCB＝60°，由于∠B＝60°，所以∠BDC＝60°，于是△BDC是等边三角形，即BC=BD=DC；另一方面，由于∠A＝30°，∠BDC＝60°，根据三角形的外角得到∠ACD＝30°，再根据等角对等边得到AD=DC，因此得到AB=AD+DB=2BC，结论成立．
〔解答〕略．
三、应用提高、拓展创新，培养学生解决问题的能力和创新意识
活动5
如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？
图（5）
师生活动设计：
学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
〔解答〕略．
活动6
如图（6），以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和△ACD，连接BD、CE，（1）线段CE和BD有什么数量关系？证明你的结论．（2）能否求出∠DFC的度数？
图（6）
学生活动设计：
学生先独立思考再小组讨论，然后交流．
（1）经过分析可以发现，只需要证明线段CE和BD所在的△AEC和△ABD全等即可，根据等边三角形的性质可以得到AC=AD，AE=AB，∠DAC=∠EAB＝60°，进而得到∠EAC=∠BAD，根据SAS得到△AEC≌△ABD，于是结论成立；
（2）根据（1）可以得到∠BDA=∠ACE，又∠CGF=∠DGA(对顶角)，可以得到∠DFC＝60°，问题解决．
教师活动设计：
教师在学生交流的基础上，引导学生寻找解决这类问题时需要注意的地方，让学生写出规范的解题过程．
〔解答〕因为△ABE和△ACD是等边三角形，
所以∠DAC=∠EAB＝60°，AE=AB，AD=AC，
所以∠EAC=∠DAB．
在△AEC和△ABD中，
所以△AEC≌△ABD．
所以BD=EC，∠BDA=∠ACE，
又∠CGF=∠DGA，
所以∠DFC＝∠DAC＝60°．
四、归纳小结、布置作业
小结：等边三角形的性质和判定以及应用．
作业：习题12.3 第8～14题．12.3.1 等腰三角形
【教学目标】
1.知识与能力
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法
在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
3.情感、态度与价值观
培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
等腰三角形性质和判定的应用．
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1
如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？
图（1）
学生活动设计：
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．
教师活动设计：
让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：
图（2）
△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．
二、自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质
活动2
把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？
学生活动设计：
学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质．
教师活动设计：
引导学生归纳：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
活动3
你能证明上述两个性质吗？
问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．
求证：∠B=∠C；
AD平分∠A，AD⊥BC．
图（3）
学生活动设计：
学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，于是可以证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．
教师活动设计：
让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性
〔解答〕在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．
巩固练习：第51页练习．
活动4
如图（4），位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
学生活动设计：
学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．
图（4）
学生活动设计：
教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．
最后归纳出等腰三角形的判定性质．
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．
三、应用提高、拓展创新
问题1
如图（5），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．
图（5）
学生活动设计：
学生小组合作、分组讨论，交流．
教师活动设计：
引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．
发现：
（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
（2）∠A＝∠ABD；
（3）∠A＋2∠C＝180°．
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．
〔解答〕略
问题2
如图（6），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证：AB=AC．
图（6）
师生活动设计：
学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B=∠C即可，由AD//BC和AD平分∠EAC容易得到．
问题3
如图（7），在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
图（7）
师生活动设计：
通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质．可以发现：
〔解答〕证明：延长CD交AB的延长线于P，如图（7）．
在△ADP和△ADC中，
∴△ADP≌△ADC，
∴∠P=∠ACD．
又∵DE∥AP
∴∠4=∠P，
∴∠4=∠ACD．
∴DE=CE．
同理可证：AE=DE．
∴AE=CE．
四、归纳小结、布置作业
小结：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．
作业：习题12.3 第1～7题．
