第6章 一元一次方程
6.3 实践与探索
3. 工程、行程问题
教学目标
教学重点与难点
重点:会列一元一次方程解工程和行程问题的应用题.
难点:理解题意,正确列出符合题意的一元一次方程.
1.为学生提供从事数学探究活动的机会。?
2. 在学生讨论、探索、自主学习以及合作交流的
过程中,让学生理解工程和行程问题的有关概念,体会数学建模思想在解决实际问题中的作用.
一.利率有关公式:
1.利息=本金×利率×期数;
2.本息和=本金+利息;
3.利息税=利息×20℅;
4.利息-利息税=实得利息;
5.本金+利息-利息税=实得本利和.
温故夯基
二.利润有关公式:
1.利润=售价-进价;
2.售价=进价×(1+利润率);售价=标价×打折数;
4.利润=进价×利润率.
巩固练习
1.某种商品每件的标价是330元,按标价的八折销售
时,仍可获利10%,则这种商品每件的进价为( ).
A. 200元 B. 240元 C. 250元 D. 300元
B
2.陈老师将4万元存入银行,年利率为4.75%,到期
时陈老师得到的本息和为4.95万元,则李阿姨一共
存了( ).
A. 1年 B. 3年 C. 5年 D. 6年
C
3.一家商店将某种商品按成本价提高50%后,标价
为450元,又以8折出售,则售出这件商品可获利润
______元.
60
4.小明以两种形式共储蓄了500元,甲种储蓄的年利
率为5%,乙种储蓄的年利率是4%,一年后共获得
利息23.5元,则小明以甲种储蓄形式存了 元 ,
以乙种储蓄形式存了 元.
解:
设小明以甲种储蓄形式存了x元 ,
则以乙种储蓄形式存了(500-x)元.
依题意得:
5%x+4%(500-x)=23.5 .
解方程得:
x =350.
∴ 500-x=150 .
350
150
学习新知
一.工程问题的基本数量关系:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=
工作时间
工作总量
工作时间=
工作效率
工作总量
1.工程问题往往将工作总量看作“1”,利用各部分
工作量之和为1为等量关系列方程.
说明:
2.各队合作工作效率=各队工作效率之和.
3.全部工作量之和=各队工作量之和.
1.甲每天生产某种零件80个,3天能生产 个零件.
2.乙每天生产某种零件x个,5天能生产 个零件.
3.甲每天生产某种零件80个,乙每天生产某种零件
x个,则他们5天一共生产 个零件.
4.甲每天生产某种零件80个,乙每天生产这种零件x个甲生产3天后,乙也加入生产同一种零件,
再经过5天,两人共生产 个零件.
基础练习
240
5x
5(80+x)
(3×80+5×80+5x)
5.一项工作甲单独完成要4天,乙单独完成要6 天,
则甲的工作效率是_____,乙的工作效率是______,
甲乙合作的工作效率是_______.
例题精析
类型一 同时合做
例1 修筑一条公路,甲工程队单独承包要80天完成,乙工程队单独承包要120天完成.现在由两个工程队合作承包,几天可以完成?
解:设两工程队合作需要x天完成.
依题意得:
解方程得:
x =48.
经检验,符合题意.
答:设两工程队合作需要48天完成.
随堂练习
甲、乙两输油管向油轮注油,甲管独注需60小时,
乙管独注需120小时,问两管同时注油多少小时可
注满油轮的 ?
解:设两管同时注油需x小时可注满油轮的1/4.
依题意得:
解方程得:
x =10.
经检验,符合题意.
答:设两管同时注油需10小时可注满油轮的1/4.
例题精析
类型二 先单后合
例2 一件工作,甲单独做需20h完成,乙单独做需12h
完成,现在由甲单独做4h,剩下的由甲、乙合作,
则剩下的需几小时完成?
解:设剩下的需x小时完成.
依题意得:
解方程得:
x =6.
经检验,符合题意.
答:设剩下的需6小时完成.
要加工200个零件,甲先单独加工了5小时,然后
又与乙一起加工了4小时完成了任务.已知甲每小时
比乙多加工2个零件,问甲、乙二人每小时各加工
多少个零件?
随堂练习
解:设甲每小时加工x个零件,
则乙每小时加工(x-2)个零件.
依题意得:
5x+4(x+x-2)=200,
解方程得:
x =16.
经检验,符合题意.
答:甲每小时加工16个零件,
乙每小时加工14个零件.
∴ x-2 =14.
例题精析
类型三 先合后单
例3 修筑一条公路,甲工程队单独承包要80天完成,乙工程队单独承包要120天完成.如果甲、乙两工程队合作了30天后,因甲工作队另有任务,剩下工作由乙工作队完成,则修好这条公路共需要几天?
解:设修好这条公路共需要 x 天完成.
依题意得:
解方程得:
x =75.
经检验,符合题意.
答:修好这条公路共需要 75 天完成.
如果改问:
修好这条公路
还需要几天?
一个水池装甲、乙、丙三根水管,单开甲管10小时
可注满水池,单开乙管15小时可注满,单开丙管20
小时可注满。现在三管齐开,中途甲管关闭,结果
6小时把水池注满,问甲管实际开了几个小时?
随堂练习
解:设甲管实际开了x小时.
依题意得:
解方程得:
x =3.
经检验,符合题意.
答:甲管实际开了3小时.
学习新知
二.行程问题的基本数量关系:
路程=速度×时间;
速度=路程÷时间;
时间=路程÷速度.
1.相遇问题:速度和×行驶时间=两者路程和;
说明:
2.追及问题:速度差×追及时间=追及路程.
3.行程问题可借用线段图,把不容易想清楚的问题
形象化,设立合适的未知数,再根据题意表示每个量,
依照图形中所反映的关系找出等量关系,列出方程,
从而使问题得到解决.
例题精析
类型一 明确行程问题中三个量的关系
例1 从甲地到乙地,水路比公路近40千米,上午十时,
一艘轮船从甲地驶往乙地,下午1时一辆汽车从甲地驶往
乙地,结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24
千米,汽车的速度是每小时40千米,求甲、乙两地水路、公路的距离,以及汽车和轮船行驶的时间?
解:设水路的距离为x千米,则公路的距离为(x+40)千米.
依题意得:
解方程得:
x =240.
∴ x+40=280,
答:水路的距离为240千米,公路的距离为280千米,车行时间为7小时,船行时间为10小时.
有没有其他
假设方法呢?
例题精析
类型一 明确行程问题中三个量的关系
例1 从甲地到乙地,水路比公路近40千米,上午十时,
一艘轮船从甲地驶往乙地,下午1时一辆汽车从甲地驶往
乙地,结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24
千米,汽车的速度是每小时40千米,求甲、乙两地水路、公路的距离,以及汽车和轮船行驶的时间?
解:设汽车行驶时间为x小时,则轮船行驶时间为(x+3)小时.
依题意得:
40x -24(x+3)= 40.
解方程得:
x =7.
∴ 7+3=10 , 40×7=280 , 24 ×10=240 .
答:汽车行驶时间为7小时,船行时间为10小时,
公路的距离为280米,水路的距离240米。
随堂练习
从甲地到乙地,公共汽车原需行驶7小时,开通
高速公路后,车速平均每小时增加了20千米,只需
5小时即可到达,求甲、乙两地的路程.
解:设甲、乙两地的路程是x千米,
依题意得:
解方程得:
x =350.
经检验,符合题意.
答:甲、乙两地的路程是350千米.
类型二 相遇问题
1.同时出发(两段)
2.不同时出发 (三段 )
一、相遇问题的基本题型
二、相遇问题的等量关系
例题精析
例2 甲、乙两地相距162千米,一列慢车从甲站
开出,每小时走48千米,一列快车从乙站开出,每小时走60千米,两列火车同时开出,相向而行,经过多少小时可以相遇?
解:设两列火车经过x小时可以相遇.
依题意得:
48x +60x= 162.
解方程得:
x =1.5 .
经检验,符合题意.
答:两列火车经过1.5小时可以相遇.
两车同时开出,反向而行,几小时后
两车相距378千米?
48x +60x= 378-162.
x = 2 .
甲、乙两地相距162千米,一列慢车从甲站开出,每小时走48千米,一列快车从乙站开出,每小时走60千米.
(1)若两车相向而行,慢车先开出1小时,再用多少时间两车才能相遇?
(2)若两车相向而行,快车先开30分钟,快车开了几小时与慢车相遇?
(3)两车同时同向而行(快车在后面),几小时后快车
可以追上慢车?
(4)两车同时同向而行(慢车在后面),几小时后两车
相距210千米?
48(x+1)+60x=162,
60(x+0.5)+48x=162,
60x=48x+162,
x =13.5 .
60x+162-48x=210,
x =4 .
随堂练习
类型三 追及问题
1.不同地点同时出发
一、追及问题的基本题型
2.同地点不同时出发
二、追及问题的等量关系
1.追及时快者行驶的路程-慢者行驶的路程=相距的路程
2.追及时快者行驶的路程=慢者行驶的路程
或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
例3 某连队从驻地出发前往某地执行任务,行军速度是
6千米/小时,18分钟后,驻地接到紧急命令,派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队,小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶连队,问是否能在规定时间内完成任务?
例题精析
解:设小王追上连队需要x小时,
则小王行驶的路程为 千米,连队所行路程是 千米.
14x
依题意得:
解方程得:
13.5分钟
<15分钟.
答:小王能在指定时间内完成任务。
1.一辆小车每小时行驶80km,另一辆货车每小时行驶60km,货车出发半小时后,小车才从同一地点出发,问小车经过几小时就可追上货车?
随堂练习
解:设小车经过x小时就可追上货车.
依题意得:
80x=60x+60×0.5,
解方程得:
x =1.5 .
经检验,符合题意.
答:小车经过1.5小时就可追上货车.
2.小亮和哥哥在离家2千米的同一所学校上学,哥哥
以4千米/时的速度步行去学校,小亮因找不到书籍
耽误了15分钟,而后骑自行车以12千米/时的速度
去追哥哥.
(1)到校前小亮能追上哥哥吗?
(2)如果小亮追上哥哥,此时离学校有多远?
解:(1)设小亮走了x小时追上哥哥,
依题意得:
解方程得:
∴ 小亮能追上哥哥.
(2)∵2-1.5=0.5(千米),
答:小亮追上哥哥时离
学校的距离为0.5千米.
一.工程问题的基本数量关系:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=
工作时间
工作总量
工作时间=
工作效率
工作总量
1.工程问题往往将工作总量看作“1”,利用各部分
工作量之和为1为等量关系列方程.
说明:
2.各队合作工作效率=各队工作效率之和.
3.全部工作量之和=各队工作量之和.
课堂小结
二.行程问题的基本数量关系:
路程=速度×时间;
速度=路程÷时间;
时间=路程÷速度.
1.相遇问题:速度和×行驶时间=两者路程和;
说明:
2.追及问题:速度差×追及时间=追及路程.
3.行程问题可借用线段图,把不容易想清楚的问题
形象化,设立合适的未知数,再根据题意表示每个量,
依照图形中所反映的关系找出等量关系,列出方程,
从而使问题得到解决.
作业与课外学习任务
1.练习作业:学习检测P20-22 第1至15题
书面课本P21 习题6.3.1 3
2.课外学习任务:
预习课本P17 6.3 实践与探索 问题3
教学反馈:
作业存在的主要问题: