8.3 带电粒子在复合场中的运动

(共30张PPT)
考点1 带电粒子在复合场中的运动
学案3 带电粒子在复合场中的运动
1.带电粒子在复合场中无约束情况下的运动
⑴磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，因F洛不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
⑵电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用动能定理求解问题。
⑶电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动。
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题。
2.带电粒子在复合场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
3.带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的比较
分类
项目 匀强电场中偏转 匀强磁场中偏转
偏转
产生条件 带电粒子以速度v0垂直射入匀强电场 带电粒子以速度v0垂直射入匀强磁场
受力特征 F=qE(恒力) f=qv0B(变力)
运动性质 匀变速曲线运动 匀速圆周运动
轨迹 抛物线 圆或圆弧
处理方法 运动的合成与分解 匀速圆周运动知识
运动规律 vx=v0 vy=(qE/m)t
x=v0t y=qEt2/(2m) R=mv0/(qB) T=2 m/(qB)
偏转角 =arctan(vy/v0) =ωt=v0t/R=(qB/m)t
动能变化 动能增大 动能不变
4.复合场中粒子重力是否考虑的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目说明处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否要考虑重力。
5.各种场力的特点
(1)重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，重力势能的变化总是与重力做功相对应。
(2)电场力与电荷的性质及电场强度有关，电场力做功与路径无关，电势能的变化总是电场力做功相对应。
(3)洛伦兹力的大小F=qvB，其方向与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功。
6.带电粒子在复合场中运动的分析方法和一般思路
(1)弄清复合场的组成。一般有磁场、电场的复合，磁场、重力场的复合，磁场、电场、重力场三者的复合。
(2)正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析。
(3)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(4)对于粒子连续通过几个不同情况的场的问题，要分阶段进行处理。
(5)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
(1)全面正确地分析带电粒子的受力和运动特征是解题的前提，尤其是电场力和洛伦兹力的分析，特别要注意洛伦兹力要随带电粒子运动状态的变化而改变。
(2)注意重力、电场力做功与路径无关，洛伦兹力始终和运动方向垂直、永不做功。
【例1】如图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为E，方向与y轴平行；在x轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直。一质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子以平行于x轴的速度从y轴上的P点处射入电场，在x轴上的Q点处进入磁场，并从坐标原点O离开磁场。粒子在磁场中的运动轨迹与y轴交于M点。已知OP=l，OQ= l。不计重力。求：
(1)M点与坐标原点O间的距离；
(2)粒子从P点运动到M点所用的时间。
带电粒子在相互分离的电场和磁场中的运动
【解析】本题考查了带电粒子在电场、磁场中的运动。
本题中带电粒子先在电场中做类平抛运动，后进入匀强磁场做匀速圆周运动，前一过程的末状态就是后一过程的初状态，所以必须求出电场中带电粒子的速度方向。
(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，在y轴负方向上做初速度为零的匀加速运动，设加速度的大小为a；在x轴正方向上做匀速直线运动，设速度为v0；粒子从P点运动到Q点所用的时间为t1，进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角为 ，则
a=qE/m ①
t1= ②
v0=x0/t1 ③
其中x0= l，y0=l，又有
tan =at1/v0 ④
联立②③④式，得
=30° ⑤
因为M、O、Q点在圆周上，∠MOQ=90°，所以MQ为直径。从图中的几何关系可知，
R= l ⑥
MO=6l ⑦
(2)设粒子在磁场中运动的速度为v，从Q点到M点运动的时间为t2，则有
v=v0/cos ⑧
t2= R/v ⑨
带电粒子自P点出发到M点所用时间t为
t=t1+t2 ⑩
联立①②③⑤⑥⑧⑨⑩式，并代入数据得
带电粒子分别在两个区域中做类平抛运动和匀速圆周运动，通过连接点的速度将两种运动联系起来。
1
在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y 轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成 =60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求：
(1)M、N两点间的电势差UMN；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r；
(3)粒子从M 点运动到P点的总时间t。
【答案】
【解析】（1）设粒子过N点时的速度为v，
有v0/v=cosθ，则v=2v0，粒子从M点运动到N
点的过程，有qUMN=(12/)mv2-(1/2)mv02， 则
UMN=3mv02/2q。
(2) 粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周
运动，半径为O′N，有qvB=mv2/r，所以r=2mv0/(qB)。
(3) 由几何关系得ON=rsinθ，设粒子在电场中运动的时间为t1，有ON=v0t1，可解得t1= m/(qB)；粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=2πm/(qB)，设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2=[(π-θ)/(2π)]T；即t2=2πm/(3qB)，t=t1+t2，t=(3 +2π)m/(3qB)。
带电体在相互叠加场中的运动
【例2】如图所示，宽度为d的竖直狭长区域内
(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场
和竖直方向上周期性变化的电场(如图所示)，电
场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。
t=0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的
N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点
后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右
边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速
度为g。上述d、E0、 m、v、g为已知量。
(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；
(2)求电场变化的周期T；
(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。
【解析】(1)微粒做匀速圆周运动说明其重力和电场力平衡,即mg=qE0,
故微粒所带电荷量q=mg/E0。
由于粒子在刚开始和最后一段做直线运动，对其受力分析如图所示，
则qvB=qE0+mg,
则B=E0/v+mg/(qv)=E0/v+mg/(v·mg/E0)=2E0/v。
(2)经分析从N1点到Q点粒子做匀速直线运动的时间t1=(d/2)/v=d/(2v)
到Q点后做匀速圆周运动的周期T′=2 m/(qB)= v/g
从Q点到N2点粒子做匀速直线运动，其运动时间t2=t1
而由题中图象可知电场变化的周期T=t1+T′=d/(2v)+ v/g。
(3)改变宽度d时，仍能完成上述运动过程的电场变化的最小周期的对应示意图如图所示。
则Tmin=t1′+T′，此时dmin/2=R
则t1′=R/v且R=mv/(qB)
以上各式联立解得
Tmin=v/(2g)+ v/g=(v/g)(1/2+ )。
带电粒子在复合场中运动问题的受力情况分析，要结合其运动情况进行。因为微粒能做匀速圆周运动，故重力与电场力平衡，而其做匀速直线运动时，则一定为三力平衡。
2
如图所示，电源电动势E0=15 V，内阻
r0=1 ，电阻R1=30 ，R2=60 。间距
d=0.2m的两平行金属板水平放置，板间
分布有垂直于纸面向里、磁感应强度B=1 T的匀强磁场。闭合开关S，板间电场视为匀强电场，将一带正电的小球以初速度v=0.1 m/s沿两板间中线水平射入板间。设滑动变阻器接入电路的阻值为Rx，忽略空气对小球的作用，取g=10 m/s2。
(1)当Rx=29 时，电阻R2消耗的电功率是多大？
(2)若小球进入板间做匀速圆周运动并与板相碰，碰时速度与初速度的夹角为60°，则Rx是多少？
【答案】(1)0.6 W (2)54
【解析】（1）设R1和R2的并联电阻为R，有：
R=R1R2/(R1+R2) ①
R１两端的电压为：U=E0R/(r0+R+Rx) ②
R2消耗的电功率为：P=U2/R2 ③
当Rx=29 Ω时，联立①②③式，代入数据，解得：
P=0.6 W ④
（2）设小球质量为m，电荷量为q，小球做匀速圆周运动时，有：
qE=mg ⑤
E=U/d ⑥
设小球做圆周运动的半径为r，有：qvB=mv2/r ⑦
由几何关系有：r=d ⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据，解得：
Rx=54 Ω
考点2 复合场综合应用实例
处理带电粒子在复合场中运动的这几个实例时，要从它们的共性qvB=qE出发进行分析求解。同时应需注意应用左手定则的方向性问题。
带电粒子在复合场中运动的典型应用
【例3】[2010年高考福建理综卷]如图所示的装置，左半部为速度选择器，右半部为匀强的偏转电场。
一束同位素离子流从狭缝S1射入速度选
择器，能够沿直线通过速度选择器并从
狭缝S2射出的离子，又沿着与电场垂直
的方向，立即进入场 强大小为E的偏转电场，最后打在照相底片D上。已知同位素离子的电荷量为q(q>0)，速度选择器内部存在着相互垂直的场强大小为E0的匀强电场和磁感应强度大小为B0的匀强磁场，照相底片D与狭缝S1、S2的连线平行且距离为L，忽略重力的影响。
(1)求从狭缝S2射出的离子速度v0的大小；
(2)若打在照相底片上的离子在偏转电场中沿速度v0方向飞行的距离为x，求出x与离子质量m之间的关系式(用E0、B0、E、q、m、L表示)。
【解析】 (1)能从速度选择器射出的离子满足
qE0=qv0B0 ①
故v0=E0/B0 ②
(2)离子进入匀强偏转电场E后做类平抛运动，则
x=v0t ③
L=(1/2)at2 ④
由牛顿第二定律得qE=ma ⑤
由②③④⑤解得：x=(E0/B0) 。
3
利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。
如图所示，将一金属或半导体
薄片垂直于磁场B中，在薄片的两
个侧面a、b间通以电流I时，另外
两侧c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是
薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是c、f间建立起电场EH，同时产生霍尔电势差UH。当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，EH和UH达到稳定值，UH=RHIB/d，其中比例系数RH称为霍尔系数，仅与材料性质有关。
(1)设半导体薄片的宽度(c、f间距)为l，请写出UH和EH的关系式；若半导体材料是电子导电的，请判断图中c、f哪端的电势高；
(3)图是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘
固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着m个
永磁体，相邻永磁体的极性相反。霍尔元件置于
被测圆盘的边缘附近。当圆盘匀速转动时，霍尔
元件输出的电压脉冲信号图象如图所示。
①若在时间t内，霍尔元件输出的脉冲数目
为P，请导出圆盘转速N的表达式。
②利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程。
除此之外，请你展开“智慧的翅膀”，提出另 一个实例或设想。
【答案】(1)UH=EHl，c端电势高 (2)RH=1/(ne) (3) ① N=P/(mt) ②略
(2)已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e，请导出霍尔系数RH的表达式(通过横截面积S的电流I=nevS，其中v是导电电子定向移动的平均速率)。
【解析】（1）UH=EHl，c端电势高。
（2）由UH=RHIB/d ①
得RH=UHd/(IB)=EHld/(IB) ②
当电场力与洛伦兹力相等时，eEH=evB
得EH=vB ③
又I=nevS ④
将③④代入②得RH=vBld/(IB)=vld/(nevS)=ld/(neS)
=1/(ne)
（3）①由于在时间t内，霍尔元件输出的脉冲数目为P，则P=mNt，圆盘转速为N=P/(mt)
②提出的实例或设想合理即可。
1.如图所示，甲是一个带正电的小物块，乙是一个不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一起静置于粗糙的水平地板上，地板上方空间有水平向里的匀强磁场，现用水平恒力拉乙物块，使甲、乙无相对滑动地一起水平向左加速运动，在加速运动阶段 ( )
A.乙物块与地之间的摩擦力不断增大
B.甲、乙两物块间的摩擦力不断增大
C.甲、乙两物块间的摩擦力大小不变
D.甲、乙两物块间的摩擦力不断减小
【答案】Ａ、Ｄ
【解析】当甲、乙一起向左加速运动时，甲受到的洛伦兹力竖直向下且逐渐增大，所以对乙的压力也逐渐增大进而使地面给乙的摩擦力也逐渐增大，则二者的加速度逐渐减小，所以甲、乙两物块间的摩擦力不断减小，故Ａ、Ｄ正确。
AD
2.在如图所示的空间中，存在场强为E的匀
强电场，同时存在沿x轴负方向，磁感应强
度为B的匀强磁场。一质子（电荷量为e）在
该空间恰沿y轴正方向以速度v匀速运动。据
此可以判断出 （ ）
Ａ.质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能减小；沿z轴正方向电势升高
B.质子所受电场力大小等于eB，运动中电势能增大；沿z轴正方向电势降低
C.质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变；沿z轴正方向电势升高
D.质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变；沿z轴正方向电势降低
【答案】C
【解析】质子所受电场力与洛伦兹力平衡，大小等于evB，运动中电势能不变；电场线沿z轴负方向，沿z轴正方向电势升高。
3.如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，质量
为1.0×10-4 kg，带4.0×10-4 C正电荷，小球在棒
上可以滑动，将此棒竖直放置在沿水平方向的匀强
电场和匀强磁场中，匀强磁场中的电场强度E=10
N/C，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度B=0.5 T，
方向为垂直于纸面向里，小球与棒间的动摩擦因数为μ=0.2，求小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度和最大速度。（设小球在运动过程中所带电荷量保持不变，g取10 m/s2）
【答案】2 m/s2 5 m/s
【解析】带电小球沿绝缘棒下滑过程中，受竖直向下的重力，竖直向上的摩擦力，水平方向的弹力和洛伦兹力及电场力作用。当小球静止时，弹力等于电场力，小球在竖直方向所受摩擦力最小，小球加速度最大。小球运动过程中，弹力等于电场力与洛伦兹力之和，随着小球运动速度的增大，小球所受洛伦兹力增大，小球在竖直方向的摩擦力也随之增大，小球加速度减小，速度增
大，当小球的加速度为零时，速度达到最大。小球刚开始下落时，加速度最大，设为am，这时竖直方向有：
mg-f=ma ①
在水平方向上有：qE-FN=0 ②
又 f=μFN ③
由①②③解得am=(mg-μqE)/m代入数据得am=2 m/s2
小球沿棒竖直下滑，当速度最大时，加速度a=0在竖直方向上有： mg-f′=0 ④
在水平方向上有：qvmB+qE-FN′=0 ⑤
又f′=μFN′ ⑥
由④⑤⑥解得vm=(mg-μqE)/μqB
代入数据得vm=5 m/s。
4. 如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B,方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L,小球过M点时的速度方向与x轴正方向夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度为g,求：
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小;
(3)A点到x轴的高度h。
【答案】（1） 方向竖直向上（2）
(3)
【解析】本题考查带电粒子在电场、磁场及复合场中的运动规律，正确分析粒子的受力情况和运动情况是解题的关键，考查学生的推理能力和分析综合能力，难度较大。
(1)小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，
其所受电场力必须与重力平衡， 有qE=mg ①
得E=mg/q ②
重力的方向是竖直向下的，电场力的方向则应为竖
直向上，由于小球带正电所以电场强度方向竖直向上。
（2）小球做匀速圆周运动，O′为圆心，MN为弦长，∠MO′P=θ,如图所示。设半径为r，由几何关系知L/2r=sinθ ③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速度为v,有qvB=mv2/r ④
由速度的合成与分解知v0/v=cosθ ⑤
由③④⑤式得v0=(qBL/2m)cotθ ⑥
(3)设小球到M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为
vy=v0tanθ ⑦
由匀变速直线运动规律vy2=2gh ⑧
由⑥⑦⑧式得h=(q2B2L2)/8m2g。