2.4向量的数量积课件（苏教版必修4）
文档属性
| 名称 | 2.4向量的数量积课件（苏教版必修4） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 464.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-26 17:09:47 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
向量的数量积
第一课时
情境创设
问题1 向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果又是什么呢？
问题2 物理中有没有其它的向量运算呢？
学生活动
问题3 物理学中，物体所受力为F，在力的方向上产生的位移是S时，
力对物体所做的功是多少？
问题4 如图，当力F和位移S存在一个夹角θ时，力对物体所做的功是多少？
F
S
θ
意义建构
问题5 从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？
问题6 在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？
向量a与b的夹角
练习1 请同学们指出下列图中两个向量 、 （或 ）的夹角．
向量a与b的夹角的取值范围
特别地，当向量a与b的夹角为0°时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180°时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．
问题7 零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0 a＝0．
数学理论
向量数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b＝|a||b|cosθ．同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0 a＝0．
练习2 判断下列结论是否正确：
（1）若a＝0，则对任意非零向量b，都有a b＝0；
（2）若a≠0，则对任意非零向量b，都有a b≠0；
（3）若b≠0，a b＝b c，则a＝c；
（4）若a b＜0，则向量a与b的夹角为钝角；
（5）若a，b均为非零向量，且a b＝|a| |b|，则a∥b．
问题8 向量的数量积有什么性质？
当a与b同向时，a b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，当b＝a，有a·a|a|2，或|a|．（记a·a＝a2）
问题9 向量的数量积有什么样的运算性质？
已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
（1） a·bb·a（交换律）；
（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（对数乘运算的结合律）；
（3）（a＋b）· c=a·c＋b·c（分配律）．
数学运用
例1 已知向量a与b的夹角为 ，|a|＝4，|b|＝3，分别在下列条件下求a b：
(1) ＝45 ； (2) ＝90 ； (3) ＝120 ．
例2 已知正△ABC的边长为2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
求a b，b c．
练习3
1．已知|a|＝4，|b|＝3，分别在下列条件下求a b：(1) a⊥b ；(2) a∥b．
2．试利用向量数量积的运算律证明：(a＋b)2＝a2＋2a b＋b2．
向量的数量积
第二课时
复习回顾
1．平面向量的夹角
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点作 a， b，则
θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|．
3．向量的数量积的性质
4．向量的数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b=b·a(交换律)；
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；
(3)(a＋b)·c=a·c＋b·c．
向量的数量积运算不满足结合律．
数学运用
例3 求证：
(1) (a＋b)2 ＝ a2＋2a·b＋b2； (2) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
例4 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
例5 已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为和，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j， 求a·b．
例7 设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ，
，试求的值 ．
向量的数量积
第三课时
问题情境
问题1 若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用向量a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？
数学理论
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即a·b =x1x2+y1y2．
数学运用
例9 设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．
例10 已知a＋b＝（2，－8），a－b＝（－8，16），求a·b及向量a与b的夹角θ 的余弦值．
课堂练习
1．设(5，-7)，(-6，-4)，求a·b ，及a与b的夹角．
2．已知a＝(4,－2)， b ＝(6,－1)，求：
(1) a·b ； （2）(2a－b)(a＋2b)； (3)|2a－3b| ．
向量的数量积
第四课时
复习回顾
1．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b =x1x2+y1y2.
2．向量垂直的等价结论
设(x1，y1)，(x2，y2)，则 ．
3．向量模的坐标计算
设a ＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝ ．
数学运用
例11 已知a＝（1，－2），b＝（1，y），若向量a，b的夹角为锐角，求实
数y的 取值范围．
例12 平面内有向量 ＝（1，7）， ＝（5，1）， ＝（2，1），点P是直线OC上一个动点．
（1）当 · 取最小值时，求 的坐标；
（2）当点P满足（1）的条件和结论时，求cos∠APB的值．
例13 AD ，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．
例14 求证：直径上的圆周角为直角．
课堂练习
1．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a与b的夹角为 ，求向量a＋b与a－2b的
夹角的余弦值．
2．如图，在等腰△ABC中，BD，CE分别是腰AC，AB上的中线，且BD⊥CE，
求∠BAC的余弦值．
向量的数量积
第一课时
情境创设
问题1 向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果又是什么呢？
问题2 物理中有没有其它的向量运算呢？
学生活动
问题3 物理学中，物体所受力为F，在力的方向上产生的位移是S时，
力对物体所做的功是多少？
问题4 如图，当力F和位移S存在一个夹角θ时，力对物体所做的功是多少？
F
S
θ
意义建构
问题5 从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？
问题6 在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？
向量a与b的夹角
练习1 请同学们指出下列图中两个向量 、 （或 ）的夹角．
向量a与b的夹角的取值范围
特别地，当向量a与b的夹角为0°时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180°时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．
问题7 零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0 a＝0．
数学理论
向量数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b＝|a||b|cosθ．同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0 a＝0．
练习2 判断下列结论是否正确：
（1）若a＝0，则对任意非零向量b，都有a b＝0；
（2）若a≠0，则对任意非零向量b，都有a b≠0；
（3）若b≠0，a b＝b c，则a＝c；
（4）若a b＜0，则向量a与b的夹角为钝角；
（5）若a，b均为非零向量，且a b＝|a| |b|，则a∥b．
问题8 向量的数量积有什么性质？
当a与b同向时，a b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，当b＝a，有a·a|a|2，或|a|．（记a·a＝a2）
问题9 向量的数量积有什么样的运算性质？
已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
（1） a·bb·a（交换律）；
（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（对数乘运算的结合律）；
（3）（a＋b）· c=a·c＋b·c（分配律）．
数学运用
例1 已知向量a与b的夹角为 ，|a|＝4，|b|＝3，分别在下列条件下求a b：
(1) ＝45 ； (2) ＝90 ； (3) ＝120 ．
例2 已知正△ABC的边长为2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
求a b，b c．
练习3
1．已知|a|＝4，|b|＝3，分别在下列条件下求a b：(1) a⊥b ；(2) a∥b．
2．试利用向量数量积的运算律证明：(a＋b)2＝a2＋2a b＋b2．
向量的数量积
第二课时
复习回顾
1．平面向量的夹角
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点作 a， b，则
θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|．
3．向量的数量积的性质
4．向量的数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b=b·a(交换律)；
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；
(3)(a＋b)·c=a·c＋b·c．
向量的数量积运算不满足结合律．
数学运用
例3 求证：
(1) (a＋b)2 ＝ a2＋2a·b＋b2； (2) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
例4 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
例5 已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为和，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j， 求a·b．
例7 设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ，
，试求的值 ．
向量的数量积
第三课时
问题情境
问题1 若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用向量a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？
数学理论
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即a·b =x1x2+y1y2．
数学运用
例9 设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．
例10 已知a＋b＝（2，－8），a－b＝（－8，16），求a·b及向量a与b的夹角θ 的余弦值．
课堂练习
1．设(5，-7)，(-6，-4)，求a·b ，及a与b的夹角．
2．已知a＝(4,－2)， b ＝(6,－1)，求：
(1) a·b ； （2）(2a－b)(a＋2b)； (3)|2a－3b| ．
向量的数量积
第四课时
复习回顾
1．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b =x1x2+y1y2.
2．向量垂直的等价结论
设(x1，y1)，(x2，y2)，则 ．
3．向量模的坐标计算
设a ＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝ ．
数学运用
例11 已知a＝（1，－2），b＝（1，y），若向量a，b的夹角为锐角，求实
数y的 取值范围．
例12 平面内有向量 ＝（1，7）， ＝（5，1）， ＝（2，1），点P是直线OC上一个动点．
（1）当 · 取最小值时，求 的坐标；
（2）当点P满足（1）的条件和结论时，求cos∠APB的值．
例13 AD ，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．
例14 求证：直径上的圆周角为直角．
课堂练习
1．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a与b的夹角为 ，求向量a＋b与a－2b的
夹角的余弦值．
2．如图，在等腰△ABC中，BD，CE分别是腰AC，AB上的中线，且BD⊥CE，
求∠BAC的余弦值．