2.3向量的坐标表示及运算课件（苏教版必修4）

(共23张PPT)
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。
2、平面向量的坐标是如何定义的？
3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 ，均可以分解为不共线的两个向量
和 使得
a
→
1 1
λ
a
→
2 2
λ
a
→
=
a
→
1 1
λ
a
→
+
2 2
λ
a
→
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。
我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐标，记作
a=(x，y),
其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（x ,y）叫做向量的坐标表示。
a
y
j
i
O
图 1
x
xi
yj
a=xi+yj
（1，0）
（0，1）
（0，0）
i=
j=
0=
→
→
→
其中i，j为向量 i，j
→
→
→
→
→
a
y
j
i
O
图 1
x
xi
yj
其中xi为x i，yj为y j
→
→
y
x
O
y
x
j
A（x,y）
a
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位
置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标
（x,y)就是点A的坐标；反过来，
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数唯一表示。
i
例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、
d ,并求出它们的坐标。
j
y
x
O
i
a
A1
A
A2
b
c
d
解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3)
已知 ，
你能得出 ， ，
的坐标吗？
1 1
a=(x ,y )
2 2
b=(x ,y )
a+b
-
a b
λ
a
→
→
→
→
→
→
→
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即
a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等
于这两个向量相应坐标的和与差。
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
y
x
O
B(x2,y2)
A(x1,y1)
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),
则
AB= OB - OA
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
y
x
O
B(x2,y2)
A(x1,y1)
你能在图中标出坐标为 的P点吗？
P
已知a=(x,y)和实数λ，那么
λ a= λ(x, y)
即
λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐
标等用这个实数乘以原来向量的
相应坐标。
例2 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b，a－b，3a+4b
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、
（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，使
a= λb
这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）= λ(x2，y2)
即 x1= λx2
y1= λy2
问题：共线向量如何用坐标来表示呢？
消去λ后得
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
x1y2-x2y1=0
练习：下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的有（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
例5、已知 a=（4，2）， b=（6，y），且 a//b ，求 y 的值。
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。
A
B
C