人教A版2019高中数学必修第二册第十章概率学案（Word版含解析）

10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
新课程标准 新学法解读
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义． 2.理解随机事件与样本点的关系. 引导学生认真阅读教材，并结合日常生活中的实例，认识随机试验、样本点、样本空间和有限样本空间的含义，并理清必然事件、不可能事件及随机事件与样本点的关系.
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．
其中，是随机事件的是(　　 )
A．①②　　　　　　　　 B．②③
C．①③ D．②
解析：选B　①为必然事件；②③为随机事件．
2．为了丰富高一学生们的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)．共3个．
3．下列事件中，必然事件是(　　)
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
解析：选D　一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.
4．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(　　)
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
解析：选D　掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________.
解析：含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd.∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
1．随机试验的三个特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．关于样本点和样本空间
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．
3．事件与基本事件
(1)随机事件是样本空间的子集. 随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
事件类型的判断
[例1]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．　　　　
[变式训练]
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．
确定样本空间
[例2]　将一枚骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间．
[解]　(树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
试验的样本空间：
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
确定样本空间的方法
(1)当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．
(2)当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，即用树状的图形把样本点列举出来(如本例)．树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段. 　　　　
[变式训练]
袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.
解析：从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．
从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
答案：{红，白，黄，黑}　{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}
事件与事件的表示
[例3]　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；
③T＝“xy＝4”．
[解]　(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)样本点总数为16.
(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}
②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}
③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．
所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}
1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　
[变式训练]
1．[变设问]若本例条件不变，问题改为用集合表示事件：P＝“x＋y是偶数”．
解：“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．
所以P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．
2．[变设问]在本例的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？
解：当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件．
A级——学考合格性考试达标练
1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①②④是随机事件，③是不可能事件．故选C.
2．一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为(　　)
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
解析：选C　随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.
3．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D　设3种不同颜色分别用A，B，C表示，该事件的样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中事件A＝{(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)}共6个样本点．故选D.
4．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为(　　)
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
解析：选C　25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.
5．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.
6．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5
7．在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．
解析：样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．
答案：5
8．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
解析：质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．
答案：随机
9．从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．
解：画出树状图，如图：
由图可知样本空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432}．
10．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
B级——面向全国卷高考高分练
1．[多选]下面事件是随机事件的是(　　)
A．某项体育比赛出现平局
B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升
D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
解析：选AB　体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件，因为三角形两边之和大于第三边，而1＋2＝3，所以一个三角形的三边长分别为1,2,3是不可能事件．故选A、B.
2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
解析：选C　若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．故选C.
3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有(　　)
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：选C　“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C.
4．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4}
5．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④　②　①
6．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“为整数”这一事件包含样本点个数为________个．
解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．共16个样本点．
用A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．
答案：8
7．先后抛掷两枚质地均匀的硬币．
(1)写出该实验的样本空间；
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
解：抛掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．
(1)该试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
(2)设事件A＝“一枚正面，一枚反面”，则A＝{(正面，反面)，(反面，正面)}共2种结果．
C级——拓展探索性题目应用练
设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
10．1.2 事件的关系和运算
新课程标准 新学法解读
1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性质，掌握随机事件概率的运算法则. 借助集合间的关系及运算理解事件的相等与包含、事件的和(并)、事件的积(交)以及事件的互斥与对立.
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)
A．A?B　　　　　　　 B．A?B
C．A＝B D．A解析：选A　由事件的包含关系知A?B.
2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A?B B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
解析：选B　由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
解析：选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
4．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对于④A?A∪B，即A与B的和事件包含事件A，但两个事件不能比较大小，故④错．
5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．
解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}，且A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以A∩B＝{(白、红)}．故A∩B表示的事件为恰有一个红球．
答案：恰有一个红球
1．事件的关系
定义 记法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”) A?B或
B?A
相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.
A＝B?A?B且B?A?A与B有相同的样本点 A＝B
互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB＝?或A∩B＝?
对立事件 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 A∩＝?且A∪＝Ω
2．事件的运算
定义 记法 图示
事件A与事件B的并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中 A∪B(或A＋B)
事件A与事件B的交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB)
[说明]　1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
事件间关系的判断
[例1]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[变式训练]
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
事件的运算
[例2]　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　
[变式训练]
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
A级——学考合格性考试达标练
1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)
A．A?B
B．A?B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
解析：选C　由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.
2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　　)
A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
解析：选ABC　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C.
3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B.
4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
解析：选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B.
5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A?B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：选C　设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.
6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．
解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}．
F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5}
∴E∩F＝{向上的点数为2}．
答案：向上的点数为2
7．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．
解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中二次A2或击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)．
答案：A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)
8．把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________.
解析：因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立．
答案：互斥但不对立
9．从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．
解：①，②，④可同时发生，不是对立事件；对于③至少有一个奇数包括有一个偶数一个奇数和两个数都是奇数，显然与两个都是偶数是对立事件．故对立事件有1对，是③.
10．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解：(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A.
B级——面向全国卷高考高分练
1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
解析：选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．故选A.
2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)
A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
解析：
选B　用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件．故选B.
3．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)
A．H＋E＋F B．H ＋E＋ F
C．HE＋HF＋EF D.＋＋
解析：选B　选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D为选项A的对立事件，即表示三个事件都不发生．故选B.
4．在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是(　　)
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
解析：选D　“恰有一弹击中目标”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中目标}，不是必然事件；“至少有一弹击中目标”包含两种情况：一种是恰有一弹击中目标，一种是两弹都击中目标，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故选D.
5．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．
答案：A，B　A，B
6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.
解析：当事件B发生时，H必然发生，故B?H；同理D?J，E?I，而事件A与G相等，即A＝G.
答案：?　?　?　＝
7．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
解：在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝?
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．
B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．
B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．
C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．
C级——拓展探索性题目应用练
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；
(4)B与C；(5)C与E.
解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
10．1.3 古典概型
新课程标准 新学法解读
1.结合具体实例，理解古典概型． 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率. 1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题．
2.会用求古典概型的公式方法求解概率问题.
1．下列试验中，属于古典概型的是(　　)
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C　依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等．
2．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.
A．②④　　　　　　　　 B．①③④
C．①④ D．③④
解析：选B　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选C　从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
4．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有以下10种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．其中含有红色彩笔的有4种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，所以所求事件的概率P＝＝.故选C.
5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为________．
解析：从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2)，(2,4)两种．
∴所求概率为＝.
答案：
1．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝＝.
[说明]　(1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
古典概型的判断
[例1]　判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
[解]　根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．　　　　
[变式训练]
某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
样本点的计数问题
[例2]　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为(　　)
A．2　　　　　　　 B．3
C．4 D．6
(2)连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
[解析]　(1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
[答案]　C
(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的样本点的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．　　　　
[变式训练]
将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
解：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
简单的古典概型的概率计算
[例3]　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
[解]　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝；
(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝＝.
求解古典概型的概率“四步”法
　　　　
[变式训练]
(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
含“有放回”抽取的古典概型问题
[例4]　小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
[解]　将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．　　　　
[变式训练]
从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝，所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝.
A级——学考合格性考试达标练
1．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.故选C.
2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.
3．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝.故选D.
4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，∴P＝＝.故选B.
5．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.故选B.
6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝.
答案：
7．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
解析：此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，故P(A)＝＝.
答案：
8．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝＝＝.
答案：
9．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)由分层抽样的定义知，
从小学抽取的学校数目为6×＝3(所)，
从中学抽取的学校数目为6×＝2(所)，
从大学抽取的学校数目为6×＝1(所)．
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝＝.
10．抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
解：在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(1)设事件A＝“点数之和为5”，从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(A)＝＝.
(2)设事件B＝“点数之和为7”，从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C＝“出现两个4点”，则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，所以P(C)＝.
B级——面向全国卷高考高分练
1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
2．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为.故选D.
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　此试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，其中共有15个样本点．设事件A＝“b>a”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，故所求的概率为P(A)＝＝＝.故选C.
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共10个样本点．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.故选C.
5．在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
解析：试验结果如表所示：
0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 7
3 3 4 5 6 7 8
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9 10
由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4个样本点，∴所求事件的概率为＝.
答案：
6．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．
解析：由题意，a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以(a，b)的不同取值情况如下表所示，
b a　　 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有6×6＝36(种)，即总的样本点总数n＝36.
记“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为事件A，下面求事件A所包含的样本点的个数n(A)．
由题意，事件为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”．
显然方程无解的条件是Δ＝b2－4a<0，可得a>.
故b＝1时，a>，故a＝1,2,3,4,5,6；b＝2时，a>1，故a＝2,3,4,5,6；
b＝3时，a>，故a＝3,4,5,6；b＝4时，a>4，故a＝5,6；
b＝5时，a>，故a无解；b＝6时，a>9，故a无解．
所以事件包含的样本点共有6＋5＋4＋2＋0＋0＝17(个)．
故事件的概率为P()＝.
故P(A)＝1－P()＝1－＝.
答案：
7．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 　　　 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共有15个样本点．
②由表格知，M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，所以n(M)＝11.
从而，事件M发生的概率P(M)＝＝.
C级——拓展探索性题目应用练
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1(件)，150×＝3(件)，100×＝2(件)，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则此试验的样本空间
Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等．
设事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，所以n(D)＝4，
从而P(D)＝＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
10．1.4 概率的基本性质
新课程标准 新学法解读
1.结合具体实例，理解概率的6个性质． 2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则. 1.结合具体实例，理解概率的性质．
2.掌握互斥事件、对立事件概率求法．
3.通过互斥事件和的概率求解公式的推广及对立事件概率的意义，培养学生的化归转化思想，提升数学运算核心素养.
1．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)
A．0.3　　　　　　　　　 B．0.7
C．0.1 D．1
解析：选A　∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
2．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为(　　)
A.， B．，
C.， D.，
解析：选A　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.故选A.
3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(　　)
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
解析：选A　由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，
所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
4．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于________．
解析：显然事件A与事件B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
5．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P





其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．
解析：所求概率为＋＋＝.
答案：
1．概率的性质
(1)对任意事件A，都有P(A)≥0.
(2)P(Ω)＝1，P(?)＝0.
(3)A与B互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)A与B互为对立事件，P(B)＝1－P(A)，
P(A)＝1－P(B)．
(5)如果A?B，P(A)≤P(B)．
(6)A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
2．概率的加法公式
(1)当A与B互斥(即AB＝?)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
(2)一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
(3)P(A)＋P()＝1.
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
互斥事件、对立事件的概率
[例1]　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解]　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
含“至多”、“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　
[变式训练]
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
互斥事件与对立事件概率的综合问题
[例2]　在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率．
[解]　分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
化归转化思想的应用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．
(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，求得对立事件的概率，然后再用对立事件的概率加法公式求解．　　　　
[变式训练]
1．[变结论]本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．
解：分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，则这五个事件彼此互斥．根据互斥事件的概率加法公式，小明成绩在80分以下的概率是
P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.
2．一盒中装有大小质地完全相同的各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
由互斥事件的概率加法公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法二：(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
A级——学考合格性考试达标练
1．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.故选A.
2．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是(　　)
A．0.09 B．0.98
C．0.97 D．0.96
解析：选D　抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件，而抽得次品的概率为0.03＋0.01＝0.04，故抽得正品的概率为1－0.04＝0.96.故选D.
3．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为(　　)
A．67% B．85%
C．48% D．15%
解析：选A　O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：选D　设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.故选D.
5．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝，
因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故选C.
6．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________.
解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
7．口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
解析：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
答案：0.3
8．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为________．
解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
答案：0.225
9．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
解：记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率加法公式得，
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
即电话在响前四声内被接的概率是0.9.
10．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？
解：(1)记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥．
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)
＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P()，则
P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以，他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
B级——面向全国卷高考高分练
1．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析：选D　由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.故选D.
2．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
解析：选B　该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝ 1－(0.2＋0.5)＝0.3.故选B.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“掷出向上为偶数点”，事件B为“掷出向上为3点”，则P(A∪B)＝(　　)
A. B．
C. D.
解析：选B　事件A为“掷出向上为偶数点”，所以P(A)＝.
事件B为“掷出向上为3点”，所以P(B)＝.
又事件A，B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.故选B.
4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C. D.
解析：选D　由题意可得
即解得5．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
解析：∵A，B为互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
答案：0.3
6.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．
解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
7．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
C级——拓展探索性题目应用练
袋中有12个大小质地完全相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则
P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)
＝1－＝.
联立
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
10．2 事件的相互独立性
新课程标准 新学法解读
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义． 2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率. 1.通过阅读教材实例，弄清随机事件相互独立的含义，注意相互独立事件与互斥事件的区别．
2.能够运用相互独立事件的概率计算公式进行概率计算.
1．把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是(　　)
A．互斥但非对立事件　　　 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上答案都不对
解析：选C　相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥．故选C.
2．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)
A. B．
C. D.
解析：选D　由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝×＝.故选D.
3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A. B．
C. D.
解析：选D　根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
4．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
答案：0.56
5．一件产品要经过两道独立的工序， 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________．
解析：由题意可知，该产品为正品是第一道工序和第二道工序都为正品，故该产品为正品的概率为P＝(1－a)(1－b)．
答案：(1－a)(1－b)
1．事件的相互独立性
(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
(3)公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(4)两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
2．相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
[说明]　①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.
事件独立性的判断
[例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．　　　　
[变式训练]
　从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
解：(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
求相互独立事件的概率
[例2]　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A∪B∪C)＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为
P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．　　　　
[变式训练]
1．[变设问]在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率．
解：法一：三人均未被选中的概率
P＝P( )＝××＝.
法二：由例2(2)知，
三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
2．[变条件，变设问]若本例条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝，①
P(A)P(B)＝，②
由①②知P(A)＝，P(B)＝，
故恰有2人被选中的概率
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝.
相互独立事件概率的实际应用
[例3]　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
则不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]
＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)
＝×＝.
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．　　　　
[变式训练]
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．
解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
法一：该选手被淘汰的概率为
P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)
＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)
＝＋×＋××＝.
法二：该选手被淘汰的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－××＝.
A级——学考合格性考试达标练
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)
A．互斥事件　　　　　 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
解析：选D　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D.
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立
解析：选C　因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C.
3.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为(　　)
A．0.054 B．0.994
C．0.496 D．0.06
解析：选B　记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.
三个开关同时出现故障的事件为∩∩，则此系统正常工作的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故选B.
4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
解析：选B　设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.
5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
解析：选C　设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD∪ACD∪ABD∪ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，
4人使用设备的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，
故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.
6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
7．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，. 在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.
答案：
8．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.
答案：0.98
9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率．
解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
显然事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.
10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
求：(1)该应聘者用方案一考试通