空间向量的正交分解及其坐标表示
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有( )
A.a与b共线
B.a与b同向
C.a与b反向
D.a与b共面
2.(2013·石家庄高二检测)设向量a,b,c不共面,则下列各组向量可作为空间的一个基底的是( )
A.{a+b,b-a,a}
B.{a+b,b-a,b}
C.{a+b,b-a,c}
D.{a+b+c,a+b,c}
3.(2013·珠海高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是上底面对角线AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则可表示为( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.-a-b+c
D.-a+b+c
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且=+m-n,则( )
A.m=,n=-
B.m=-,n=-
C.m=-,n=
D.m=,n=
5.(2013·大理高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则下列式子中与相等的是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.-a-b+c
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.如图,在空间四边形OABC中,已知E是线段BC的中点,G是AE的中点,若,,分别记为a,b,c,则用a,b,c表示的结果为= .
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若
+λ=0(λ∈R),则λ= .
8.(2013·金华高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BB1,
DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则向量的坐标为 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且=2,=,求满足=x+y+z的实数x,y,z的值.
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).
(1)试求向量的坐标.
(2)求证:EF∥BD1.
11.(能力挑战题)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,
∠ADC=90°,AB=2,DC=3,AD=1,E是DC上一点,且DE
=1,连接AE,将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使
得∠D1AB=30°,设AC与BE的交点为O.
(1)试用基向量,,表示向量.
(2)求直线OD1与BC所成角的余弦值.
答案解析
1.【解析】选A.根据题意向量a,b与任何向量都共面,所以只有在a,b共线的条件下才有可能.
2.【解析】选C.由已知条件及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.
3.【解析】选D.结合图形,根据三角形法则和平行四边形法则计算得=
+=+(+)=-++=-a+b+c.
【举一反三】若把条件=c改为=c,则结论如何??
【解析】如图,=++
=-++
=-+-
=-+-(+)
=--+
=-a-b+c.
4.【解析】选A.=+=+(+)
=++=+m-n,
∵=,=,
∴m=,n=-.
5.【解析】选A.
6.【解析】连接OE.=+=(+)+
=(+)-(+)
=(+)-[(-)+(-)]
=(+)-(+-2)
=++=a+b+c.
答案:a+b+c
7.【解题指南】通过向量的运算与代换,把用表示,可求得λ.
【解析】如图,连接A1C1,C1D,
则E在A1C1上,F在C1D上,
易知EF=A1D,
∴=,
∴+λ=0,
∴λ=-.
答案:-
【变式备选】如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,且=a,=b,=c,且=,用a,b,c表示以下向量:
(1).
(2).
【解析】(1)=++=++
=-a+b+c.
(2)=+=+
=+(+)=a-b+c.
8.【解析】由图易知E(1,1,),F(0,,0),∴=(-1,-,-)
答案:(-1,-,-)
9.【解题指南】解决本题可以结合图形,从向量出发,利用向量的运算法则不断进行分解,直到全部向量都用,,表示出来,即可求出x,y,z的值.
【解析】方法一:如图所示,取PC的中点E,连接NE,
则=-.
∵==
=-,=-
=-=,
连接AC,则=-=+-,
∴=--(+-)=--+,
∴x=-,y=-,z=.
方法二:如图所示,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,
连接MF,则=+,
而==-,
=-
=-
==(-),
∴=--+.
∴x=-,y=-,z=.
方法三:=-=-
=(+)-(+)
=-+-(-++)
=--+
∴x=-,y=-,z=.
10.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量,,从而使问题得解.
【解析】(1)∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,根据题意知{,,}为单位正交基底,设=i,=j,=k,∴向量可用单位正交基底{i,j,k}表示,∵=
++,与共线,与共线,∴设=λ,=μ,则=λ
++μ=λ(+)++μ(-)=(λ+μ)+(1-μ)+λ=(λ+μ)i+(1-μ)j+λk,
∵EF⊥A1D,EF⊥AC,即⊥,⊥,
∴·=0,·=0,
又=-i-k,=-i+j,
整理得即
解得∴=i+j-k
∴的坐标是(,,-).
(2)∵=+=-i-j+k,
∴=-,即与共线,
又EF与BD1无公共点,∴EF∥BD1.
11.【解析】(1)=+=++
=++=--+.
(2)∵=+=-+
=--+,
=,
又∵<,>=45°,<,>=45°,∠D1AB=30°,
∴cos<,>=
=.
又异面直线OD1与BC所成角的范围为(0,],
∴OD1与BC的夹角的余弦值为.
【拓展提升】求解折叠问题的妙招——向量法
折叠问题实际上是一个平面图形转变为一个立体图形的过程,用向量法解决折叠中有关角和长度的问题时,应注意以下几点:(1)发现图形在折叠前后相应量的变化情况,特别是角、长度的变化.(2)选取合适的基向量,将问题中涉及到的向量用基向量进行表示.(3)借助向量的运算解决角与长度的问题.
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空间直角坐标系
空间两点间的距离公式
层级一 学业水平达标
1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A.
B．|a|
C．|b|
D．|c|
解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.
2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4
B．2
C．4
D．3
解析：选A |AB|＝＝4.
3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )
A．(3，－1,5)
B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5)
D．(－3,1，－5)
解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．
4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7
B．－7
C．－1
D．1
解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.
5．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0,0，)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0)．
6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．
解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．
答案：(－1,2，－3)
7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.
解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝＝.
答案：
8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．
解析：由题意，知点M1的坐标为(－2,0，－3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．
答案：(2,0,3)
9.如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
10.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
解析：由已知条件，得|A1C1|＝2.由|MC1|＝2|A1M|，得|A1M|＝，
且∠B1A1M＝∠D1A1M＝.如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)．由N为CD1的中点，可得N(1,2,2)．
∴|MN|＝
＝.
层级二 应试能力达标
1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上
B．在xOy平面内
C．在yOz平面内
D．在xOz平面内
解析：选C ∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．
2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
解析：选C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．
3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 利用中点坐标公式，得点P的坐标为，由空间两点间的距离公式，得|PC|＝＝.
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9
B.
C．5
D．2
解析：选B 由已知，可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝＝.
5．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
答案：
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．
解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．
解：(1)设P(x,0,0)．
由题意，得|P0P|＝＝，解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．
则|MN|＝
＝.
所以当x0＝1时，|MN|min＝.
此时点M的坐标为(1,0,0)．
8.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．
解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．
由于M为BD1的中点，
所以M，取A1C1中点O1，则O1，因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N.
由两点间的距离公式可得：
|MN|＝
＝a.单元质量评估
（120分钟
150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1,,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是( )
A.-1
B.
C.1
D.-
2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是( )
A.a+b=b+a
B.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c)
D.b=λa
3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于( )
A.
B.
C.
D.
4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.不等边锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不确定
6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为( )
A.,-1,-
B.,1,
C.-,1,-
D.,1,-
7.(2013·吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
A.1或-3
B.-1或3
C.-3
D.1
8.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9.下列命题正确的是( )
A.若=+,则P,A,B三点共线
B.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底
C.(a·b)·c=|a|·|b|·|c|
D.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0
10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K为△ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是
( )
A.1
B.3
C.
D.
11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ与μ的值分别是 、 .
14.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量为n=(x,y,z),则x∶y∶z= .
15.平面α,β,γ两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2
cm,3cm,则PO的长为 cm.
16.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),
C(1,-1,5),
(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S.
(2)若向量a分别与向量,垂直,且|a|=,求向量a的坐标.
18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=
90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为?
19.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C'G的中点.
(1)求证:EF⊥B'C.
(2)求EF,C'G所成角的余弦值.
(3)求FH的长.
21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.
(1)求证:OD∥平面PAB.
(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.
22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥
平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA=
∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=,M,N分别是PD,PB
的中点.
(1)求证:MQ∥平面PCB.
(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.
(3)求点A到平面MCN的距离.
答案解析
1.【解析】选D.a·b=2-+2k=0,∴k=-.
2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b≠0时,不成立.
3.【解析】选C.++=++=.
4.【解析】选A.=(3,4,2),=(5,1,3),
=(2,-3,1).由·>0,得A为锐角;
由·>0,得C为锐角;
由·>0,得B为锐角,且||≠||≠||,
所以△ABC为不等边锐角三角形.
5.【解析】选A.∵n2=-2n1,∴n2∥n1,故α∥β.
6.【解析】选A.由d=αa+βb+γc
=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)
=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3.∴解得α=,β=-1,γ=-.
7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.
8.【解析】选C.易知=(1,4,-3),=(-2,1,-2),∴||=,||=3,
cos<,>==,∴sin<,>==,
∴S△ABC=||·||sin<,>=.
9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;△ABC为直角三角形时可能·=0,也可能·=0,或·=0,故D错误.
10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明
∠KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,∠KHG=120°,可解得KG=.
11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.
【解析】选D.方法一:∵A1B1∥EF,G在A1B1上,
∴G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.
∵D1E=,
∴由三角形面积可得h==.
方法二:以的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,),F(1,0,),D1(0,1,1),G(λ,0,1),
∴=(1,0,0),=(0,1,),=(-λ,1,0),
设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则解得取y=1,则n=(0,1,-2).
∴点G到平面EFD1的距离是:h===.
12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
∴=(0,0,1),=(2,2,0),=(-2,0,1).
设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),
由可得
∴可取n=(1,-1,0).
cos
=
==,
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
13.【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,
即(λ+1,0,2λ)=k(6,2μ-1,2),
∴解得k=λ=,μ=.
答案:
14.【解析】=(1,-3,-),=(-2,-1,-),
∵∴
∴x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).
答案:2∶3∶(-4)
15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),
∴|OP|==(cm).
答案:
16.【解析】∵=-,=-++=-++,∴·=
(-)·(-++)=4-2=2.
||2=(-++)2=6,∴||=,||=2,∴cos<,>=
==,
即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
答案:
【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,
∴E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),
∴=(1,2,-1),=(-2,2,0),
∴cos<,>==,
∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
17.【解析】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴cos∠BAC==,
∴∠BAC=60°,∴S=||||sin
60°=7.
(2)设a=(x,y,z),则a⊥?-2x-y+3z=0,
a⊥?x-3y+2z=0,|a|=?x2+y2+z2=3,
解得x=y=z=1或x=y=z=-1,
∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).
18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(2,0,2),
D(0,0,1),B(0,2,0),
设=λ,λ∈(0,1),
则E(2λ,2(1-λ),2λ).
又=(-2,0,1),
=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),
设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,
则即
取x=1,则y=,z=2,即n=(1,,2).
由于d==,
∴=,又λ∈(0,1),解得λ=,
∴当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.
【拓展提升】探索性问题的解法
在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.
19.【解析】以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),
E(,1,0),B1(a,0,1),
(1)=(0,1,1),=(-,1,-1),
∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).
∵n⊥平面B1AE,=(a,0,1),=(,1,0),
∴n⊥,n⊥,得
取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-,-a),要使DP∥平面B1AE,
只需n⊥,有-az0=0,解得:z0=.
∴AP=,∴在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B1AE,且P为AA1的中点.
20.【解题指南】要证明EF⊥B'C,只需要证明·=0;要求EF,C'G所成角的余弦值,只要求出,所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|即可.
【解析】(1)设=a,=b,=c,
则c·b=b·a=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.
∵=+=-c+(a-b)
=(a-b-c),
=-=b-c,
∴·=(a-b-c)·(b-c)=(c2-b2)
=×(1-1)=0.∴EF⊥B'C.
(2)∵=(a-b-c),=+=-c-a,
∴·=(a-b-c)·(-c-a)
=(-a2+c2)=,
||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,
||2=(-c-a)2=c2+a2=,
∴||=,||=,
cos<,>==,
∴EF,C'G所成角的余弦值为.
(3)∵=+++=(a-b)+b+c+=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c,
∴||2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2=,
∴FH的长为.
21.【解析】方法一:(1)∵O,D分别为AC,PC的中点,∴OD∥PA.
又PA?平面PAB,
OD?平面PAB,
∴OD∥平面PAB.
(2)设PA=2a,∵AB⊥BC,OA=OC,
∴OA=OB=OC=a.
又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC=2a.
取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC.
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
∵PA=2a,OA=a,∴OP=a.
又∵OE=,∴OF=a.
在Rt△ODF中,sin∠ODF==,
∴OD与平面PBC所成角的正弦值为.
方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),
设AB=a,则A(a,0,0),
B(0,a,0),C(-a,0,0).
设OP=h,则P(0,0,h).
(1)∵D为PC的中点,
∴=(-a,0,h).
又=(a,0,-h),∴=-.
∴∥,又PA?平面PAB,OD?平面PAB,
∴OD∥平面PAB.
(2)∵PA=2a,∴h=a,
∴=(-a,0,a).
可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,),
∴cos<,n>==.
设OD与平面PBC所成的角为θ,
则sinθ=|cos<,n>|=.
∴OD与平面PBC所成角的正弦值为.
22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),
B(0,2,0),C(,1,0),
D(,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(,0,2),N(0,1,2).
(1)=(,-1,0),=(0,2,-4),=(-,0,1).设平面PBC的法向量为n0=(x,y,z),
则有:n0⊥?(x,y,z)·(,-1,0)=0?x-y=0,n0⊥?(x,y,z)·(0,2,-4)=
0?2y-4z=0,
令z=1,则x=,y=2?n0=(,2,1).
∴·n0=(-,0,1)·(,2,1)=0,
又MQ?平面PCB,∴MQ∥平面PCB.
(2)设平面的MCN的法向量为n=(x',y',z'),
又=(-,-1,2),=(-,0,2),
则有:
n⊥?(x',y',z')·(-,-1,2)=0?-x'-y'+2z'=0,
n⊥?(x',y',z')·(-,0,2)=0?-x'+2z'=0,
令z'=1,则x'=,y'=1?n=(,1,1).
又=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.
∴cos=
==,
又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角,
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为.
(3)∵=(-,-1,0),∴所求的距离d===.
方法二:(1)取AP的中点E,连接ED,则ED∥CN,
依题有Q为EP的中点,所以MQ∥ED,所以MQ∥CN,又MQ?平面PCB,CN?平面PCB,∴MQ∥平面PCB.
(2)易证:平面MEN∥底面ABCD,
所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的角,
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥平面MEN,
过E作EF⊥MN,垂足为F,连接QF,则由三垂线定理可知QF⊥MN,
由(1)可知M,C,N,Q四点共面,
所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角.
在Rt△MEN中,ME=,NE=1,MN=,
故EF=,所以:tan∠QFE=,∠QFE=.
即所求二面角大小为.
(3)因为EP的中点为Q,且平面MCN与PA交于点Q,所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍,
由(2)知:MN⊥平面QEF,则平面MCNQ⊥平面QEF且交线为QF,
作EH⊥QF,垂足为H,则EH⊥平面MCNQ,故EH即为点E到平面MCN的距离.
在Rt△EQF中,EF=,∠QFE=,故EH=,即原点A到平面MCN的距离是.
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7
-空间向量与垂直关系
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知平面α的一个法向量为a=(x,1,-2),直线l的一个方向向量为n=(,y,-1),若l⊥α,则( )
A.x+2y=-4
B.x+y=3
C.x+2y=
D.x+y=
2.已知平面α与β的一个法向量分别是a=(x,2,2),b=(1,3,y),若α⊥β,且|a|=2,则y=( )
A.-5
B.-1
C.4或-4
D.-5或-1
3.(2013·青岛高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=4,点E是D1A1的中点,设F在B1C1上,若DE⊥BF,则B1F=( )
A.4
B.2
C.1
D.
4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为
( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.位置关系不确定
5.(2013·聊城高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,E是BC的中点,则A1E与平面AB1C1的位置关系是( )
A.相交但不垂直
B.A1E∥平面AB1C1
C.A1E⊥平面AB1C1
D.A1E?平面AB1C1
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.平面α与平面β的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断:
①m∥n?α∥β;
②m⊥n?α⊥β;
③a⊥m?l∥α;
④a∥m?l⊥α.
其中正确的论断为 (把你认为正确论断的序号填在横线上).
7.(2013·四平高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中,在平面α内的是 (把正确的序号都填上).
①B(1,-1,1);②C(1,3,);③D(1,-3,);④E(-1,3,-).
8.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后,有以下四个结论:
①·≠0;
②∠BAC=60°;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.
其中正确结论的序号是 (请把正确结论的序号都填上).
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=1,
AB=2a(a>0),E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.
10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:
(1)AD⊥D1F.
(2)平面AED⊥平面A1FD1.
11.(能力挑战题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF的长,若不存在,说明理由.
答案解析
1.【解析】选D.∵l⊥α,∴n∥a,即a=λn,
∴(x,1,-2)=λ(,y,-1)
∴解得∴x+y=.
2.【解析】选D.由|a|=2,得x2+4+4=24,解得x=±4,
∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=x+6+2y=0,
当x=4时,得y=-5;当x=-4时,得y=-1.
【误区警示】在求解本题的过程中,根据等量关系列出关系式后,切记一定不要漏解.
3.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),设点F(1,a,1),则=(0,-2,1),=(0,a,1),
∵DE⊥BF,∴⊥,
∴·=-2a+1=0,解得a=,
即B1F=.
4.【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),Q(1,1,0),
C(0,0,1),P(0,2,0),
则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
因为·=0,·=0,
所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,
所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC,
所以平面PQC⊥平面DCQ.
5.【解析】选A.如图所示,建立直角坐标系Axyz,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,1,1),
A1(0,0,1),E(,,0),
∴=(1,0,1),=(0,1,1),=(,,-1),设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z),
令z=-1,则x=y=1,故n=(1,1,-1),
∴·n≠0,故A1E与平面AB1C1不平行,又∵与n不共线,故A1E与平面
AB1C1不垂直,即A1E与平面AB1C1相交但不垂直.
6.【解析】①错误,因为α与β可能重合,③错误,因为l与α除l∥α外,还可能有l?α.显然,②④正确.
答案:②④
7.【解析】=(-1,0,-1),=(-1,4,-),=(-1,-2,-),=(-3,4,-),
∵·n=0,
∴⊥n,故C∈α.
答案:②
8.【解析】①平面ABD⊥平面ACD,BD⊥AD,
∴BD⊥平面ACD,∴BD⊥AC,∴·=0,故①不正确.
②AD=BD=CD,且∠ADB=∠ADC=∠BDC,
∴△ABD,△ACD,△BCD是全等三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,故②正确.
③由②可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确.
④建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=DB=DC=1,则A(0,0,1),B(1,0,0),
C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是n1=(1,0,0),平面ABC的法向量是n2=(1,1,1),∴n1·n2=1+0+0=1≠0,故④不正确.
答案:②③
9.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
AD=1,PD=1,AB=2a(a>0),则E(a,0,0),A(0,1,0),
B(2a,1,0),
P(0,0,1),F(a,,),得=(0,,),
=(2a,1,-1),=(2a,0,0).
由·=(0,,)·(2a,0,0)=0,
得⊥,即EF⊥AB,
同理EF⊥PB,又AB∩PB=B,
所以,EF⊥平面PAB.
10.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),D(0,1,0),
E(1,0,),F(,1,0),D1(0,1,1).
(1)因为=(0,1,0),=(,0,-1),所以·=0,所以⊥,即AD⊥D1F.
(2)因为=(1,0,),所以·=-=0,所以⊥,所以AE⊥D1F.由(1)知AD⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥平面AED.
又D1F?平面A1FD1,所以平面AED⊥平面A1FD1.
11.【解题指南】假设存在点F,利用CF⊥平面B1DF列出方程求AF.
【解析】以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则C(0,a,0),B1(0,0,3a),D(,a,3a).
假设存在F点,使CF⊥平面B1DF.不妨设AF=b,
则F(a,0,b),=(a,-a,b),
=(a,0,b-3a),=(a,a,0).
因为·=a2-a2+0=0,所以⊥恒成立.由·=2a2+b(b-3a)=2a2+b2-3ab=0,
得b=a,或b=2a.
所以当AF=a,或AF=2a时,CF⊥平面B1DF.
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7
-空间向量运算的坐标表示
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·大理高二检测)在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)之间的距离是( )
A.
B.6
C.
D.2
2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值分别可以为
( )
A.2,
B.-,
C.-3,2
D.2,2
3.(2013·金华高二检测)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( )
A.a∥b,a⊥b
B.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥b
D.以上都不对
4.设=(cosα+sinα,0,-sinα),=(0,cosα,0)则||的最大值为( )
A.3
B.
C.2
D.3
5.(2013·大连高二检测)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互
相垂直,则k的值是( )
A.1
B.
C.
D.
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·石家庄高二检测)已知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,-1,1),+λ与的夹角为120°,则λ的值为 .
7.(2013·杭州高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则
与的夹角为 .
8.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,
-2),c=a+tb.
(1)当|c|取最小值时,求t的值.
(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.
10.(2013·衡水高二检测)如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点.
(1)求证:EF⊥CD.
(2)若∠PDA=45°,求EF与AP夹角的大小.
11.(能力挑战题)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.
(1)求证:BD⊥平面ACC1A1.
(2)若二面角C1-BD-C的大小为60°,求异面直线BC1与AC所成角的余弦值.
答案解析
1.【解析】选A.dAB=||
==.
2.【解析】选A.∵a∥b,∴存在k,使得a=kb,即(λ+1,0,2)=k(6,2μ-1,2λ),
即解得或
【变式备选】已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,那么
( )
A.a=3,b=-3
B.a=6,b=-1
C.a=3,b=2
D.a=-2,b=1
【解析】选C.根据题意=(1,-1,3),=(a-1,-2,b+4),
∵与共线,∴存在λ,使=λ,
即(a-1,-2,b+4)=(λ,-λ,3λ),
∴解得
3.【解析】选C.∵a·b=0,∴a⊥b,又a=c,∴a∥c,故选C.
4.【解题指南】求出||的表达式,利用三角函数的有界性求其最大值.
【解析】选B.由题意知=+=(cosα+sinα,cosα,-sinα),
∴||=
=,
∵sin2α∈[-1,1],∴||max==.
5.【解析】选C.ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).
∵(ka+b)⊥(2a-b),
∴(ka-b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,解得k=.
6.【解析】+λ=(1,0,0)+(0,-λ,λ)=(1,-λ,λ),
=(0,-1,1).据题意可得
=-,解得λ=-(λ=舍去).
答案:-
7.【解析】易知=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴cos<,>===,
又<,>∈[0,π],故<,>=.
答案:
8.【解析】∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,
∴3×(-1)+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0,解得
x>-2.若a与b的夹角为π,则x=,
∴x∈(-2,)∪(,+∞)
答案:(-2,)∪(,+∞)
【误区警示】解答本题时不要忽视把a与b的夹角为180°时的情况剔除.
9.【解析】(1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,
所以Δ=[-(t-2)]2-4(t2+3t+5)≥0,
即-4≤t≤-.
又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),
所以|c|=
=.
因为t∈[-4,-]时,上述关于t的函数单调递减,
所以当t=-时,|c|取最小值.
(2)当t=-时,c=(-,1,),
所以cos=
=
=-=-.
【拓展提升】求向量模的最值
在向量的坐标运算中常出现求某向量模的最值的问题,解决这类问题首先要根据向量的坐标运算求出待求模的向量的坐标,往往坐标内含有参数,再根据题目条件求出参数的取值范围(本题中用Δ≥0求参数范围),最后写出模的表达式,利用函数的性质求模的最值.
10.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2a,BC=2b,PA=2c,则:A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),
P(0,0,2c).
∵E为AB的中点,F为PC的中点,
∴E(a,0,0),F(a,b,c).
(1)=(-2a,0,0),=(0,b,c),
∴·=(-2a,0,0)·(0,b,c)=0,∴⊥,即EF⊥CD.
(2)若∠PDA=45°,则有2b=2c,
即b=c,
∴=(0,b,b),=(0,0,2b),
∴cos<,>==,
∴<,>=45°,
即EF与AP的夹角为45°.
11.【解析】建立空间直角坐标系如图所示:
(1)设AD=a,DD1=b,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b).
∴=(-a,-a,0),=(-a,a,0),=(0,0,b),∴·=0,·=0,
∴BD⊥AC,BD⊥CC1,
∵AC,CC1?平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1.
(2)设BD与AC相交于O点,则点O坐标为(,,0),
=(-,,b),连接OC1,
∴·=0,
∴·=0,∴BD⊥C1O,又BD⊥CO,
∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
∴∠C1OC=60°.
∵tan∠C1OC===,∴b=a.
∵=(-a,a,0),=(-a,0,b),
∴cos<,>==,
∴异面直线BC1与AC所成角的余弦值是.
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7
-空间向量与空间距离
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为( )
A.
B.6
C.
D.3
2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )
A.a
B.a
C.a
D.a
3.(2013·开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为( )
A.1
B.
C.
D.
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为( )
A.
B.
C.
D.1
5.(2013·石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为( )
A.1
B.
C.
D.
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,
∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为 .
7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是 .
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点,如果∠MB'E=∠MB'C',MB'和平面B'C'FE所成的角的正切值为,求点M到直线EF的距离.
10.(2013·济南高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求||.
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,
A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD.
(2)求证:平面EGF∥平面ABD.
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
答案解析
1.【解析】选A.易知D(0,1,3),∴=(1,1,2),∴||=.
2.【解析】选A.如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),M(a,0,),
B(a,a,0),D(0,0,0)
∴=(0,0,),=(a,0,),=(a,a,0),设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,得n=(1,-1,-2)
∴点A1到平面MBD的距离为=a.
【一题多解】由于M是AA1的中点,故A1与A到平面MBD的距离相等.
又VA-MBD=VB-AMD,即××a×a×h=×××a×a,解得h=a.
3.【解析】选D.建系如图,即P(0,0,2),
E(1,0,1),F(0,1,1),
∴=(-1,0,1),=(-1,1,0).
∴在上的投影为==,
∴点P到直线EF的距离为=.
4.【解题指南】先求平面AEC1的法向量,代入点面距公式求解.
【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系,
则A(3,0,0),D1(0,0,3),
E(0,,0),C1(0,3,3),
=(-3,,0),
=(-3,3,3),=(0,3,0),
设n=(x,y,z)为平面AEC1的法向量,则
令x=1,得y=2,z=-1,∴n=(1,2,-1).
∴D1到平面AEC1的距离为
==.
5.【解析】选B.易知A1C1∥平面ACD1,则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图,易知=(0,0,1)
平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1),
故所求的距离为=.
6.【解析】=++,
∴||2=(++)2
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=1+22+32+2||·||·cos<,>+2||·||·cos<,>+
2||·||·cos<,>=14+2×1×2cos
90°+2×1×3cos
60°+2×2×3cos
60°=23,
∴||=,即AC1=.
答案:
7.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,,1),A1(1,0,2),
∴=(0,2,0),=(-1,-,1),
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则
解得,
取z=1,则n=(1,0,1).又易证A1B1∥平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,又=(0,0,2),
∴点A1到平面ABE的距离为==.
答案:
8.
【解析】由AD1∥BC1,A1B∥D1C可证得平面A1BC1∥平面ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AB=4,BC=3,CC1=2,则A1(3,0,2),B(3,4,0),
C1(0,4,2),A(3,0,0).
∴=(0,4,-2),=(-3,0,2).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,
解得,
取z=6,则n=(4,3,6),又=(0,4,0),
则平面A1BC1与平面ACD1的距离为
==.
答案:
9.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,作MN⊥EF,垂足为N,则MN⊥平面B'C'FE,连接B'N,则∠MB'N即为MB'与平面B'C'FE所成的角,
∴tan∠MB'N=,
设M(0,y,z),0∴=(-1,0,0),=(0,2,0),=(-1,y,z),=(-1,y,0),=(0,0,-z),
∴cos∠MB'E==,
cos∠MB'C'===,tan∠MB'N===.
∵∠MB'E=∠MB'C',∴y=1,z=.
因此点M到直线EF的距离为.
10.【解析】以D为原点,DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
(1)设F(0,0,a),
由=,得(-2,0,a)=(-2,0,2),
∴a=2.
∴F(0,0,2),=(-2,-4,2).
∴||=2.
(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,
由得
取z=1,则n=(1,-,1),又=(0,0,3),
∴C到平面AEC1F的距离d==.
11.【解题指南】寻找条件中的三线两两垂直建立空间直角坐标系,正确地求出图中各点坐标,然后利用向量的坐标运算证明、求解.
【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设
A1(a,0,0),则B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),
A(a,0,4),B(0,0,4),
D(0,2,2),G(,1,0).
(1)=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).
∴·=0+0+0=0,·=0+4-4=0.
∴B1D⊥AB,B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
(2)∵=(-a,0,0),=(0,2,-2).
=(-,0,0),=(0,1,-1),
∴=,=.∴GF∥AB,EF∥BD.
又GF∩EF=F,AB∩BD=B,
∴平面EGF∥平面ABD.
(3)方法一:由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段.
设=λ=(0,2λ,2λ),则=(0,2λ,2λ-1),=(0,1,-1).
∵与共线,∴=,即λ=,
∴=(0,,),∴=(0,,),
∴||=.
∴平面EGF与平面ABD的距离为.
方法二:由(2)知平面EGF∥平面ABD,
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,∴解得
取z=1,则n=(0,1,1),∵=(0,2,1),
∴d===,
即平面EGF与平面ABD的距离为.
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8
-空间向量与空间角
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.在空间中,已知二面角α-l-β的大小为,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则的大小为( )
A.
B.
C.或
D.
2.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为( )
A.150°
B.45°
C.60°
D.120°
3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中点,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为( )
A.
B.
C.
D.与点P的位置有关
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,则平面B1BD与平面CBD所成角的余弦值等于( )
A.-
B.
C.
D.-
5.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·东莞高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 .
7.(2013·金华高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .
8.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·厦门高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.
(1)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.
(2)求二面角A1-EC-A的余弦值.
10.(2013·秦皇岛高二检测)如图,△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形,直角边长为8,DE∥BC,AE∶EC=5∶3,沿DE将△ADE折起使得点A在平面BCED上的射影是点C,MC=AC.
(1)在BD上确定点N的位置,使得MN∥平面ADE.
(2)在(1)的条件下,求CN与平面ABD所成角的正弦值.
11.
(能力挑战题)(2013·北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC.
(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值.
(3)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
答案解析
1.【解析】选C.当为锐角时,=π-=;当为钝角时,=.故选C.
2.【解析】选C.由条件知·=0,·=0,=++,
∴||2=(++)2=62+42+82+2×6×8×cos<,>,
得cos<,>=-,∴所求二面角的大小为60°.
【变式备选】如图,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),
S(0,0,1),平面SAB的一个法向量是=(,0,0),并求得平面SCD的一个法向量n=(1,-,),cos<,n>=
=,结合图形知所求二面角的余弦值为.
3.【解题指南】本题可通过解立体几何的方法求解,或者建立空间直角坐标系用向量法来解.
【解析】选C.方法一:取AD的中点E,连接A1E,则△A1AE≌△ADM,∴∠AA1E=∠DAM,
∴∠AA1E+∠A1AM=,∴AM⊥A1E.
又PO在平面ADD1A1内的射影为A1E,
∴异面直线OP与AM所成的角的大小为.
方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,),O(,,0),
设P(m,0,1).
∴=(0,1,),=(m-,-,1),
∴cos<,>===0,
∴⊥,异面直线OP与AM所成的角的大小为.
4.【解析】选D.建立如图所示的坐标系,由题意可知,B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),C(0,0,0),
D(,,),
∴=(,,),=(,0,0),=(-,1,0),=
(0,0,1),设平面CBD和平面B1BD的一个法向量分别为n1,n2,求得n1=(0,1,-1),
n2=(1,,0),所以cos==,结合图形判断得平面B1BD与平面CBD所成角的余弦值为-.
5.【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),
所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
6.【解析】如图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),
∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1),
设n=(x,y,z)为平面A1BD的法向量,则
∴取n=(1,-1,-1),设直线BC1与平面A1BD所成角为θ,则sinθ=|cos|=
==,
∴cosθ=.
答案:
7.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则A1(1,0,1),M(0,,0),N(0,1,),
∴=(-1,,-1),=(0,1,),
cos<,>===0,即⊥,则A1M与DN所成角的大小是90°.
答案:90°
8.【解析】如图所示,令AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B(,0,0),
F(0,0,),C(0,,0).
结合图形可知,=(0,,0)且为平面BOF的一个法向量,由=(-,,0),
=(,0,-),可求得平面BCF的一个法向量n=(1,,).
所以cos=,sin=,
所以tan=.
答案:
【误区警示】在本题中,由于空间几何体形状不是非常规则,故合理建系是关键,否则会加大运算量,并易导致失误.
9.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E(1,,0),
(1)=(-1,-1,1),=(1,-,0),故cos<,>=
==-,所以异面直线BD1与CE所成角的余弦值是.
(2)DD1⊥平面AEC,所以为平面AEC的一个法向量,=(0,0,1),设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z),又=(0,,-1),=(-1,1,-1),
即取n=(1,2,1),
所以cos<,n>=.
结合图形知二面角A1-EC-A的余弦值为.
10.【解析】(1)由已知,点A在平面BCED上的射影是点C,则可知AC⊥平面BCED,而BC⊥CE,如图建立空间直角坐标系,则可知各点的坐标为C(0,0,0),
A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0),
由MC=AC,可知点M的坐标为(0,0,),设点N的坐标为(a,b,0),则可知b=8-a,即点N的坐标为(a,8-a,0),则=(a,8-a,-).
设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z),由题意可知而=(0,-5,0),
=(3,0,-4),
可得取x=4,则z=3,
可得n1=(4,0,3).
要使MN∥平面ADE等价于n1·=0,即4a+0×(8-a)-3×=0,
解之可得a=2,即可知点N的坐标为(2,6,0),点N为BD的靠近D点的三等分点.
(2)由(1)可知=(2,6,0),设平面ADB的法向量为n2=(x',y',z'),由题意可知
而=(-3,3,0),=(0,8,-4)可得取x=1,则y=1,z=2,
可得n2=(1,1,2).
设CN与平面ABD所成角为θ,则sinθ==.
【拓展提升】线面角的求解策略
(1)利用直线与平面夹角的定义,找到线面角,转化为求解三角形问题.
(2)利用最小角定理,即直线与平面内任一条直线所成的角中线面角最小,代入公式cosθ=cosθ1·cosθ2求解,
(3)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量求解.
11.【解析】(1)因为四边形AA1C1C是正方形,所以AA1⊥AC.
又因为平面ABC⊥平面AA1C1C,交线为AC,所以AA1⊥平面ABC.
(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以AC⊥AB.分别以AC,AB,AA1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4),
=(4,0,0),=(0,3,-4),=(4,-3,0),=(0,0,4).
设平面A1BC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面B1BC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
由
可得可取n1=(0,4,3).
由
可得可取n2=(3,4,0).
所以cosn
2>=
==.
由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以余弦值为.
(3)设点D的竖轴坐标为t(0又因为⊥,所以(4-t)-4t=0,所以t=,所以==.
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9
-空间向量及其加减运算
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.对于空间向量,有以下命题:
①单位向量的模为1,但方向不确定;
②如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量的模为0;
③若a∥b,b∥c,则a∥c;
④若ABCD-A'B'C'D'为平行六面体,则=.
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,能与向量相等的向量有( )
A.0个
B.3个
C.6个
D.9个
3.在空间四边形OABC中,+-等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是
( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②③④
5.(2013·成都高二检测)设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,
·=0,·=0,则△BCD的形状是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.无法确定
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式-+的化简结果是 .
7.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c,则=
,
=
.
8.化简:-+--= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,几何体ABCDEF
-A'B'C'D'E'F'为正六棱柱,在顶点连接的向量中,
(1)与相等的向量有哪些?
(2)与,,相等吗?
10.如图,已知空间四边形ABCD中,向量=a,=b,=c,若M为BC的中点,G为△BCD的重心,试用a,b,c表示向量.
11.(能力挑战题)线段AB,AC,AD不共面,连接BC,CD,DB,取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,如图所示,试判断四边形EFGH的形状,并用向量的相关知识给出证明.
答案解析
1.【解析】选D.①为真命题.模为1的向量叫单位向量,但方向不唯一;②为真命题.相反向量的模相等,且方向相反,所以如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量为零向量,模为0;③为真命题.平行向量的方向要么方向相同,要么方向相反,具有传递性;④为真命题.与的方向相同,且大小相等,所以是相等向量.
2.【解析】选B.相等向量的模相等,并且方向相同,所以,与相等的向量有,,,共3个.
3.【解析】选C.+-=-=+=.
4.【解析】选D.①
5.【解析】选C.·=(-)·(-)=·-·-·+2=
2>0,同理·>0,·>0,所以△BCD是锐角三角形.
6.【解析】-+
=-+
=+=.
答案:
7.【解析】=++
=-++=-a+b+c.
=++
=-++
=-c+a+b
=a+b-c
答案:-a+b+c a+b-c
8.【解题指南】根据向量的减法运算法则将-化为,根据加法运算将--化为-即可解决.
【解析】原式=(+)-(+)
=0-=-=.
答案:
9.【解析】(1)与相等的向量有,,.
(2)由正六棱柱的性质可知,BD与B'D',AE,A'E'分别平行且相等,
∴===.
【举一反三】若本例条件不变,所求问题改为:与平行的向量有多少个?
【解析】可知在顶点连接的线段中,与AD平行的有BC,B'C',A'D',F'E',FE共5条.
根据平行向量的定义可知,与平行的向量共有
5×2+1=11(个).
10.【解析】在△BCD中,注意到三角形重心的性质,
得=+=c+
=c+(+)
=c+(-+-)
=c+(a+b-2c)
=(a+b+c).
【拓展提升】用已知向量表示指定向量的方法
用已知向量来表示指定向量时,常结合具体图形.通过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中,通过向量的运算性质将指定向量表示出来,然后转化为已知向量的线性式.
11.【解析】四边形EFGH是平行四边形.证明如下:
∵=+=(+)=,
=+=(+)=,
∴=.
又E点不在上,
∴EH∥FG且EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
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5
-空间向量的数乘运算
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知向量a=4e1-e2,b=e1-e2,则( )
A.a,b一定共线
B.a,b不一定共线
C.只有当e1,e2不共线时,a,b才共线
D.只有当e1,e2为不共线的非零向量时,a,b才共线
2.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点( )
A.一定不共面
B.一定共面
C.不一定共面
D.无法判断
3.(2013·重庆高二检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=α+β,则( )
A.α=,β=-1
B.α=-,β=1
C.α=1,β=-
D.α=-1,β=
4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
5.若a,b是平面α内的两个向量,则( )
A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0
C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
D.若a,b不共线,则α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.非零向量e1,e2不共线,若向量ke1+e2与e1+ke2共线,则k= .
7.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z= .
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x= ,y= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.
10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,当=2--时,点P是否与A,B,C共面?
11.(能力挑战题)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵a=4e1-e2,b=e1-e2,
∴a=4(e1-e2)=4b,∴a,b一定共线.
2.【解析】选B.∵++=1,根据向量共面定理,
∴A,B,C,P四点共面.
3.【解析】选A.=++
=++
=-+(-)+(-)
=(1-)-=-=α+β,
∴α=,β=-1.
4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上,只需考查与是否共线.解决本题的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断与是否共线.
【解析】选A.已知m+n=1,则m=1-n.
=(1-n)+n=-n+n
?-=n(-)?=n,
因为≠0,
所以和共线,即点A,P,B共线,故选A.
5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,故B不正确;若a,b不共线,则平面α内的向量都可用a,b表示,对空间向量则不一定适合,故C不正确,D正确,故选D.
6.【解析】∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.
∵e1,e2不共线,
∴∴k=±1.
答案:±1
【举一反三】若本题条件改为:设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+
ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变,结果如何?
【解析】∵A,B,D三点共线,
∴向量与共线,于是存在实数λ,使=λ,即=λ(-),
∴2e1+ke2=λ[(2e1-e2)-(e1+3e2)]?(2-λ)e1+(k+4λ)e2=0,
∵e1,e2不共线,
∴2-λ=0且k+4λ=0,得k=-8.
答案:-8
7.【解析】∵A,B,C,D共面,
∴=+λ+μ
=+λ(-)+μ(-)
=(1-λ-μ)+λ+μ
=(λ+μ-1)-λ-μ
=2x+3y+4z,
∴2x+3y+4z=(λ+μ-1)+(-λ)+(-μ)
=-1.
答案:-1
8.【解析】=+=+
=+(+)=+(+),对比系数可得x=1,y=.
答案:1
9.【证明】=++
=++
=(+)++(+)
=++++
=+.
又与不共线,根据共面向量定理,可知,,共面.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧
(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面.
(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线,面与面平行的方法.
【变式备选】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证:平面EFG∥平面AB1C.
【证明】设=a,=b,=c,
则=+=(a+b),
=a+b=2,
∴∥,
=+=b-c=(b-c),
=+=b-c=2,
∴∥.
又∵EG与EF相交,AC与B1C相交,
∴平面EFG∥平面AB1C.
10.【解析】若P与A,B,C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是对平面ABC外一点O,有-=x(-)+y(-),
∴=(1-x-y)+x+y,比较原式得
此方程组无解,这样的x,y不存在,
所以A,B,C,P四点不共面.
11.【解析】连接BD,BG.
∵=-,=,
∴=-,∵=+,
∴=+-=-++.
∵=,∴=,
∴=(-++)
=-++.
又∵=-,
∴=-++,
∵=m,
∴=m·=-++,
∵=-+=-+,
∴=(1-)+(-1)+.
又∵G,B,P,D四点共面,
∴1-=0,m=.
即m的值是.
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2
-空间向量的数量积运算
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=
( )
A.0
B.2
C.4
D.8
3.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,
·>0,·>0,则该四边形为( )
A.平行四边形
B.梯形
C.平面四边形
D.空间四边形
4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )
A.
B.
C.1
D.
5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=
90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)= .
7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为 .
8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的长.
(2)求cos<,>的值.
(3)求证:A1B⊥C1M.
10.(2013·济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,
(1)求证:MN⊥CD.
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
11.(能力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,
PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上
是否存在点Q,使⊥?
答案解析
1.【解析】选A.a·b=|a||b|cos=|a||b|?cos=1?=0,即a,b同向,故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.
2.【解析】选B.|2a-b|=
=
==2,故选B.
3.【解析】选D.由题意知,·<0,·<0,·<0,·<0,即四边形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形.
4.【解析】选D.=++
∴=(++)2
=+++2(·+·+·)
由题意知,||=||=||=1,
·=||·||cos135°
=1×1×(-)=-,
·=·=0,
∴2=3+2×(-)=3-,
∴BD=.
5.【解析】选B.设=a,=b,=c,
|a|=|c|=1,则|b|=,
=+=+=a+c,
=+=-+
=-a+b+c,
∴·=(a+c)·(-a+b+c)
=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2
=-|a|2+a·b+b·c+|c|2
=-+a·b+0+=a·b.
由题意知,=45°,
∴a·b=|a||b|cos=1××cos45°=1,
∴·=×1=,
==,
∴cos<,>=
==,
∴cos<,>=60°,
∴EF与BC1所成的角为60°.
6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-)+42=0.
答案:0
7.【解析】=(++)2,
=||2+||2+||2+2(·+·+·),
由题意知,||=||=1=||,
且·=·=·=0.
∴=3,
∴AE的长为.
答案:
【举一反三】若将题条件中“BC⊥CD”改为“∠BCD=120°”,其他条件不变,结果如何?
【解析】由本题解答知,
=||2+||2+||2+2(·+·+·),
∵||=||=1=||,
·=·=0,
·=||·||·cos<,>
=1×1×cos60°=,
∴=3+2×=4,
故AE的长是2.
答案:2
8.【解析】设正方形ABDE的边长为1,
∵=+,=-,
∴·=(+)·(-)
=·-+·-·,
=0-1+0-0=-1,
||=
=
==,
||=
=
==,
∴cos<,>==-,
∴<,>=120°,故AD与BC所成角为60°.
答案:60°
9.【解析】(1)由题可知,BA=,BA⊥AN,
∴=(+)2
=+2·+
=()2+2×0+12=3,
∴BN=.即的长为.
(2)∵=+,=+,
∴·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=||·||·cos135°+0+0+
=×1×(-)+22=3,
||=
==,
||=
==,
∴cos<,>=
==.
(3)∵=+,
=(+),
∴·=(+)·(+)
=(·+·+·+·)
由题意知,·=·=0,
·=||·||·cos<,>
=×1×cos135°=-1,
·=||·||·cos<,>
=×1×cos45°=1,
∴·=×(-1+1)=0,
∴⊥,即A1B⊥C1M.
10.【证明】(1)设=a,=b,=c,
则=++
=+-
=+-(++)
=++--
=(+)=(b+c),
∴·=(b+c)·(-a)
=-(a·b+a·c),
∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,
∴·=0,
∴⊥,故MN⊥CD.
(2)由(1)知,MN⊥CD,=(b+c),
∵=-=b-c,
∴·=(b+c)·(b-c)
=(|b|2-|c|2),
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,
又∠PDA=45°,
∴PA=AD,∴|b|=|c|,
∴·=0,∴⊥,∴MN⊥PD,
∵CD,PD?平面PCD,且CD∩PD=D,
∴MN⊥平面PCD.
【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题
垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是:
(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.
(2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.
(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.
(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.
11.【解题指南】由⊥得PQ⊥QD,在平面ABCD内,点Q在以AD为直径的圆上,此时需讨论AD与AB的大小关系,若此圆与BC相切或相交,则BC边上存在点Q,否则不存在.
【解析】假设存在点Q(Q点在边BC上),使⊥,即PQ⊥QD,连接AQ.
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥QD.
又=+且⊥,
∴·=0,即·+·=0.
又由·=0,∴·=0,
∴⊥,∴∠AQD=90°,
即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.
又∵AB=1,由图知,
当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;
当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;
当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.
综上所述,当a≥2时,存在点Q;当0关闭Word文档返回原板块
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6
-空间向量与平行关系
（45分钟
100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若
l∥α,则a,b应满足的关系式为( )
A.3a+b+6=0 B.a=3b
C.3a-b+6=0
D.a=-3b
2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m的值为( )
A.4
B.-4
C.-2
D.2
3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )
①a=(,1,0),b=(-2,-4,0);
②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);
③a=(5,0,2),b=(0,1,0);
④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( )
A.AD
B.A1C1
C.EB1
D.EA1
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-,k),若α∥β,则k等于 .
7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为 .
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,
B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0,
∴3a+b+6=0.
2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.
3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.
【解析】选A.①a=-b,∴l1∥l2,排除B,C,②a=-2b,∴l1∥l2,故选A.
【变式备选】设u,v分别是不同的平面α,β的一个法向量,根据下列条件能判断α∥β的是 .
①u=(-1,1,-2),v=(3,2,-);
②u=(0,0,3),v=(0,0,-2);
③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).
【解析】判断两个法向量是否平行即可.
①∵u=kv的k值不存在,∴u与v不平行;
②∵u=-v,∴u∥v,∴α∥β;
③∵u=kv的k值不存在,∴u与v不平行.
答案:②
4.【解析】选D.如图所示,建立直角坐标系Axyz,
设AB=1,则C(1,1,0),E1(,,1),∴=(-,-,1).
又A1(0,0,1),E(,,0),
∴=(-,-,1),故∥,又CE1与EA1不重合,故选D.
5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选B1或C1为原点,求M,N的坐标是解题关键.
【解析】选B.以C1为原点,以,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
∴N(,,a),
M(a,,),
∴=(-,0,).
而平面B1BCC1的一个法向量为n=(0,1,0),
∴·n=0.又MN?平面B1BCC1,
∴MN与平面B1BCC1平行.
6.【解析】∵α∥β,∴(3,2,-1)=λ(-2,-,k),
∴λ=-,λk=-1,∴k=.
答案:
7.【解析】∵m∥l,∴a=(3,2,-1)也是直线m的方向向量,又|a|=,
∴所求的向量为±(3,2,-1),即m的单位方向向量为(,,-)或(-,-,).
答案:(,,-)或(-,-,)
8.【解析】根据题意得D1(0,0,1),E(1,1,),F(,0,0),
∴=(,0,-1),=(1,1,-).
设平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),则:
取z=2k(k≠0),则x=4k,y=-3k,
∴n=(4k,-3k,2k)(k≠0).
答案:(4k,-3k,2k)(k≠0)
9.【证明】如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则C(0,1,0),D1(0,0,1),
∴=(0,-1,1),又∵A1(1,0,1),D(0,0,0),
∴E(,0,),又F(,,0),
∴=(0,,-).
∴=-2,∴∥,又∵C?EF,故CD1∥EF.
10.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分别取MN,DB及EF的中点R,T,S,连结AR,ST,
则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),D(0,0,0),B(2,3,0),
E(0,,4),F(1,3,4),R(,,4),S(,,4),T(1,,0).
∴=(1,,0),=(1,,0),
=(-,,4),=(-,,4).
∴=,=,
又MN与EF,AR与TS不共线,
∴MN∥EF,AR∥TS.
∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD,
又MN?平面AMN,AR?平面AMN,MN∩AR=R,
∴平面AMN∥平面EFBD.
方法二:建系同方法一,
由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),
D(0,0,0),E(0,,4),F(1,3,4),
则=(-1,0,4),=(0,,4),=(0,,4),=(1,3,4).
设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为
n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),
令x1=1,得z1=,y1=-,
∴n1=(1,-,),
令y2=-1,得z2=,x2=.
∴n2=(,-1,),
∴n1=n2,即n1∥n2,∴平面AMN∥平面EFBD.
11.【解题指南】逆向推理是解决证明问题的关键,在证明中结合目标逆向寻求解题思路,充分利用棱柱、棱锥中的三角形、四边形(正方形、长方形、菱形)的性质特征找到垂直关系与平行关系,可以有效地对问题进行转化,忽视平面图形的性质,会使解题无从入手.
【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,又因为底面ABCD是菱形,得AB=BC且∠ABC=
60°,所以△ABC是正三角形,连接AE,又E是BC的中点,∴BC⊥AE,故AE,AD,AP彼此两两垂直,以AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
∵PA=AB=2,
故A(0,0,0),B(,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(,1,0),
∴=(0,0,-2),=(,1,-2),=(0,1,1).
假设在线段AB上存在点G,使得AF∥平面PCG,
则=λ(0≤λ≤1),
∵=(,-1,0),
∴=λ=(λ,-λ,0).
∴=+=(λ,-λ,-2),
设平面PCG的法向量为n=(x,y,z),
得n=(,1,).
∵AF∥平面PCG,∴·n=0,解得λ=,
故在线段AB上存在中点G,使得AF∥平面PCG.
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