2020-2021学年北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试（Word版，附答案解析）

第一章 三角形的证明 单元测试
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（　　）
A．36° B．38.5° C．64° D．77°
2．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（　　）
A．40° B．55° C．65° D．70°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（　　）
A．AE＝CE B．AE＞CE C．AE＜CE D．AE＝2CE
5．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不能确定
6．如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）
A．ED＝CD B．∠DAC＝∠B
C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE＝90°
7．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．35°
9．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：
①AD是△ABC的高；
②AD是△ABC的中线；
③ED＝FD；
④AB＝AE+BF．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
二．填空题
11．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B＝　 　°．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是　 　．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若AB＝11cm，△BCE的周长为17cm，则BC＝　 　cm．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点P共有　 　个．
15．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于点E，如果△ABC的边长是12，则AE＝　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　．
17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为　 　．
18．如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC＝100°，那么∠DAF的度数为　 　°．
19．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝　 　度．
20．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为　 　cm2．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠BAD的大小．
22．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．
（1）试说明∠ABC＝2∠C；
（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．
24．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E．求CE的长．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
27．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
故选：B．
2．解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；
当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；
当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝55°；
即∠C的度数可以是70°或40°或55°，
故选：C．
3．解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
4．解：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝BE＝DE，
∵AB⊥BD，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＞BE，
∴AE＞CE．
故选：B．
5．解：∵BC＝BD+AD＝BD+CD
∴AD＝CD
∴点D在AC的垂直平分线上．
故选：B．
6．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD．
∴∠B＝∠BAD，∠ADE＝∠BDE．
∴∠B+∠ADE＝90°
其它选项无法证明其是正确的．
故选：D．
7．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
8．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故选：C．
9．解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBD，
∵AC∥BF，
∴∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，
∵AC∥BF，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，所以③正确；
在△ADE和△ADH中，
，
∴△ADE≌△ADH（HL），
∴AH＝AE，
同理可得BH＝BF，
∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．
故选：A．
10．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，
∴B6B7＝＝＝32．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+105°﹣＝180°，
解得：α＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝＝25°，
故答案为：25．
12．解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
故答案为：∠1＝2∠2．
13．解：∵AB＝11cm，
∴AC＝AB＝11cm，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AE+BE＝AC＝AB＝11cm，
∵△BCE的周长为17cm，
∴BC＝17﹣11＝6（cm）．
故答案为：6．
14．解：如图所示，共5个点，
故答案为：5．
15．解：在等边△ABC中，F是AB的中点，△ABC的边长是12，
∴AF＝AB＝6，∠A＝60°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝30°，
∴AE＝AF＝3．
故答案为：3．
16．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
17．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠ACF＝48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠ABC＝2∠FCE，
∵∠ACF＝48°，
∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，
∴∠FCE＝24°，
∴∠ABC＝48°，
故答案为：48°
18．解：由三角形内角和定理得，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
同理可知，∠FAC＝∠C，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°，
故答案为：20．
19．解：如图，连接OA．
∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BOC＝∠ABO+∠OCA+∠BAC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，
∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴∠E＝90°+∠BAC，
∵∠BOC+∠E＝180°，
∴2∠BAC+90°+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，
故答案为36．
20．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，
∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，
∴PF＝PG＝PE＝3，
∵S△BPC＝7.5，
∴BC?3＝7.5，
解得BC＝5，
∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+AC+BC＝14，
∴AB+AC＝9，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP
＝（AB+AC﹣BC）×3
＝×（9﹣5）×3
＝6（cm2）．
故答案为：6．
三．解答题
21．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；
（2）∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°．
22．证明：（1）∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∴∠ABC＝2∠C；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠CAD，
∵BE∥AD，
∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，
∴∠ABE＝∠E，
∴AE＝AB．
23．证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；
（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，
∴AD＝DB，
∵AC＝EC，∠ACB＝90°，
∴AD＝DE，
∴DE＝DB．
24．解：∵在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE＝∠CAB＝（90°﹣∠B），
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠DAE＝∠B，
∴∠DAE＝∠CAB＝（90°﹣∠B）＝∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．
25．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴；
∵DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，
∴AE＝BE；
设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x；
在Rt△ACE中，∠C＝90°，
∴CE2+AC2＝AE2；
即x2+62＝（8﹣x）2，
解得，
即．
26．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
27．解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝50°，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；
（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠E＝70°﹣15°＝55°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝40°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，
∴∠BAD＝30°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α
∴，∴2α＝β，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．