2020-2021学年苏科版七年级下册课时练：第七章《 平面的图形认识（二）》（一）（word版含答案）

2020-2021学年苏科版七年级下册课时练：第七章
《
平面的图形认识（二）》（一）
1．已知，如图①，点D，E，F，G是△ABC三边上的点，且FG∥AC，
（1）若∠EDC＝∠FGC，试判断DE与BC是否平行，并说明理由．
（2）如图②，点M、N分别在边AC、BC上，且MN∥AB，连结GM，若∠A＝60°，∠C＝55°，∠FGM＝4∠MGC，求∠GMN的度数．
（3）点M、N分别在射线AC、BC上，且MN∥AB，连结GM．若∠A＝α，∠ACB＝β，∠FGM＝n∠MGC，直接写出∠GMN的度数（用含α，β，n的代数式表示）
2．已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．
（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．试判断EF与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；
（3）如图②，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．
3．完成下面的证明：如图AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF＝90°．
证明：∵HG∥AB，（已知）　
∴∠1＝∠3．　（　
　　）
∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4．　　（　
　）
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD＝180°（　
　）
∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1＝∠BEF（　
　）
∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2＝∠EFD（　
　）
∴∠1+∠2＝?（　
　+　
　）．
∴∠1+∠2＝90°．
∴∠3+∠4＝90°（　
　）．
即∠EGF＝90°．
4．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
5．如图，EF∥AD，∠1＝∠2．说明：∠DGA+∠BAC＝180°．请将说明过程填写完成．
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2＝　
　．（　
　）
又∵∠1＝∠2，（　
　）
∴∠1＝∠3，（　
　）
∴AB∥　
　，（　
　）
∴∠DGA+∠BAC＝180°．（　
　）
6．（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EF∥AB．
∴∠A＝∠1
（　
　）
∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（辅助线作法）
∴CD∥EF（　
　）
∴∠2＝∠DCE
（　
　）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE
（　
　）
（2）【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）【应用】如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为　
　．（请直接写出答案）
7．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（　
　），
∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（　
　），
∴　
　∥　
　（　
　），
∴∠3+∠4＝180°（　
　）
8．如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试说明AD∥BC．完成推理过程：
∵AB∥DC（已知）
∴∠1＝∠CFE（　
　）
∵AE平分∠BAD（已知）
∴∠1＝∠2
（角平分线的定义）
∵∠CFE＝∠E（已知）
∴∠2＝　
　（等量代换）
∴AD∥BC
（　
　）
9．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
10．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求的值；
（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．
参考答案
1．解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠C，
∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠FGC+∠FGB＝180°，∠EDC＝∠FGC，
∴∠ADE＝∠FGB，
∴∠ADE＝∠C，
∴DE∥BC；
（2）∵∠A＝60°，∠C＝55°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣55°＝65°，
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠C＝55°，
∵∠FGM＝4∠MGC，
∴∠FGM+∠MGC+∠FGB＝5∠MGC+55°＝180°，
∴∠MGN＝25°，
∵MN∥AB，
∴∠MNC＝∠B＝65°，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，
∴∠GMN＝∠MNC﹣∠MGN＝65°﹣25°＝40°；
（3）①如图②所示：
∵∠A＝α，∠ACB＝β，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠C＝β，
∵∠FGM＝n∠MGC，
∴∠FGM+∠MGC+∠FGB＝（n+1）∠MGC+β＝180°，
∴∠MGN＝，
∵MN∥AB，
∴∠MNC＝∠B＝180°﹣α﹣β，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，
∴∠GMN＝∠MNC﹣∠MGN＝180°﹣α﹣β﹣＝（180°﹣β）﹣α．
②如图③所示：
设∠MGN＝x，
则∠GMN＝∠GMA+∠NMC＝α+180°﹣nx，
∵（n﹣1）x+β＝180°，
∴x＝，
∴∠GMN＝α+180°﹣nx＝α+180°﹣n＝α+．
2．解：（1）EF∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，
∴∠AEF＝∠MAE，又∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，
∴∠AEG＝60°，
∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝60°，
∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°，
∴∠NCE＝∠CEF，∴EF∥CD．
故EF与CD的位置关系是EF∥CD．
（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，
∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°，
∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°，
∴∠AEG＝70°，
∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝70°，∴∠FEC＝100°，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠NCE+∠FEC＝180°∴∠NCE＝80°．
答：∠NCE的度数为80°．
（3）∠MAE＝2∠FEG+∠NCE时，AB∥CD．理由如下：
由（2）可知：∠AEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG，∠FEC＝∠FEG+∠NCE，
∠AEG＝∠FEC，∠FEC+∠NCE＝180°
∴（180°﹣∠MAE+∠FEG）+（∠FEG+∠NCE）＝180°，
整理得：∠MAE＝2∠FEG+∠NCE．
故当∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足关系：∠MAE＝2∠FEG+∠NCE时，AB∥CD．
3．证明：∵HG∥AB，（已知）　
∴∠1＝∠3．　（
两直线平行、内错角相等）
∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4．　　（两直线平行、内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行、同旁内角互补）
∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1＝∠BEF（角平分线的定义）
∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2＝∠EFD（角平分线的定义）
∴∠1+∠2＝?（∠BEF+∠EFD）．
∴∠1+∠2＝90°．
∴∠3+∠4＝90°（
等量代换）．
即∠EGF＝90°．
故答案为：两直线平行、内错角相等；两直线平行、内错角相等；两直线平行、同旁内角互补，角平分线的定义；角平分线的定义；∠BEF；，∠EFD；等量代换．
4．解：（1）①∠AED＝70°；
②∠AED＝80°；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC，
证明：延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB＝∠EFD，
∵∠AED为△EDF的外角，
∴∠AED＝∠EDF+∠EFD＝∠EAB+∠EDC；
（2）根据题意得：
点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
5．解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3，（等量代换）
∴AB∥DG，（内错角相等，两直线平行）
∴∠DGA+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
6．（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
7．解：∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）．
8．证明：∵AB∥DC（已知）
∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）
∵AE平分∠BAD（已知）
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵∠CFE＝∠E（已知）
∴∠2＝∠E（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．
9．（1）证明：∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
10．解：（1）如图1，延长BE交CD于点C，则∠BED＝∠C+∠EDC．
∵∠BED＝∠ABE+∠EDC，
∴∠ABE＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）由（1）可知，AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠BED＝（∠ABD+∠BDC）＝90°，
由∠ABE＝3∠ABF，设∠ABF＝α，则∠ABE＝3α
过F作FG平行于AB，如图2，
则有∠ABF+∠CDF＝∠F，
∴∠CDF＝30°﹣α
过E作EH平行于AB，则有∠ABE+∠CDE＝∠BED，
∴∠CDE＝90°﹣3α，∴∠FDE＝60°﹣2α
∴＝＝；
（3）当点H在点D的左侧时，如图3所示，∠BHD＝2∠EBI．
理由如下：
∵AB∥CD
∴∠ABH＝∠BHD，
∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，
∴∠ABE＝∠EBD，∠HBI＝∠IBD
∵∠ABH＝∠ABE+∠EBH＝∠EBD+∠EBH＝2（∠EBH+∠HBI），
∴∠BHD＝2∠EBI．
当点H在点D的右侧时，如图4所示，∠EBI＝90°﹣∠BHD．
理由如下：
∵AB∥CD
∴∠GBH＝∠BHD，
∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，
∴∠ABE＝∠EBD，∠HBI＝∠IBD
∵∠EBI＝∠EBD+∠DBI＝∠ABD+∠DBH＝∠ABH＝（180°﹣∠HBG）
∴∠EBI＝90°﹣∠BHD．