28.3.1与圆有关的计算问题
◆随堂检测
1．把一只折扇展开成一个扇形，它的圆心角为120°，半径为6，则这个扇形的弧长为 ．
2．朝阳市第三中学要修建一个圆心角为60°，半径为12米的扇形投掷场地，则该扇形场地的面积约为 米2． (取3．14，结果精确到0．1米2 )
3．如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送4cm至B时，那么这个转动轮转了_____________度．(取3．14，结果保留四个有效数字)
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，若AC=6，则的长为 ．
5. 已知一个扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为 ( )
A． B． C． D．
◆典例分析
如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若⊙O半径为3，PA=，求的长.
分析：根据弧长公式，须知所对的圆心角∠AOB的度数.
解：连接OA
∵PA切⊙O于点A ∴OA⊥PA
∴在Rt△APO中，tan∠AOP=
∴∠AOP=600 ∴
◆课下作业
●拓展提高
1.如图，三个皮带轮的半径都是1，圆心距AC=3，BC=3．AB=6，则皮带的总长度为 ．
2．如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形．点C、E、D分别在OA、OB、上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F．如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为 ．
3．一条弧长等于，它的半径等于R，若这条弧所对的圆心角增加，则它的弧长增加( )
A． B． C． D．
4．如图，OA、OB、OC两两不相交，且半径都是2 cm，则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和为 ( )
A．cm2 B． cm2 C． cm2 D．2 cm2
5．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF……叫做“正三角形的渐开线”，其中、、
……的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连结．若AB=1，那么曲线CDEF的长是 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，直线经过点M(1，)和点N(，3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积．
7．如图．在Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点F．
(1)求证：△AOC≌△AOD；
(2)若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．
●体验中考
1. （2009年长沙）如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ）
A． B． C． D．
2. （2009湖北荆州年）如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
3. (2009年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ．
4. (2009年咸宁市)为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条、夹角为，的长为，贴布部分的长为，则贴布部分的面积约为____________．（取3）
参考答案：
◆随堂检测
1. 4（提示：）
2. 75.4
3. 360 （提示：设转了n度，则4 =）
4. （提示：连接CD ∵∠B=250 ∴∠A=650 ∴∠ACD=1800-650×2=500 ∴）
5. B
◆课下作业
●拓展提高
1. 9+
2. （提示：S阴=S矩形ACDF ，⊙O半径=OD=，CA=, ∴S矩形ACDF =）
3. B
4. D（提示：阴影部分的面积为半圆的面积，∠A+∠B+∠C=1800）
5. B（提示：三条弧的半径一次是：1、2、3 ，）
6. 解：把代入 得： 令
∴B 令得 ∴
∴
∴
过点C作CD⊥OB，连接OC，由垂径定理可知：OD=1，∴sin∠CBD= ∴∠CBD=300
∵BC=OC ∴∠BOC=300 ∴∠BCO=1200 ∴S扇=
∵S△OBC= ∴S阴=
7.（1）证明：∵D是切点 ∴OD⊥AB ∴△OAD是Rt△
∴在Rt△OAD和Rt△OAC :OD=OC,AO=AO ∴△AOD≌△AOC
(2) ∵在Rt△OBD中，OD=
设半径为r，则有： ∴
∵AD、AC是⊙O的切线 ∴AD=AC 令AD=AC=x 则有：
∴S△ABC= S半圆=
●体验中考
1. B
2. C (提示：连接OP)
3. 6（提示：）
4. 800
P
O
B
A28.1.1圆的基本元素
◆随堂检测
1. 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有( )
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
2. 如图，在⊙O中，点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. 如图，A、B、C、D、E为⊙O上的点，且有∠AOE =80o，===，
则∠AOB =_______．
4. 如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60o，那么与线段OA相等的线段有_________条。
◆典例分析
如图，AB是⊙O的弦，延长AB至点C，使BC等于⊙O的半径．连结CO并延长交⊙O于点D，∠ACD=25o，试求的度数。
分析：注意到“BC等于⊙O的半径”，连接OB，得是等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质可求得∠AOD的度数。
点评：解决本题只要抓住角的转化，就可以很容易解决，在这里反复用到了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质
◆课下作业
●拓展提高
1. 下面的四个判断中，叙述正确的是 ( )
A．过圆内一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦
B．过圆内一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦
C．过国内一点的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦
D．过圆内一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦
2. 如图，AB、CD为同圆中的两条弦，若，则下列结论错误的是 ( )
A．的长为的长的2倍
B．∠AOB=2∠COD
C．AB=2CD
D．AB<2CD
3.如图.在△ABC中，∠ACB=90 o，=700，以点C为圆心、CA为半径的圆交AB于点D，则∠B=_____．
4. 如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，则弧长与的大小关系是___________．
5．如图，AD=BC，AB=5 cm，求CD的长．
6. 如图，AB是⊙O的弦．半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF,CE与DF有什么大小关系 说明理由．
7. 如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗 为什么
●体验中考
1. （2009年长沙）如图，是的直径，是上一点，，则的度数为 ．
2. (2009年南充)如图，AB是的直径，点C、D在上，，
，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3.（2009年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．
点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
参考答案：
◆随堂检测
1、C（提示：②错误）
2、B（提示：AB、BC、CD弦）
3、400（提示：由===得∠AOE=∠DOE=∠COD=∠BOC=800）
4、6条（提示：由∠COA=∠DOB=60o得△OCD是正三角形，由此推出△OCA、△OBD是正三角形）
◆课下作业
●拓展提高
1、C
2、C（提示：AB<2CD）
3、350（提示：连接CD）
4、相等（提示：可证得，则有，=）
5、
6、
7、
●体验中考
1、220
2、D
3、
第4题
第3题
第2题
第3题
第4题
C
B
A
O28.2.3与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知直线与⊙O相离，如果⊙O的半径为R，点O到直线的距离为d，那么 ( )
A．d>R B．d3．已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
4. 已知⊙O的半径为5 cm，点O到直线的距离为d，
当d=4 cm时，直线与⊙O___________；
当d=___________时，直线与⊙O相切；
当d=6 cm时，直线与⊙O___________．
5. 已知∠AOB=30o，C是射线OB上的一点，且OC=4，若以点C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．
◆典例分析
在中,
（1）r=4cm； （2）r=4.8cm； （3）r=8cm
分析:如图,
要判定
解：由题意得：
由勾股定理得：
（1）当r=4cm时，4<4.8 ∴直线AB与圆C相离；
（2）当r=4.8cm时， 4.8=4.8 ∴直线AB与圆C相切；
（3）当r=6cm时，8>4.8 ∴直线AB与圆C相交.
◆课下作业
●拓展提高
1. 在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包括端点)，以点P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
2．如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y= 一x+与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情形都有可能
3．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
4. 如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m，0)，半径为2．如果⊙M与y轴所在的直线相切，那么m=_________；如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是________________________．
5. 如图，直线l1与l2垂直，垂足为点O，AM⊥，，AN⊥，垂足分别为点M、N，AM=4，AN==3，以点A为圆心，R为半径作⊙A，根据下列条件，确定R的取值范围：
(1)若⊙A与两直线没有公共点，则R的取值范围为__________________；
(2)若⊙A与两直线共有一个公共点，则R的取值范围为____________________；
(3)若⊙A与两直线共有两个公共点，则R的取值范围为____________________；
(4)若⊙A的两直线共有三个公共点，则R的取值范围为____________________；
(5)若⊙A与两直线共有四个公共点，则R的取值范围为____________________．
6. 如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线⊥OC，垂足为点H，且交⊙O于A、B两点，AB=8 cm，则沿OC所在直线向下平移________ cm时与⊙O相切．
7. 在一个圆形的水库附近有B、C两个村庄，如图所示，现要在B、C两村庄之间修一条长2 km的笔直公路将两村连通，经测量得点A是圆心，水库的半径3 km，∠ABC=45。，∠ACB=30。．问：此水库是否会妨碍公路的建设 请说明理由．
●体验中考
1. （2009年清远）已知的半径，圆心到直线的距离为，当时，直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
2. (2009年南充)中，，以点B为圆心、6cm为半径作，则边AC所在的直线与的位置关系是 ．
参考答案：
◆随堂检测
1. A (提示：3<4)
2. A
3. D
4. 相交，5，相离 （提示：dr相离）
5. （提示：过点C作CD⊥AB）
◆课下作业
●拓展提高
1. B （提示：利用正方形和圆的对称性）
2. C （提示：对于函数，分别令：求出其与y轴、x轴的交点）
3. B （提示：OA=5，故⊙A过原点，而直线也过原点，所以相切）
4. （提示：点（m，0）可以在x轴正半轴、负半轴、原点处）
5. (1)04且R≠5
6. 2 （提示：连接AO，可知OH=）
7. 过A作AD⊥BC，垂足为点D，设AD=x km，则 BD=xkm，CD=x km，由BC=2，得x+x=2，解得x=一1<3．所以此公路会穿过森林公园．
●体验中考
1. B
2. 相切（提示：由勾股定理可知：是直角三角形，∴点B到AC的距离=6，∴相切）28.2.4与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1．给出下列说法：
①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
③过半径的外端的直线是圆的切线；
④垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 己知⊙O半经为1，圆心O与直线的距离为d，且方程x－2x＋d＝0没有实根，则直线与⊙O的位置关系是_______________________
3. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，试说明直线AB是⊙O的切线．
4. 如图，⊙O的半径为6 cm，OD⊥AB，垂足为点D，∠AOD=∠B，AD=12 cm，BD=3 cm．求证：AB是⊙O的切线．
◆典例分析
如图，梯形ABCD中，∠A=∠B=900，A D∥BC，DC=AD+BC．以DC为直径作⊙O．
求证：直线AB与⊙O相切．
分析：过O作OE⊥AB于E，证明OE的长度等于⊙O的半径．
证明：
过O作OE⊥AB于E
∵∠A=∠B=900 ∴AD⊥AB，CB⊥AB
∵OE⊥AB ∴AD∥OE∥CB
∵OC=OD ∴ OE是梯形ABCD的中位线
∴OE= ∵CD= AD+BC
∴OE= ∴OE=OC=OD
∴直线AB与⊙O相切．
◆课下作业
●拓展提高
1. 如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OC=CB．
求证：AB是⊙O的切线．
2．如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin∠B=，∠D= 30O
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AC=6，求AD的长．
3．如图，在等腰三角形ABC中，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于点P，PE⊥AC，垂足为点E，试说明PE是⊙O的切线．
4．(1)如图(1)，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A；
(2)如图(2)，△ABC内接于⊙O，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗，为什么
5．如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
●体验中考
1.（2009年黑龙江佳木斯）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于
E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ）
①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=AC ④DE是⊙O的切线
A．1 个 B．2个
C．3 个 D．4个
2. (2009年本溪)如图所示，AB是直径，弦于点，
且交 于点，若．
（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；
（2）当时，求的长．
参考答案：
◆随堂检测
1. B（提示：③④错误）
2. 相离（提示：由方程无解可知，，）
3. 证明：连接OC，∵OA=OB，AC=BC ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
4. 证明：∵OD⊥AB ∴△OAD与△OBD是Rt△，又∠AOB=∠B，∴△OAD∽△OBD，
∴ ∴OD=6，∴OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线
◆课下作业
●拓展提高
1. 证明：连接OA，∵在△AOB中，OC=BC ∴AC是△OAB的中线 ∵AC= ∴△AOB是直角三角形∴∠OAB=900 ∴OA⊥AB ∴AB是⊙O的切线
2. (1)证明：连接OA，∵ ∴∠AOC=2∠B 又
∴∠B=300 ∴∠AOC= 又∠D=300 ∴∠OAD=900,即OA⊥AD ∴AD是⊙O的切线
(2)在△ACO中，∵OC=OA，∠AOC=600 ∴△ACO是Rt△ ∴OA=AD=6
在Rt△OAD中，∠D=300 ∴AD=
3. 证明：连接AP，OP ∵直径AP ∴∠APB=900 ，即AP⊥BC
∵AB=AC ∴BP=PC 而AO=BO
∴OP是△ABC的中位线 ∴OP∥AC ∴∠OPE+∠PEA=1800
∵PE⊥AC ∴∠PEA=900
∴OP⊥PE ∴PE是⊙O的切线
4. （1）证明：∵直径AB ∴∠C=900 ∴∠BAC+∠B =900 又∠B=∠CAE
∴∠BAC+∠CAE=900 即∠BAE=900 ∴AB⊥AE ∴AE与⊙O相切于A
（2）证明：AE与⊙O相切于A 连接AO，延长AO交⊙O于F，连接CF
∵ ∴∠F=∠B ∵直径AF ∴∠ACF=900
∴∠CAF+∠F=900 ∴∠CAF+∠B=900 ∴∠CAE=∠B
∴∠CAF+∠CAE=900 即∠EAF=900 ∴AF⊥AE ∴AE与⊙O相切于A
5. （1）证明：连结，如图．
平分， ． ，
， ，
． ，
， 是的切线．
（2）设是的半径，
在中， 即． 解得．
， ， ． 即．
解得． = ．
●体验中考
1. D （提示：∵直径AB ∴∠ADB=900 ∴AD⊥BC，即可以解决问题）
2. （1）直线和相切．
证明：
∵，， ∴．
∵， ∴．
∴．即．∴直线和相切．
（2）连接．
∵AB是直径， ∴．
在中，， ∴．
∵直径， ∴．
由（1），和相切， ∴． ∴．
由（1）得， ∴． ∴．∴，解得．28.2.5与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1.圆的切线________________经过______________的半径．
2.如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35o，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P=_____.
3．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB=100o，则∠BTD的度数为 _______.
4．如图，AB与⊙O相切于点B，AO=6 cm，AB=4 cm，则⊙O的半径为 ( )
A．4 cm B．2 cm
C．2cm D．cm
5．如图．直线AB切⊙O于点C，∠OAC=∠OBC，则下列结论中，错误的是 ( )
A．OC是△ABO中边AB上的高
B．OC所在直线是△ABO的对称轴
C．OC是∠AOB的平分线
D．AC>BC
◆典例分析
已知：如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，EF是切线，E是切点，
AF⊥EF．求证：AE平分∠FAB.
分析：由条件E点是切点，通常连接圆心O与切点E，
由切线的性质，不难得到∠1=∠3，再由∠2=∠3，通过
等量代换得到结论.
解：连接OE ∵EF是切线
∴OE⊥EF ∵AF⊥EF
∴OE∥AF ∴∠1=∠3 ∵AO=OE
∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2
∴AE平分∠FAB.
◆课下作业
●拓展提高
1. 如图，AB是⊙O的直径，AM为弦，∠MAB=30o，过点M的⊙O的切线交AB延长线于点N．若ON=12 cm，则⊙O的半径为_____________cm．
2. 如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则∠ABD的度数为________________．
3. 如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于( )．
A． B． C． D．
4. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
5. 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D．
(1)求证：AT平分∠BAC；
(2)若AＣ=2，TC=，求⊙O的半径．
6. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AD=2，AC=，求AB的长．
7. 如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，BD是⊙O的切线，B为切点．
(1)在图(1)中，∠BAC=30o，求∠DBC的度数；
(2)在图(2)中，∠BA1C=40o，求∠DBC的度数；
(3)在图(3)中，∠BA2C=a，求∠DBC的度数；
(4)通过(1)、(2)、(3)的探究你发现了什么 用你自己的语言叙述你的发现．
●体验中考
1.（2009年山西省）如图，是的直径，是的切线，点在上，
，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2. （2009年襄樊市）如图，是的直径，点在的延长线上，切于若则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，，为上的点，且，圆与相切，则圆的半径为 ．
4.（2009年娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3cm，PB=4cm，则BC= .
参考答案：
◆随堂检测
1. 垂直于，切点
2. 200 （提示：∵AO=CO ∴∠A=∠ACO=350 ∴∠COP=700 ∵PC切⊙O于C ∴OP⊥PC
∴∠OCP=900 ∴∠P=200）
3. 800 （提示：连接TO，延长TO交⊙O于E，连接BE，由员内接四边形ATEB可得：
∠E=∠1800-∠A=800 ∵直径AE ∴∠TBE=900 ∴∠BTE=100 ∵T是切点 ∴OT⊥DC
∴∠DTO=900， ∴∠BTD=900-100=800）
4. B （提示：连接OB，则有OB⊥AB，由勾股定理可知：OB=）
5. D
◆课下作业
●拓展提高
1. 6（提示：连接OM，则有OM⊥MN，∵OM=OA ∴∠OMA=∠A=300 ∴∠MON=600
∴∠N=300 ∴OM=）
2. 450 (提示：∵直径AB ∴∠ADB=900 ∴BD⊥AC ∵AD=DC ∴AB=BC ∵B是切点
∴AB⊥BC ∴∠ABC=900 ∴∠A=450 ∵∠ADB=900 ∴∠ABD=450）
3. B（提示：连接OA，则OA⊥AP ∴在Rt△APO中，OA=3 ∴sin∠APO=）
4. 证明：连接OD
∵OC∥AD ∴∠ADO=∠DOC ∠A=∠COB ∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∴∠DOC=∠BOC
∵在△OCD和△OCB中 OD=OB,∠DOC=∠BOC,OC=OC ∴△OCD≌△OCB
∴∠ODC=∠OBC
∵BC切⊙O于B ∴OB⊥OC ∴∠OBC=900 ∴∠ODC=900 ∴OD⊥CD
∴DC是⊙O的切线
5. （1）证明：连接OT ∵PQ是⊙O的切线 ∴OT⊥PQ ∵AC⊥PQ ∴OT∥AC ∵∠OTA=∠TAC ∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA ∴∠OAT=∠TAC ∴AT平分∠BAC
（2）连接BT ∵AC⊥PQ ∴∠ACT=900 ∴AT=
∵直径AB ∴∠ATB=900
∵∠OAT=∠TAC ∴cos∠OAT= cos∠TAC ∴ 即
∴
6. (1)证明：连结BC．
∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．
∴∠ADC=∠ACB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．
(2)解：∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB．
∴
∴AC2=AD·AB.
∵AD=2，AC=,∴AB=.
7.
（4）切线和弦的夹角等于它们所夹的弧所对的圆周角
●体验中考
1. B （提示：∵直径AB ∴∠C=900 ∵AD是⊙O的切线 ∴OA⊥AD 即∠OAD=900
∴∠C=∠OAD ∵OD∥BC ∴∠B=∠DOA ∴△ABC∽△DOA
∴ ∴）
2. A （提示：连接OC ∵DC切⊙O于C ∴OC⊥DC ∴∠OCD=900 ∵OA=OC
∴∠A=∠OCA=250 ∴∠COD=500 ∴∠D=400）
3. 3
4. 2.4 （提示：∵PB是⊙O的切线 ∴AB⊥BP ∴∠ABP=900
∴由勾股定理得：AP= ∵直径AB ∴∠ACB=900
∴BC⊥AP ∴ ∴BC=2.4）
(第6题)示ishi _________28.1.2圆的对称性
◆随堂检测
1. 下列说法中，不成立的是 ( )
A．弦的垂直平分线必过圆心
B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦
C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧
D．垂直于弦的直径平分这条弦
2. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，
则图中不大于半圆的相等的弧有 ( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为( )
A．2 B． 3 C．4 D． 5
4.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若AP：PB=1：4，CD=8，则AB=_________．
5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠CAD=80o，则∠OCE=_________．
◆典例分析
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．
∵OE⊥AB，∴AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
∵⊙O的半径为5cm．
点评：从例中可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．
◆课下作业
●拓展提高
1. 下列四个命题中，叙述正确的是 ( )
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分一条弦的直线必经过这个圆的圆心
2. 如图，⊙O的半径为4 cm，点C是的中点，半径OC交弦AB于点D，OD=cm，则弦AB的长为( )．
A．2 cm B．3 cm
C．2cm D．4 cm
3. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，那么下列结论错误的是( )
A．CE=DE B．
C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD为2
4. 若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约cm的小坑，则该铅球的直径约为( )
A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm
5. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于C，则OC的长等于_______．
6．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=1 cm，EB=5 cm，∠DEB=60o，求CD的长．
7.已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
●体验中考
1. （2009年娄底）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是 ( )
A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C． D．OD=DE
2. （2009年恩施市）如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（ ）
A． B． C． D．
3. （2009年甘肃庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4. （2009年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m．
参考答案：
◆随堂检测
1、C
2、B
3、A（提示：连接OC，利用勾股定理求解）
4、10（提示：连接OC，设AP=k，BP=4k，则半径为2.5k，OP=1.5k，由垂径定理知CP=4，
有勾股定理知k=2，AB=5k=10）
5、100(提示:垂径定理得AC=AD)
◆课下作业
●拓展提高
1、C
2、D（提示：连接OA，由勾股定理知AD=2，则AB=4）
3、D（提示：垂径定理）
4、8（提示：过O点做OD垂直AB于D，连接OA，有OD=3，OA=5，AD=4，所以AB=8）
5、3（提示：连接OA）
6、
7、
●体验中考
1、D
2、A
3、A（提示：）
4、4（提示：）28.2.6与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1.下列说法中，不正确的是 ( )
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
2．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，
则∠A的度为________．
4．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．
5．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．
◆典例分析
如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形.
试说明理由.
分析：（1）首先由切线的性质得DA⊥AB，CB⊥AB，从而DA∥CB，再由切线长定理得DO平分∠ADC，CO平分∠BCD，就可得出结论。
(2)切线长定理可得DA=DE，DO平分∠ADC再通过等腰三角形的三线合一得DO⊥AE，同理CO⊥BE，结合CO⊥DO就可以得到结论.
解：（1）∵AD、BC为⊙O的切线 ∴DA⊥AB，CB⊥AB ∴∠ADC+∠DCB=1800
∵AD、BC为⊙O的切线 ∴DO平分∠ADC，CO平分∠BCD
∴∠ODC=∠ADC，∠DC0=∠BCD
∴∠ADC+∠BCD=900 ∴∠DOC=900 即CO⊥DO
（2）∵AD、BC为⊙O的切线 ∴AD=DE 又∵DO平分∠ADC
∴DO⊥AE 同理CO⊥BE
∵CO⊥DO ∴∠OFE=∠OGE=∠FOG=900 ∴四边形OFEG是矩形.
◆课下作业
●拓展提高
1. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )
A．21 B．20 C．19 D．18
2. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，
则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( )
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
4. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
5. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．
6. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
7. 如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
●体验中考
1.（2009年安徽）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
2.（2009年绵阳）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =( )
A．50 cm B．25cm
C．cm D．50cm
3. (2009年甘肃定西)如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．
4. （2009年湖南怀化）如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则__ ___度．
参考答案：
◆随堂检测
1. C
2. B (提示：②④错误)
3. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D、F是切点 ∴DI⊥AB,IF⊥AC
∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760）
4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)
5. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650
∴∠BOC=1800-650=1150)
◆课下作业
●拓展提高
1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=8）
2. C
3. D
4. 解：∵AD,AE切于⊙O于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF切于⊙O于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE
∴C△ABC=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40
5. 解：连接BC ∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC是正三角形 ∵∠PAB=600
∵PA是⊙O切线 ∴CA⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900
∴cos300= ∴AB=
6. 解：（1）∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°
∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°
∵PA、PB是⊙O的切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB．即∠OAP＝∠OBP＝90°
∴在四边形OAPB中，
∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°．
（2）如图①，连结OP
∵PA、PB是⊙O的切线
∴PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°
又∵在Rt△OAP中，OA＝3， ∠APO＝30°
∴AP＝＝3．
7. 解：（1）连接OD ∴OD⊥AC
∴△ODA是Rt△
设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r2=16
解之得：r=3 ∴BE=6
(2) ∵∠ABC=900 ∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D ∴CB=CD 令CB=x
∴AC=x+4，BC=4，AB=x，AB=8 ∵ ∴
∴S△ABC=
●体验中考
1. C
2. A（提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）
3. （提示：连接OB，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos∠AOB=cos∠=）
4. ∠P=60028.1.3圆周角
◆随堂检测
1．如图，图中圆周角的个数是 ( )
A．9 B．12 C．8 D． 14
2．如图，圆∠BOC=100 o，则圆周角∠BAC为 ( )
A．100 o B．130 o C．50 o D．80o
3．如图，AB为⊙O的直径，点C在QO上，∠B=50 o，则∠A等于 ( )
A．80 o B．60 o C．50 o D．40 o
4. 如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25 o，
则∠ACB的大小为___________.
5. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D．
则BD的长为___________.
◆典例分析
如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
分析：所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直角三角形的直角边问题，由于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形，又因为CD平分∠ACB，所以可得 = ，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．
解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴ = ．
在等腰直角三角形ADB中，
点评：利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形解题。
◆课下作业
●拓展提高
1.如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．
2.如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50 o．则∠ADC=_______．
3. 如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30 o，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是 ( )
A．150 o B．120 o C．100 o D．90 o
4．如图, ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30o，则∠CAD等于( )
A．30 o B．40 o
C．50 o D． 60 o
5．如图，∠APC=∠CPB=60 o，请推测△ABC是什么三角形，并证明猜想的正确性．
6. 如图，AD是 ABC的高，AE是 ABC的外接圆的直径．试说明AB·AC=AE·AD．
7. 如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=∠BOC, ∠BAC=45 o，求∠ACB的度数．
8. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D(AD(1)试说明AC2=AG·AF；
(2)若点E是AD(点A、D除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立 若成立．请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由．
●体验中考
1. (2009年温州)如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧所对圆周角∠ACB的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．80°
2. （2009年凉山州）如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
3. （2009年山西省）如图所示，、、、是圆上的点，
则 度．
4. (2009宁夏)已知：如图，为的直径，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：．
参考答案：
◆随堂检测
1.B（提示：利用弧来找圆周角）
2.C（提示）
3.D（提示：）
4. 650（提示：）
5.
◆课下作业
●拓展提高
1. 500 （提示：）
2. 400 (提示：连接BC，)
3. B（提示：连接BC，）
4.D
5.
6.
7.
8.（1）证明：
●体验中考
1. A（提示：）
2. A
3. 300（提示：）
4.
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第1题
第2题
第3题28.2.2与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1.三角形的外心是________________________________________________________.
2．给出下列说法：①经过三点一定可以作圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有 ( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
3．下列说法中，正确的是 ( )
A．到圆心的距离大于半径的点在圆外
B．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，一定在三角形的内部
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，过四点不可能作一个圆
D．过A、B两点的圆的圆心与点A、B在同一条直线上
4. 钝角三角形的外心在 ( )
A．三角形的内部
B．三角形的外部
C．三角形的钝角所对的边上
D．以上都有可能
◆典例分析
如图所示的是一个残缺的圆形工件，请利用圆规作图，将残缺部分补齐．
分析：可以在弧AB上任取一个点C，得到一个三角形△ABC，
分别作两边BC、AC的垂直平分线，它们的交点为圆形工件的圆心。
解：(1)在弧AB上取一点C，连接AC、BC，
（2）分别作线段AC、CB的垂直平分线，交点为O，
（3）以O为圆心，OB为半径作圆
所以⊙O就是所求作的圆。
◆课下作业
●拓展提高
1. 下列说法中，正确的是 ( )
A．过一点不能作圆．
B．过两点不能作圆
C．三点确定一个圆
D一个圆的圆心确定这个圆的位置，这个圆的半径确定这个圆的大小
2. 在下列三角形中，外心在它的一条边上的三角形是 ( )
A．三角形的边长分别为4 cm，6 cm，8 cm
B．三角形的边长都等于6 cm
C．三角形的边长分别为3 cm，3 cm，4 cm
D．三角形的边长分别为6 cm，8 cm，10 cm
3. 列命题中，假命题的个数是 ( )
①三角形只有一个外接圆；
②等边三角形的外心也是它的三条中线、高线、角平分线的交点；
③圆有无数个内接三角形；
④三角形的外心一定在三角形的外部．
A．0 B．l
C．2 D．3
4. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=l00o，则∠DCE的度数为______________.
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是边BC上的高．若BD=8，CD=3，AD=6，求⊙O的面积．
6. 如图，已知AB=AC=AD，且BAC=n0，求∠BDC的度数．
7. 如图．△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高．AE是⊙O的直径，连结BE，△ABE与△ADC相似吗 请证明你的结论．
●体验中考
1. （2009年威海）已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙的半径为（ ）
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
2. （2009年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点，已知点的坐标是，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．
3. （2009年广东省）（1）如图1，圆内接中，.为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．
（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．
参考答案：
◆随堂检测
1. 三边中垂线的交点
2. C（提示：②④正确）
3. A
4. B
◆课下作业
●拓展提高
1. D (提示：不在同一条直线上的三点确定一个圆，C错)
2. D（直角三角形的外心在斜边中点）
3. B（提示：④错误）
4. 500 （提示：∠A=∠BOD=500，由圆内接四边形的性质：∠DCE=∠A=500）
5. 解：连接AO，延长交⊙O于E，连接BE，可得：△ABE∽△ADC,
∴ 即AE=
在Rt△ADC中，由勾股定理得： ∴
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB= ∴S⊙O=
6. 解：∵AB=AC=AD ∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上
∴∠BDC=∠BAC=nO
7. 证明：△ABE∽△ADC
∵直径AE ∴∠ABE=900 ∵AD⊥BC ∴∠ADC=900 ∴∠ABE=∠ADC
∵ ∴∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC
●体验中考
1. C (提示：连接OA交BC于D，连接OB ， 由垂径定理知：AD=4 ， 设OB=OD=r，
则有：r2=32+（r-4）2)
2. （-1，-1）
C
E
D
B
O
F
G
A
图1
D
B
O
C
E
A
图228.2.1点与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1、已知⊙O的半径为5 cm，A为线段OP的中点，其中OP=6 cm，则点P在⊙O__________，点A在⊙O___________．
2、以2 cm为半径可以画__________个圆，以点O为圆心可以画_________个圆，以点O为圆心，2 cm为半径可以画____________圆．
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90。，AC=3，BC=4，CD ⊥ AB，垂足为点D，以点C为圆心，3为半径画圆，则A、B、D三点中在圆外的是______，在圆内的是_______，在圆上的是_________．
4、若⊙O的面积为25cm2，圆心O在坐标原点，点P的坐标为(2，4)，则 ( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O上或⊙O外 D．点P在⊙O外
5、 已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离是方程x2一5x一6=0的根，则点P与⊙O的位置关系是 ( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
◆典例分析
分析：应算出点D与圆心C的距离，然后再比较A、D、C三点与圆心C的距离和的大小.
解：
◆课下作业
●拓展提高
1、如图，已知⊙O的直径为6，且P是⊙O内部的一点，那么线段OP的长的取值范围是___________
2、已知⊙O的周长为12，若点P到点O的距离为5，则点P在⊙O__________，若点P到点O的距离为6．5，则点P在⊙O______________．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90。，AC=2 cm，BC=4 cm，CD是中线，以点C为圆心，以cm为半径画圆，则A、B、D三点与圆C的位置关系叙述不正确的是 ( )
A．点B在⊙O外 B．点A在⊙O内
C．点D在⊙O外 D．点D在⊙O上
4、如图，在△ABC中，∠C=90o。，AC=BC=4 cm，D是AB的中点，以点C为圆心、4 cm长为半径作圆，则A、B、D三点中，在圆内的有 ( )
A．0个 B． 3个
C．2个 D．1个
5、已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4．
(1)以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何
(2)若以点A为圆心作⊙A．使B、C、D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么
6、 如图，点P的坐标为(4，0 )，⊙P的半径为5．且⊙P与x轴交于点A、B．与y轴交于点C、D，试求出点A、B、C、D的坐标．
7、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．
（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；
（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.
●体验中考
1. （2009年贵州省黔东南州）如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是_____________。
参考答案：
◆随堂检测
1. 圆外，圆内（提示：OP>5,OA=3<5）
2. 无数个, 无数个, 1个
3. B , D, A（提示：）
4. A（提示：由面积为25可得半径为5，又P（2，4），所以OP=，）
5. B（提示：解方程）
◆课下作业
●拓展提高
1.
2. 在圆内，在圆外
3. C（提示：由勾股定理知：AB=，）
4. D（提示：由勾股定理知：AB=，则连接CD，得CD=<4，我、所以在圆内）
5.
6. A(－1，0)，B(9，0)，C(0，3)，D(0，－3)
7. 解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）
⑵作AC⊥OP,C为垂足.
∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中,
,又AP=12-4=8, ∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<2
∴OP与⊙A相交.
●体验中考
1. 6（提示：如图所示，弦AB就是最短弦，连接OB，由垂径定理可知：PB=3，所以AB=6）
第3题28.2.7与圆有关的位置关系
◆随堂检测
1.两圆半径为5 cm和7 cm，圆心距为d．(1)若两圆相切，则d= ；(2)若两圆没有公共点，则d的取值范围为 ；(3)若d=3 cm，两圆的位置关系为 ；(4)若d=1 cm，两圆的位置关系为 ；(5)若d=14 cm，两圆的位置关系为 ．
2．已知两圆内切，圆心距为2 cm，其中一个圆的半径为3 cm，那么另一个圆的半径为 ．
3．圆和圆有不同的位置关系，与下图不同的圆和圆的位置关系是 ．(只填一种)
4. 如果两圆半径为3 cm和5 cm，圆心距为2 cm，那么这两个圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．⊙O和⊙O′的半径分别为R和R′，圆心OO′=5，R=3，当0和⊙O′的位置关系是 ( )
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
◆典例分析
如图，已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点A的直线交⊙O1于点C，交⊙O2于点D，过点B的直线交⊙O1于点E，交⊙O2于点F,
求证：CE∥DF.
分析：处理两个圆相交问题，常见辅助线是连接公共弦，构造圆内接四边形或构造相等的圆周角.
解：连接AB
∵四边形ABFD是圆内接四边形 ∴∠D=∠ABE
∵四边形ABEC是圆内接四边形 ∴∠C+∠∠ABE=1800
∴∠C+∠D=1800 ∴CE∥DF.
◆课下作业
●拓展提高
1. 两圆的半径分别是方程的两个根，两圆的圆心距是5，则两圆的位置关系是 ．
2．两圆半径之比为1：3，当它们外切时圆心距为12，则它们内切时圆心距为______________．
3．以O为圆心的两个同心圆的半径分别是9 cm和5 cm，⊙O′与这两个圆都相切，则⊙O′的半径是 ．
4．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，点O1坐标为(0，3)，点O2坐标为(一4，0)，则两圆 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5. 已知定圆⊙O的半径R=5 cm，动圆⊙E的半径r=2 cm．
(1)若两圆内切，则圆心E运动所得的图形是什么
(2)若两圆外切，则圆心E运动所得的图形是什么
6. 如图，已知点A的坐标为(0，3)，⊙A的半径为1，点B在轴上。
(1)若点B的坐标为(4，0)，⊙B的半径为3，试判断⊙A与⊙B的位置关系；
(2)若⊙B过点M(2，0)，且与⊙A相切，求点B的坐标．
7. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2 cm和l cm，且两圆外切．作一个半径为3 cm与⊙O1、⊙O2都相切的⊙P．试通过画图说明这样的⊙P有几个，若⊙P的半径为4 cm呢
●体验中考
1.（2009年长春）两圆的半径分别为2和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2.（2009年临沂）已知和相切，的直径为9Cm，的直径为4cm．则的长是（ ）
A．5cm或13cm B．2.5cm C．6.5cm D．2.5cm或6.5cm
3. （2009年甘肃庆阳）如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB= ．
4.（2009年重庆市江津区）如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。⊙A半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移 个单位长.
参考答案：
◆随堂检测
1. （1）2或12 （提示：内切时d=2，外切时d=12）
（2）0≤d<2或d>12 （提示：内含或外离）
（3）相交 （4）内含 （5）外离
2. 1或5 （提示：这两个圆内切或外切）
3. 外切（提示：图中有外离、相交、内含）
4. D（提示：d=5-3=2）
5. C（提示：3◆课下作业
●拓展提高
1. 相交（提示：设两个圆的半径是R、r，根据韦达定理可知R+r=4<5）
2. 6（提示：设两个圆的半径为r、3r，则有r+3r=12，r=3，3r=9，9-3=6）
3. 2或7
4. C （提示：求出两圆的圆心距=，2+3=5 ，∴外切）
5. （1）以O为圆心，3cm为半径的圆
（2）以O为圆心，7cm为半径的圆
6. (1)外离
(2)外切时．B(0，0) 内切时，B(一4，0)
7. 画图略5个6个
●体验中考
1. B
2. D（提示：∵直径分别为9cm，4cm ∴半径分别为4.5cm，2cm
∴①内切时，O1O2=2.5 ②外切时,O1O2=6.5）
600 (提示：连接OO’，O’A，由切线长定理可知：∠AOB=2∠AOO’
∵OA是⊙O的切线
∴OA⊥OA
∴在Rt△A OO’中，sin∠AOO’=
∴∠AOO’=300 ∴∠AOB=600)
4. 2或4（提示：内切或外切）28.3.2与圆有关的计算问题
◆随堂检测
1.已知在矩形木框ABCD中，AB=6 cm，BC=4 cm，如果以线段AB的中垂线为轴，把这个矩形旋转一周，所得圆柱的底面半径为 cm，侧面积为 cm2；如果以线段BC所在的直线为轴旋转一周．所得圆柱的底面半径为 cm，表面积为 cm2．
2．在Rt△ABC中．∠C=90°，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周．所得圆锥的侧面展开图的面积是 ．
3．已知一个圆锥体玩具的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 ．
4．已知圆锥的侧面积为10 cm2．底面半径为2 cm，则圆锥的母线长为 ．
5．把一个半径为8 cm的圆片，剪去一个圆心角为90°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ．
◆典例分析
如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底为地面，在其内部“掏去”一个与圆柱体等高的圆锥而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积．（结果保留）
分析：该零件的表面积包括三个部分：圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆面积．
解：S表面积=S圆锥侧面积+S圆柱侧面积+S底面积
==168
◆课下作业
●拓展提高
1．如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ．
2．用一张扇形的纸片做成一个圆锥的侧面，已知扇形纸片的半径为30 cm，圆心角为120°，那么这个圆锥的全面积是 cm2．
3．小敏要利用卡纸做一个圆锥体，要使圆锥的侧面展开图的面积是15cm2，母线长是5 cm，
则圆锥的底面半径为 ( )
A．cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
4．用一个半径长为6 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
5．如图，Rt△ABC的斜边AB=5 cm，直角边AC=4 cm
以直线AB为轴旋转一周，得到几何体的表面积为 ( )
A．22．56 cm2 B．16．8 cm2
C．9．6 cm2 D．7．2 cm2
6．如图，一个烟囱的顶部是圆锥形，这个圆锥底面周长是36 m，母线长为8 m，为防雨需要用铁皮做一个烟囱的顶部．如果按所需用料的10％计接头重合部分，那么这个烟囱实际需用铁皮的面积是多少
7．如图，把一个木质的圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高为2m，底面半径为2m．某光源位于点A处．照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m
(1)求∠B的度数；
(2)若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度．
●体验中考
1.（2009年哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ）．
A． B． C． D．
2.（2009年淄博市）如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（ ）
A．120 B．约156 C．180 D．约208
3.（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．
参考答案：
◆随堂检测
1. 3 24 6 120
2. 3（提示：圆锥的底面半径为1，母线长为3，S=πrl）
3. 12（提示：S=πrl）
4. 5 cm（提示：，）
5. 2cm （提示：设底面半径为，，，母线为8，
∴高=）
◆课下作业
●拓展提高
1. 192°（提示：扇形半径为15，设圆心角为n，，）
2. 400 （提示：设圆锥的底面半径为r，母线长为30，，r=10，
底面积=100π，全面积=）
3. B
4. B
5. B（提示：斜边上的高为2.4，）
6. 158．4 m 2 （提示：）
7. (1)30°(2)4m
●体验中考
1. C
2. C （提示：设三角形的边长为a，则侧面积=，
）
3. （提示：阴影部分是三个半径相同的扇形，三个圆心角和为135o ，
∴）
