3.3.1 函数的单调性与导数
(1)能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。(2)培养学生的观察能力、归纳能力，提高学生鉴别“优劣”和“分析问题、解决问题”的能力，让学生初步学会利用导数解决与函数单调性有关的问题。 (3)在教学中让学生多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间
多媒体课件等辅助手段
教学过程：一、 问题引入： 引例1.确定函数 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？引例2.确定函数 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？设计意图：（发现问题）函数单调性的定义是讨论函数单调性的基本方法，但有时十分麻烦，尤其当函数的解析式复杂时（如引例2）这里就需要寻求一种新的方法二、问题探究：函数的单调性与导数之间存在怎样的联系？教师以引例1与引例2的图象及其导函数的图象的关系为例，并借助几何画板动态演示。 设计意图：观察与表达（探索函数的单调性和导数的关系）三、观察验证:高台她在跳水过程中高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10.的图象跳水过程中速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5的图象.运动员从起跳到最高点,以及最高点到入水在两段时间的运动状态有什么区别 （学生回答）问：有何发现？（学生回答）让学生归纳总结，教师简单板书：四、总结提炼在某个区间(a，b)内，若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。 教师说明：设计意图：要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。五、方法应用例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．求下列函数的单调区间。(3)f(x)=sinx-x （引导学生得出解题思路：求导 → 令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0(或<0)，得函数单调递减（或增）区间 → 下结论） （板演）提问：能否大致画出函数图象？（学生画图，教师用几何画板演示）让学生掌握求函数的单调区间的方法。同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．练习：课本第93 页1-4小结：（见幻灯片）作业：课本第98页第1、2题（备选题）.2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。(1) f(x)=x3-3x (2) f(x)=x-lnx 3、求证：函数在区间内是减函数．证明：因为当即时，，所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数．4、已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．(共18张PPT)
3.3.1函数的单调性
与导数
新课引入
引例1.确定函数 在哪个
区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
引例2.确定函数 在哪个
区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
发现问题
函数单调性的定义是讨论函数单调性的基本方法，但有时十分麻烦，尤其当函数的解析式复杂时（如引例2 ）
这里就需要寻求一种新的方法
问题探究
函数的单调性与导数之间存在怎样的联系？
探究单调性与导数的关系
如图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10.的图象；如图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t）的图象
h
t
o
a
b
v
t
o
b
a
观察:
请问运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
v（t)=h′(t)=-9.8t+6.5
观察验证
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
x
y
o
y′=1
x
y
o
y=x
y=x
x
y
o
2
x
y
o
y′=2
X
观察验证
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。
总结提炼
例1、已知导函数 的下列信息：
当10;当x>4,或x<1时， <0;
当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是( ）。
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
x
y
o
1
4
A
B
C
D
D
方法应用
例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
(2) f(x)=x2-2x-3
(1) f(x)=x3+3x
(3) f(x)=sinx-x,
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1
方法应用
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。
方法应用
h
h
h
h
t
t
t
t
o
o
o
o
(A)
(B)
(C)
(D)
课本93页1-4
课堂练习
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内：
如果 ，则 f(x)在该区间是增函数。
如果 ，则 f(x)在该区间是减函数。
求单调区间的步骤 :
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。
f’(x)>0
f’(x)<0
课堂小结
(课本) P98 A组 T1 ,T2
课外作业
备选题
2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间
(2) f(x)=x-lnx
(1) f(x)=x3-3x
备选题
3、求证：函数 f(x)=2x3+3x2-12x+1 在区间(-2,1)内是减函数
备选题
4、已知函数 f(x)=4x+ax2- x在区间[-1,1]上是增函数，求实数a的取值范围
备选题
