§1.3.3函数的最大（小）值与导数
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤，会求函数在闭区间上的最大（或最小）值
利用导数求函数的最大值和最小值的方法
一．新课引入我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．二．新课讲授观察图(1)(2)中一个定义在闭区间上的函数的图象．指出极小值与极大值，最大值与最小值是．1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．（可以不给学生讲）⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）问题1．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．问题2．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三．典例分析例5．求在的最大值与最小值 解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，因此，函数在的最大值是4，最小值是．上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．四．课堂练习课本98页练习五．课堂小结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值步骤．六．布置作业课本 P99 习题3.3 A组 6，B组备选题（见幻灯片）(共17张PPT)
3.3.3函数的最值与导数
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的极大值点，极小值点吗？
新课引入
c
d
e
f
o
g
h
x
y
a
b
极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
但是我们往往更关心函数在某个区间上
哪个值最大，哪个值最小。
新课引入
最小值是f (b).
函数y=f(x)在区间[a,b]上
最大值是f (a),
图1
x
a
o
b
y
讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的最大值点，最小值点吗？
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的最大值点，最小值点吗？
讲授新课
c
d
e
f
o
g
h
x
y
a
b
图2
最小值是f (e)
函数y=f(x)在区间[a,b]上
最大值是f (a)
观察区间(a,b)上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的最大值点，最小值点吗？
o
x
a
b
y=f(x)
x2
x1
图4
o
x
y
a
b
y=f(x)
x1
x2
图5
图3
f(a)
f(x3)
f(b)
f(x1)
f(x2)
a
b
x1
x2
x3
x4
f(x)
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x)
的图象是一条连续不断的曲线，那么
它必有最大值和最小值。
讲授新课
注：在开区间内的连续函数不一定有最大值与
最小值.
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端
点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
讲授新课
问题1．你能说一说“最值”与“极值”的有什么区别和联系吗？
问题2：怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值和最小值？
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点
的函数值进行比较即可。
讲授新课
例5、求函数 在[0, 3]
上的最大值，最小值。
讲授新课
课本98页练习
课堂练习
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
课堂小结
课本98页A组6，B组（1）-（4）
课外作业
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，
求它在该区间上的最小值。
解：(1)函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1) ∪(3,+∞)
备选题
(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a
f(2)=-8+12+18+a=22+a
∴f(2)>f(-2)
于是有22+a=20,解得a=-2
∴f(x)=-x3+3x2+9x-2
∴f(x)在[-1,2]上单调递增
∴在(-1,3)上 >0,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。
∴f(-1)=1+3-9-2=-7,
