数学人教A版选修2-2-1.3.1 函数的单调性与导数（16张PPT）

函数 y = f (x) 在给定区间 D 上，当 x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 时
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在D 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在D 上是减函数；
若 f(x) 在D上是增函数或减函数，
则 f(x) 在D上具有严格的单调性。
D 称为单调区间
D = ( a , b )
单调性
导数的正负
函数及图象
x
y
o
x
y
o
切线斜率
的正负
x
y
o
k>0
k>0
k<0
k<0
+
+
-
-
递增
递减
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间。
如果恒有 ，则 是常数。
例1 已知导函数 的下列信息:
当1 < x < 4 时,
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
试画出函数 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.
x
y
O
1
4
已知导函数的下列信息：
试画出函数 图象的大致形状。
分析：
A
B
x
y
o
2
3
练习：
解： 的大致形状如右图：
例2 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
(B)
(A)
(C)
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓。
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
高考题
设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )
1
例3 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求出f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
（注意区间要在函数的定义域内）
例3 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:
(1) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递增.
(2) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:
(3) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递减.
(4) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
练习： P26:第1、4题
1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
4.求证: 函数 在 内是减函数.
证明:
由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.
作业布置
P31 A组 第1、2题
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间） （注意区间要在函数的定义域内）
2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论
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