数学人教A版选修2-2-1.3.2 函数的极值与导数（18张PPT）

1.3.2 函数的极值与 导数
探究
x
y
o
a
b
x
y
o
a
b
>0
<0
<0
>0
极小值点
极大值点
函数的极值定义
一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，
如果对x0附近的所有点，都有f(x)则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
使函数取得极值的点x0称为极值点
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
(1)极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不一定是整体的最值;
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;
【关于极值概念的几点说明】
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?
o
a
x0
b
x
y
x
x0左侧
x0
x0右侧
f?(x)



f(x)

o
a
x0
b
x
y
x
x0左侧
x0
x0右侧
f?(x)



f(x)
增
f?(x) >0
f?(x0) =0
f?(x) <0
极大值
减
f?(x) <0
f?(x0) =0
增
减
极小值
f?(x) >0
通过图像与表格，你能得出哪些结论？
1、若x0是极值点（即f(x0) 是极值），则f ’(x0)=0。
2、若f ’(x0)=0，x0不一定是极值点，只有f?(x0) =0 且x0两侧f(x)单调性不同时，x0才是极值点.
3、y=f(x)在某一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。
结论
课本P29练习1
解: ∵ f?(x)=x2-4,由f?(x) =0解得 x1=2,x2=-2.
∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3.
f(x)



f?(x)


x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
0
-
+
极大值28/3
极小值-4/3
当x变化时, f?(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
请概括求可导函数的极大(小)值的步骤:
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；
若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值
+
-
x0
-
+
x0
简记:
求导—求极值点—列表—求极值
作业布置：
2、已知函数 在
处取得极值。
（1）求函数 的解析式
（2）求函数 的单调区间
1、求函数 的极值
P29 练习第2题
必要条件
函数极值与导数
函数极值的定义
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
函数极值的求法
求极值的步骤:1.求导，2.求极值点，3.列表，4.求极值
小结
P29 练习第2题
求下列函数的极值:
解:
令 解得 列表:
x
0
f (x)
+
单调递增
单调递减
–
所以, 当 时, f (x)有极小值
求下列函数的极值:
解:
解得 列表:
x
(–∞, –3)
–3
(–3, 3)
3
( 3, +∞)
0
0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;
当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
P29 练习第2题
求下列函数的极值:
解:
解得
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
解得
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;
当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
P29 练习第2题
1、求函数 的极值
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0 , 1)
1
(1,+∞)
+
0
-
-
0
+
所以，当x=-1时，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2
导函数的正负是
交替出现的吗？
不是
极大值
极小值
作业布置：
2、已知函数 在 处取得极值：（1）求函数 的解析式
（2）求函数 的单调区间
2.（2006年天津卷)函数 的定义域为开区间
导函数 在 内的图像如图所示，则函数
在开区间 内有（ ）个极小值点。
巩固练习:
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取得极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。
2.（2006年天津卷)函数 的定义域为开区间
导函数 在 内的图像如图所示，则函数
在开区间 内有（ ）个极小值点。
巩固练习:
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取得极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。
a= -3，b= -9，c= 2，f(x)极小值= -25