数学人教A版选修2-2-1.5.1-1.5.3定积分的概念（30张PPT）

如何求曲线下方图形阴影部分的面积？
直线
几条线段连成的折线
问题思考：
a
b
y = f(x)
b
a
x
y
O
A1
A ?
A1.
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得
如何求曲边梯形的面积
？
A ?
A1+ A2
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
y = f(x)
b
a
x
y
O
A1
A2
如何求曲边梯形的面积
？
A ? A1+ A2+ A3+ A4
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
y = f(x)
b
a
x
y
O
A1
A2
A3
A4
如何求曲边梯形的面积
？
y = f(x)
b
a
x
y
O
A ? A1+ A2 + ? ? ? + An
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A1
Ai
An
—— 以直代曲,无限逼近
如何求曲边梯形的面积
？
感悟：分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。
⑴分割
⑵近似代替
区间长度：△x=
区间高：h=
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：
第i个小区间
例1.求抛物线y=x2、直线x=0、直线x=1和y=0所围成的曲边三角形的面积。
典型例题：
把底边[0,1]分成n等份,
然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值。

⑶求和
小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法：
（1）分割
（2）近似代替
(3)求面积的和
（4）取极限
做做P42探究题
练习
思考：如何求在区间[a,b]上的一般函数y=f(x)对应的曲边梯形的面积？
一、定积分的定义
如果当n?∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
定积分的定义：
定积分的相关名称：
? ———叫做积分号，
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
1
x
y
O
f(x)=x2
O
v
t
1
2
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
4．规定：

是一个确定的常数
注：
2 当
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
及积分区间
有关，而与区间
的分法及
点的取法无关。
f(x)
[a,b]
定积分的几何意义：
O
x
y
a
b
y?f (x)
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
x
y
O
= -
a
b
y?f (x)
y?-f (x)
=-S
上述曲边梯形面积的负值。
定积分的几何意义：
= -S
a
b
y?f (x)
O
x
y
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?
a
b
y?f (x)
O
x
y
定积分的基本性质
性质1.
性质2.
定积分的基本性质
定积分关于积分区间具有可加性
性质3.
O
x
y
a
b
y?f (x)
Ｃ
例1：利用定积分的定义,计算
的值.

解：
做P48练习
例
x
1
y
面积值为圆的面积的
练习：
解：
x
y
f(x)=sinx
1
-1
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
解：
0
0
0
0
a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2
f(x)=x2
-1
2
f(x)=1
a
b
-1
2
f(x)=(x-1)2-1
解：
0
0
0
0
a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2
f(x)=x2
-1
2
f(x)=1
a
b
-1
2
f(x)=(x-1)2-1
解：
0
0
0
0
a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2
f(x)=x2
-1
2
f(x)=1
a
b
-1
2
f(x)=(x-1)2-1
解：
0
0
0
0
a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2
f(x)=x2
-1
2
f(x)=1
a
b
-1
2
f(x)=(x-1)2-1
1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分
值的正、负号。
2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立：
1）．
2）.
1）．
2）.
练习：
3、试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
0
y
x
y=x2
1
2
0
x
y=f(x)
y=g(x)
a
b
y