数学人教A版选修2-2-1.7定积分的简单应用（25张PPT）

1.7.1定积分在几何中的应用
1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．
2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
复习：
思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形
x
y
o
图2.如图
x
y
o
图4.如图
图3.如图
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a(2)
x
y
o
a
b
c
(3)
(1)
x
y
o
例：求抛物线y=x2-1，直线x=-1,和x=2，y=0所围成的图形的面积。
y
x
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ay
x
o
b
a
(2)
(1)
A
B
C
D
O
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
o
x
y
方法小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:
1. 作图象;
2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
解:
两曲线的交点
直线与x轴交点为(4,0)
S1
S2
思考：
有没有其他方法？
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3; (2)y=ex,y=e,x=0.
做P58练习
作业布置：
1、P60：A组第1题
B组第3题
2、完成好《全优课堂》
练习1、求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积.
x
y
O
6
6
2
求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:
(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.
练习巩固
解:
两曲线的交点
解:
两曲线的交点
于是所求面积
说明：
注意各积分区间上被积函数的形式．
练习4：已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为4/3,求a的值.
若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢?
思路:根据a的取值的不同分类讨论.
当a≤0时, ,解得a=-1
当a>2时, , ,无解
当0注意
故a=-1或a=2
[-1,2]
1.7.2定积分在物理中的应用
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离(位移)s为
1、变速直线运动的路程
法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即
变力所做的功：
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l 米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的
单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s
间行进的路程.
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,
沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到
x=4处(单位:m),求F(x)所作的功.
做P59练习：