2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章《三角形》回顾与思考（一）课件（32张）

第四章三角形
回顾与思考(一）
三
角
形
图
形
的
全
等
丰
富
的
情
境
三角形三边的关系、三内角的关系
三角形的基本要素及基本性质
三角形的概念及表示
三角形的高、中线、角平分线
图形全等的概念
图形全等的特征
三角形的全等
三角形全等的表示及特征
三角形全等的条件
三角形全等的应用
解决实际问题
尺规作三角形
数形结合思想
知识建构
（一）概念及表示
1.由不在同一直线上的三条线段首尾 所组成的图形叫做三角形. 上图三角形记作 ，读作“三角形ABC ”.
2.三角形的基本元素有 、 、 .
（二）三角形三个内角的和等于 .
顺次相接
△ABC
180°
A
B
C
三条边
三个内角
三个顶点
要点梳理
一、三角形的基本要素及基本性质
1.按角分类
（三）三角形的分类
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
直角三角形的两个锐角互余.
要点梳理
（三）三角形的分类
2.按边分类
等腰三角形
腰和底不相等的等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
要点梳理
（四）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边.
三角形任意两边之差小于第三边.
已知三角形两边长度，怎样确定第三边取值范围？
已知三条线段长度，怎样判断三条线段能否组成三角形？
要点梳理
三角形的三条中线交于一点.
这点称为三角形的重心.
（五）三角形的三条重要线段
1.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
B
C
D
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
S△ABD=S△ACD
要点梳理
A
B
A
C
E
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC.
2.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.
三角形的三条角平分线交于一点.
要点梳理
（五）三角形的三条重要线段
∵AE是△ABC的角平分线，
∵AF是△ABC的高，
3.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
A
B
C
F
要点梳理
（五）三角形的三条重要线段
∴AF⊥BC.
三角形的三条高所在
的直线交于一点.
（一）能够完全 的两个图形称为全等图形.
（二）全等图形的 和 都相同.
形状
大小
二、全等图形
重合
三、全等三角形
（一）能够完全 的两个三角形叫做全等三角形.
重合
? 如图，△ABC与△DEF全等，记作 .
A
B
C
D
E
F
△ABC≌△DEF
要点梳理
A
B
C
D
E
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
（二）全等三角形的性质
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE， BC=EF，CA=FD，
∠A=∠D，∠B=∠E ，∠C=∠F .
全等三角形对应边上的中线、高线，对应角的角平分线分别相等.
要点梳理
全等三角形的周长、面积分别相等.
（三）全等三角形的判定
边边边(SSS)
三边分别相等的
两个三角形全等.
边角边(SAS)
两边及其夹角分别相
等的两个三角形全等.
角边角(ASA)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（四）三角形的稳定性的依据：SSS
要点梳理
角角边(AAS)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
例1：已知三角形两边长分别为3和8，第三边a的长为奇数，
问第三边应取多长？
解：由三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边，得
8－3＜a＜8+3, 所以5＜a＜11.
又因为第三边的长为奇数,所以第三边长为7或9.
典例分析
考点一 三角形的三边关系、三角关系
2.△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠A比∠B大20o，
∠C为∠B的2倍，则∠B= °
1.已知等腰三角形两边长分别为10和4，则三角形周长是　　．
24
40
设∠B=xo，则∠A=（x+20）o，∠C=2xo
(x+20)+x+2x=180
分类讨论思想
方程
思想
10、10、4
（ √ ）
4、4、10
（×）
针对训练一
例2：如图1，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A=50°，
∠B=70°，求∠EDC、∠BDC的度数．
解：∵∠A+∠B +∠ACB =180°，
∴∠ACB=180°－∠A－∠B.
∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACB =180°－50°－70°=60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD= ∠ACB= ×60°=30°.
图1
典例分析
考点二 三角形的中线、角平分线、高线
数形结合思想
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=30°.
∵∠BCD+∠BDC+∠B=180°，
∴ ∠BDC=180°－ ∠B －∠BCD
=180°－70°－30°
=80°.
3.如图2，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，∠BOC=116°，则∠A= °.
4.如图3，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF= °，
∠FBC= °.
5.如图4，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF和
△BEF的面积分别为S△ABC 、S△ADF和S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF － S△BEF = ．
20
40
52
图3
图2
针对训练二
图4
5.如图4，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设
△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC 、S△ADF和S△BEF，且
S△ABC=12，则S△ADF － S△BEF = ．
解：∵点D是AC的中点，所以AD= AC，
∵S△ABC=12，
∴S△ABD= S△ABC= ×12=6.
∵EC=2BE，S△ABC=12，
∴S△ABE= S△ABC= ×12=4.
2
∵S△ABD － S△ABE
=(S△ADF+S△ABF)－(S△ABF+S△BEF)
=S△ADF － S△BEF，
∴S△ADF － S△BEF
=S△ABD － S△ABE
=6－4=2.
转化
思想
图4
针对训练二
说明： ∵AE=CF，
∴AE － EF=CF － EF.
即AF=CE.
在△AFD和△CEB中，
A
D
B
C
F
E
例3：如图5，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE.说明△AFD≌△CEB．
∴△AFD≌△CEB .
(SAS)
转化“间接条件”判全等
归纳总结：
解题思路
（1）需要得出什么结论
（2）题目已有什么条件
（3）还缺什么条件
（4）创造条件（添加辅助线）
图5
典例分析
考点三 全等三角形的判定和性质
归纳总结
A
B
C
D
找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？
（1）有公共边的，公共边是对应边.
A
B
C
D
图6
图7
归纳总结
C
D
A
B
E
（2）有公共角的，公共角是对应角.
（3）有对顶角的，对顶角是对应角.
B
D
A
C
找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？
图8
图9
O
找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？
归纳总结
（4）一对最长的边是对应边，
（5）一对最大的角是对应角，
P
A
B
D
C
A
B
C
D
E
F
图10
图11
一对最短的边是对应边.
一对最小的角是对应角.
6.挖掘“隐含条件”判全等
（1）如图12，AB=DC，AC=DB，△ABC与△DCB全等吗?
A
D
B
C
图12
（2）如图13，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，AD=AE,AB=AC.
若∠B=20°，CD=5cm，则∠C= ，BE= .
B
C
O
D
E
A
图13
（3）如图14，AC与BD相交于点O,OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= .
图14
20°
5cm
3cm
A
D
B
C
O
△ABC≌△DCB
针对训练三
（1）平行——角相等； （2）对顶角——角相等；
（3）公共角——角相等； （4）角平分线——角相等；
（5）垂直——角相等； （6）中点——边相等；
（7）公共边——边相等；
（8）折叠、旋转——角相等，边相等.
归纳总结
解读已知条件中相等的边和角:
如图15，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，可添加什么条件？
根据“SAS”需要添加条件 ；
根据“ASA”需要添加条件 ；
根据“AAS”需要添加条件 .
AB=AC
∠BDA=∠CDA
7.开放性问题：添条件判全等
A
B
C
D
归纳总结：添加条件的题目，首先要找到已具备的条件.这些条件有些是题目已知条件，有些是图中隐含条件.
∠B=∠C
分类讨论思想
图15
AS
针对训练三
找任一角
→AAS
→找任一边
说明两个三角形全等时，要认真分析条件和图形结构，理清已知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法，一般的思路有：
已知两边
已知一角一边
找角的另一邻边→SAS
找夹角→SAS
边为角的对边
已知两角
→ASA
边为角的邻边
归纳总结
分类讨
论思想
数形结
合思想
找第三边→SSS
→找任一角→AAS
→AAS
→ASA
已知两边分别相等
找夹角或第三边
已知一角一边分别相等
可找任一角（当边为角的邻边时，也可找另一邻边）
已知两角分别相等
找任一边
8.已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、
点C重合）．以AD为边作△ADE，且AD=AE，连接CE，∠BAC=∠DAE．
（1）如图16，当点D在边BC上时，试说明：①△ABD≌△ACE；②BC=DC+CE；
（2）如图17，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，探究线段BC、DC、
CE之间存在的数量关系，并说明理由．
图16
图17
针对训练三
（1）①说明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC －∠CAD=∠DAE － ∠CAD．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②说明：∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
∴BC=DC+BD=DC+CE．
图16
图17
（2）解：BC=CE － DC．
理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∴BC=BD － DC=CE － DC．
针对训练三
一、能运用三角形基本要素及基本性质解决问题.
二、能运用三角形全等的条件和性质解决问题.
数形结合思想
分类讨论思想
转化
思想
方程
思想
综合建模
（C层）
（B层）
（A层）
当堂检测
2.已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，
若要以“SAS”为依据，需添加条件 ；
若要以“ASA”为依据，需添加条件 ；
若要以“AAS”为依据，需添加条件 .
3.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线
BD、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，求DE的长．
1.如图，在△ABC中，∠B=63°，∠C=46°，AD和AE分别是它的高和角平分线，
则∠DAE的度数为______．
A
B
C
D
E
F
第2题图
第3题图
第1题图
当堂检测答案
1.8.5o
2.AB=DE；
∠ACB=∠F或AC∥DF；
∠A=∠D .
3.解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵BD⊥DE，
∴∠D=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
∴△BDA≌△AEC（AAS）．
∴DA=EC=2，AE=BD=3．
∴DE=DA+AE=5．
∵CE⊥DE，
∴∠E=90°．
∴∠D=∠E．
在△BDA和△AEC中，
（C层）
（B层）
（A层）
3.如图，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点B、C作过A点的直线l的垂
线，垂足分别为M、N．（1）你能找到一对全等三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM、CN、MN之间有何关系？请说明理由．
（3）若将直线l旋转到右图的位置，其他条件不变，（2）中结论是否成立？若不成
立，线段BM、CN、MN之间有何关系？请说明理由．
2.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的角平分线，ED⊥AB于点D，AB=7cm，
AC=3cm，求BD的长．
1.如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE、AD相交于点F，已知
∠BAD＝42°，则∠BFD的度数为______．
作业布置
第2题图
第1题图
第3题图