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北师大版数学九年级下册3.4
圆周角和圆心角的关系（2）导学案
课题
3.4
圆周角和圆心角的关系（2）
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1．掌握圆周角定理几个推论的内容.
2．会熟练运用推论解决问题.．
重点
难点
直径所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦是直径.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
1、如图，在圆内接四边形ABCD中，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
2、如图，四边形ABCD内接于，已知，则的大小是?
?
A.
B.
C.
D.
合
作
探
究
探究一：
在图
3-19
中，BC
是
⊙O
的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
图
3-19
在图
3-20
中，圆周角
∠BAC
=
90°，弦BC是直径吗？为什么？
图
3-20
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
探究二：
如图3-21，A，B，C，D
是
⊙O
上的四点，AC
为
⊙O
的直径，请问
∠BAD
与
∠BCD
之间有什么关系？为什么？
图3-21
如图3-22，C
点的位置发生了变化，∠BAD
与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
图3-22
在图
3-22
中，四边形
ABCD
的四个顶点都在
⊙O
上，像这样的四边形叫做圆内接四边形（inscribed
quadrilateral），这个圆叫做四边形的外接圆．
圆内接四边形具有如下性质：圆内接四边形的对角互补.
探究三：
如图3-23，∠?DCE
是圆内接四边形
ABCD
的一个外角，∠A
与
∠DCE的大小有什么关系？
图3-23
在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流．
注意：
一个关键词：
直径
二个重要结论:
直径所对的角是直角；
同弧或等弧所对的圆周角相等；
一个重要方法：
将圆周角等转化为弦等或线段等.
当
堂
检
测
1、下列命题中，正确的命题个数是(
)
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是(
)
3、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且OC
//DB，连接AD、CD，若∠C=28°，则∠A的大小为(
)
A.
30°
B.
28°
C.
24°
D.
34°
4、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=40°，则∠BCD的度数为(
)
A.
30°
B.
40°
C.
50°
D.
60°
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A=50°，则∠E+∠F=
______
．
课
堂
小
结
直径所对的圆周角：
直径所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦：
90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形具有如下性质：
圆内接四边形的对角互补.
参考答案
自主学习：
1、解：在圆内接四边形ABCD中，，
，
故选：C．
2、解：四边形ABCD是的内接四边形，，
，
．
．
故选A．
合作探究：
探究一：
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
证明：∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
解：弦BC是直径.
连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
探究二：
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD
∵
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
探究三：
∠?A=∠?DCE
当堂检测：
1、解：根据圆周角定理可知：
①顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；根据在同圆和等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等，此选项错误；
正确的有③．
故选：A．
2、解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-130°=50°．
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故选：B．
3、解：连接OD，
∵O是圆心，
∴OA=OC=OD，
即∠A=∠ADO，∠ODC=∠C=28°，
∵OC
//DB，
∴∠C=∠CDB=28°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=∠ADO
=∠ADB-∠ODC-∠CDB=90°-28°-28°=34°．
故选：D．
4、解：由圆周角定理得，
∠ACD=∠ABD=40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-40°=50°，
故选：C．
5、解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ECD=∠A=50°，
∠BCF=∠A=50°，
∴∠EDC+∠FBC=180°，
∴∠E+∠F=360°-180°-50°-50°=80°，
故答案为：80°．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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3.4
圆周角和圆心角的关系（2）
数学北师大版
九年级下
1、圆周角定义：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2、圆周角定理及其定理应用：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
复习导入
新知讲解
在图
3-19
中，BC
是
⊙O
的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
图
3-19
新知讲解
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
证明：∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
图
3-19
新知讲解
在图
3-20
中，圆周角
∠BAC
=
90°，弦BC是直径吗？为什么？
图
3-20
想一想
新知讲解
图
3-20
解：弦BC是直径.
连接OC、OB,
∵∠BAC=90°,
∴∠BOC=2∠BAC=180°.
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上,
∴BC是⊙O的一条直径.
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
新知讲解
新知讲解
如图3-21，A，B，C，D
是
⊙O
上的四点，AC
为
⊙O
的直径，请问
∠BAD
与
∠BCD
之间有什么关系？为什么？
图3-21
新知讲解
解：∠BAD与∠BCD互补.
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD与∠BCD互补.
图3-21
新知讲解
如图3-22，C
点的位置发生了变化，∠BAD
与
∠BCD
之间的关系还成立吗？为什么？
图
3-22
新知讲解
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
连接OB，OD,
∵
（圆周角的度数等于它所对弧上
圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
1
2
新知讲解
在图
3-22
中，四边形
ABCD
的四个顶点都在
⊙O
上，像这样的四边形叫做圆内接四边形（inscribed
quadrilateral），这个圆叫做四边形的外接圆．
图
3-22
新知讲解
圆内接四边形具有如下性质：
圆内接四边形的对角互补.
新知讲解
如图3-23，∠DCE
是圆内接四边形
ABCD
的一个外角，∠A
与
∠DCE的大小有什么关系？
想一想
图3-23
∠A=∠DCE
新知讲解
在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流．
议一议
新知讲解
注意：
一个关键词：
直径
二个重要结论:
直径所对的角是直角；
同弧或等弧所对的圆周角相等；
一个重要方法：
将圆周角等转化为弦等或线段等.
课堂练习
1、下列命题中，正确的命题个数是(
)
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
A
课堂练习
解：根据圆周角定理可知：
①顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；根据在同圆和等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
课堂练习
③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等，此选项错误；
正确的有③．
故选A．
课堂练习
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是(
)
A.
80°
B.
100°
C.
60°
D.
40°
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-130°=50°．
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故选:B．
B
课堂练习
3、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且OC
//DB，连接AD、CD，若∠C=28°，则∠A的大小为(
)
A.
30°
B.
28°
C.
24°
D.
34°
D
课堂练习
解：连接OD，
∵O是圆心，
∴OA=OC=OD，
即∠A=∠ADO，∠ODC=∠C=28°，
∵OC
//DB，
∴∠C=∠CDB=28°，
课堂练习
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=∠ADO
=∠ADB-∠ODC-∠CDB
=90°-28°-28°
=34°．
故选:D．
课堂练习
4、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=40°，则∠BCD的度数为(
)
A.
30°
B.
40°
C.
50°
D.
60°
C
课堂练习
解：由圆周角定理得，
∠ACD=∠ABD=40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-40°=50°，
故选：C．
拓展提高
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A=50°，则∠E+∠F=
______
．
80°
拓展提高
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ECD=∠A=50°，
∠BCF=∠A=50°，
∴∠EDC+∠FBC=180°，
∴∠E+∠F=360°-180°-50°-50°=80°，
故答案为：80°．
课堂总结
直径所对的圆周角：
直径所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦：
90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形具有如下性质：
圆内接四边形的对角互补.
板书设计
课题：3.4
圆周角和圆心角的关系（2）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、圆周角和圆心角
的关系
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P84练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P84练习第3、4题
