广东省东莞市光明中学2020-2021学年高一下学期期初考试数学试题 Word版含答案

光明中学2020-2021学年度第二学期高一年级期初考试
数学科试卷
一、单选题（本大题共8个小题，只有一个选项是符合要求的.每小题5分，共40分）
1．已知全集，，则
A． B． C． D．
2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为
（1），； （2），；
（3），； （4），．
A.（1），（4） B. （2），（3） C. （1） D. （3）
3. 下列函数中，满足“对任意,，当时，都有>的是
A． B． C． D．
4．已知，，则
A． B． C． D．
5. 设，，，则以下选项正确的是
A． B． C． D．
6.函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
7.已知函数，则的值是
A． 1 B． C． D．
8. 已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)=
（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分.）
9．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是
A． B．所有正方形都是矩形
C． D．至少有一个实数x，使
10．下列结论正确的是
A．当时， B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
11．将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是
A． B．最小正周期为
C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增
12.若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域内的任意，当时，恒有，则称函数为“二维函数”．现给出下列四个函数：①；②；③；④
是“二维函数”的有
A. ① B.② C. ③ D. ④
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）
13. 已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.
14．函数的定义域为
15. ____________
16. 若函数在区间上的最大值比最小值大,则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
求值或化简：
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，其中，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数 .
求满足的实数的值；
求时函数的值域．
20.（本小题满分12分）
海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是某天水深的数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2
经长期观察，的曲线可近似的满足函数.
（1）根据以上数据，求出函数一个近似表达式；
（2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?
21.（本小题满分12分）
若已知某火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y＝k[ln（m+x）–ln（m）]+5ln2（其中k≠0）．当燃料重量为（1）m吨（e为自然对数的底数，e≈2.72）时，该火箭的最大速度为5千米/秒．
（1）求火箭的最大速度y（千米/秒）与燃料重量x（吨）之间的关系式y＝f（x）；
（2）已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道？
（本小题满分12分）
已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）判断在R上的单调性并用定义证明；
（3）若对恒成立,求实数的取值范围.
2020-2021学年度第二学期高一年级期初考试
数学科试卷
命题人：
一、单选题（本大题共8个小题，只有一个选项是符合要求的.每小题5分，共40分）
1．已知全集，，则 B
A． B． C． D．
2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 A
（1），； （2），；
（3），； （4），．
A.（1），（4） B. （2），（3） C. （1） D. （3）
3. 下列函数中，满足“对任意,，当时，都有>的是 B
A． B． C． D．
4．已知，，则（ D ）
A． B． C． D．
5. 设，，，则以下选项正确的是 D
A． B． C． D．
6.函数的零点所在的大致区间是 D
A. B. C. D.
7.已知函数，则的值是 B
A． 1 B． C． D．
8. 已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ D ）
（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2
【解析】 当时，,
所以当时，，
函数是周期为 的周期函数，
所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分.）
9．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（ ）
A． B．所有正方形都是矩形
C． D．至少有一个实数x，使
【答案】AC
10．下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
【答案】AD
11．将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ BCD ）
A． B．最小正周期为
C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增【答案】BCD
【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，对A，函数，故A错误； 对B，最小正周期为，故B正确；对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，单调递增，故D正确，故选：BCD．
12.若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域内的任意，当时，恒有，则称函数为“二维函数”．现给出下列四个函数：①；②；③；④
是“二维函数”的有 BD
① B.② C. ③ D. ④
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）
13. 已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.
14.函数的定义域为
15.____________
16. 若函数在区间上的最大值比最小值大,则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
求值或化简：
（1）；
（2）.
解：(1) ………………………5分
（2）＝
＝＝＝ ………………………10分
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，其中，求的值.
解：（1）因为
所以. …………3分
令，
得函数的单调递增区间为.…………6分
（2）若，则，因为，所以，
所以. …………9分
…………10分
.
…………12分
19.（本小题满分12分）
已知函数 .
求满足的实数的值；
求时函数的值域．
解：（1）
， ……………3分
或（舍） …………………6分
（2）令，则 ……………9分
当时，；当时， ……………11分
所以的值域为 ……………12分
20.（本小题满分12分）
海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是某天水深的数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2
经长期观察，的曲线可近似的满足函数.
（1）根据以上数据，求出函数一个近似表达式；
（2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?
【解析】（1），∴，，，……………3分
过点，
∴，则，∴，……………5分
∴的一个解析式可以为.……………6分
（2）由题意得：即，
，……………8分
或，
解得或，……………10分
又，解得，
又∵∴， ……………11分
所以开放时间共4h. ……………12分
21.（本小题满分12分）
若已知某火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y＝k[ln（m+x）–ln（m）]+5ln2（其中k≠0）．当燃料重量为（1）m吨（e为自然对数的底数，e≈2.72）时，该火箭的最大速度为5千米/秒．
（1）求火箭的最大速度y（千米/秒）与燃料重量x（吨）之间的关系式y＝f（x）；
（2）已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道？
解：（1）依题意，把x＝（1）m，y＝5代入函数关系y＝k[ln（m+x）–ln（m）]+5ln2，
解得k＝10， ………………………3分
所以所求的函数关系式为y＝10[ln（m+x）–ln（m）]+5ln2＝ln（）10；…………6分
（2）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时m＝816–x，y＝10， ………………8分
代入函数关系式y＝ln（）10，得ln1，
……………10分
解得x≈516吨， ……………11分
应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．………………………12分
（本小题满分12分）
已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）判断在R上的单调性并用定义证明；
（3）若对恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)∵是定义在R上的奇函数 ∴得
∴ ………………………3分
(2)∵
设,则
∴即
∴在R上是增函数． ………………7分
(3)由(2)知，在[-1,2]上是增函数 ∴在[-1,2]上的最小值为
对恒成立 ∴ ……………10分
即得 ……………11分
∴实数k的取值范围是 ………………………12分