广东省东莞市光明中学2021届高三下学期期初考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 广东省东莞市光明中学2021届高三下学期期初考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-25 22:09:01 | ||
图片预览
文档简介
2021届光明中学高三年级第二学期期初考试
数学科试卷
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
命题人：
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
3．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲?乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种
A．96 B．120 C．180 D．216
4．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取，精确到0.1）
A． B． C． D．
5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（ ）
A．己亥年 B．戊戌年 C．庚子年 D．辛丑年
6．在边长为的等边中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
8．已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．将函数图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位后关于轴对称
D．函数在上的最小值为
10．设函数的导函数为，则（ ）
A． B．是的极值点
C．存在零点 D．在单调递增
11．若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，M为线段AB的中点，则（ ）
A．以线段AB为直径的圆与直线相切
B．以线段BF为直径的圆与y轴相切
C．当时，
D．（O为坐标原点）
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，且，求的最小值_______．
14．若有穷数列，，…，（m为正整数）满足条件：，，…，，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列中，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，则____________．
15．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱为上底面上的动点，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号为__ ．
①若PD=3，则满足条件的P点有且只有一个；
②若，则点P的轨迹是一段圆弧；
③若PD∥平面，则DP长的最小值为2；
④若PD∥平面，且，则平面BDP截正四棱柱的外接球所得图形的面积为．
16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则______________，（2分）椭圆的离心率e=___________.（3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________________，且，求的面积.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面平面BCDE，，，点O为BE的中点.
（1）求证：平面AOC；
（2）求二面角A-BC-O的正切值.
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（本小题满分12分）
山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；
（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；
（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，其左?右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：
2021届光明中学高三年级第二学期期初考试
数学科试卷
1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6． B 7．A 8．B
8【详解】
设，则方程为，
如图作出函数的图象，
要使关于x的方程有5个不同的实根，
有，解得.
9．AB 10．AD 11．BD 12．ABD
11【详解】
因为，所以，故A错；
因为函数在上为增函数，故当时，，故B正确；
对于C选项，构造函数，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，故C错；
对于D选项，构造函数，则在恒成立，所以函数在上递增，故当时，，即成立，故D正确.
故选：BD.
12．ABD
对于选项A，AB的中点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，A正确；
对于选项B，C，D，设，，直线方程为，
联立直线与抛物线可得 ，，，
则，D正确，
若设，易见，，则，设线段BF中点是N，则，则，N到y轴的距离是，故以线段BF为直径的圆与y轴相切，B正确；
又 ，当可得，
，所，，C错误.
填空题：13．16 ； 14. 19 15．①②④ 16．
15【详解】如图，
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，
∴，又侧棱AA1＝1，
∴，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故①正确；
∵∈（1，3），DD1＝1，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；
连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为，故③错误；
由③知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故④正确．
∴正确结论的序号是①②④．
16【详解】解：连接，则，因为，，所以
所以
在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，，如图．
椭圆的长轴长是，过向做垂线，垂足是，
由题意得：，，又
所以即，，椭圆的离心率为
故答案为：；.
17.【解析1】（1)在横线上填写“”.
解：由正弦定理，得.
由，
得.
由，得. 所以.
又所以.
又，得.
由余弦定理及，得，
即.将代入，解得.
所以.
【解析2】在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，所以
由余弦定理及，得
即.将代入，解得.
所以.
【解析3】在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.所以，即.
由余弦定理及，得.
即.将代入，解得.
所以.
18.【详解】
（1）证明：，点O为BC的中点，，
，点O为BC的中点，，
，AC，平面AOC，平面AOC，
四边形BCDE为平行四边形，，平面AOC.
（2）过O点作BC的垂线，垂足为G，连接AG，则，
因为面BCO，平面，所以，
又，所以面AGO，
平面，所以，故为二面角A-BC-O的平面角，
在直角三角形AGO中，，，所以.
．
19.【详解】
（1）当时，，所以；
当时，因为，所以，
两式作差得，即，
因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，故.
（2），
当为偶数时，前项和；
当为奇数时，前项和，
则
20.【详解】
（1）依题意，转化频率分布表如下所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
频率 0.2 0.2 0.1 0.4 0.1
频率/组距 0.010 0.010 0.005 0.020 0.005
完善频率分布直方图如图所示：
（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；
故采购量在286箱以下（含286）的人数为；
所求平均值为；
（3）依题意，，则，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
故．
21.【详解】
(1)，，
又，，即，
则可得，又，，故所求椭圆方程为；
(2)设直线，代入，有.
设，则，
若轴上存在定点满足题设，则，，
，
由题意知，对任意实数都有恒成立，
即对成立.
，解得，
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
22.【详解】
（1）易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，，是方程的两根，所以，，
由，所以，，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.
数学科试卷
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
命题人：
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
3．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲?乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种
A．96 B．120 C．180 D．216
4．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取，精确到0.1）
A． B． C． D．
5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（ ）
A．己亥年 B．戊戌年 C．庚子年 D．辛丑年
6．在边长为的等边中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
8．已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．将函数图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位后关于轴对称
D．函数在上的最小值为
10．设函数的导函数为，则（ ）
A． B．是的极值点
C．存在零点 D．在单调递增
11．若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，M为线段AB的中点，则（ ）
A．以线段AB为直径的圆与直线相切
B．以线段BF为直径的圆与y轴相切
C．当时，
D．（O为坐标原点）
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，且，求的最小值_______．
14．若有穷数列，，…，（m为正整数）满足条件：，，…，，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列中，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，则____________．
15．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱为上底面上的动点，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号为__ ．
①若PD=3，则满足条件的P点有且只有一个；
②若，则点P的轨迹是一段圆弧；
③若PD∥平面，则DP长的最小值为2；
④若PD∥平面，且，则平面BDP截正四棱柱的外接球所得图形的面积为．
16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则______________，（2分）椭圆的离心率e=___________.（3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________________，且，求的面积.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面平面BCDE，，，点O为BE的中点.
（1）求证：平面AOC；
（2）求二面角A-BC-O的正切值.
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（本小题满分12分）
山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；
（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；
（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，其左?右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：
2021届光明中学高三年级第二学期期初考试
数学科试卷
1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6． B 7．A 8．B
8【详解】
设，则方程为，
如图作出函数的图象，
要使关于x的方程有5个不同的实根，
有，解得.
9．AB 10．AD 11．BD 12．ABD
11【详解】
因为，所以，故A错；
因为函数在上为增函数，故当时，，故B正确；
对于C选项，构造函数，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，故C错；
对于D选项，构造函数，则在恒成立，所以函数在上递增，故当时，，即成立，故D正确.
故选：BD.
12．ABD
对于选项A，AB的中点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，A正确；
对于选项B，C，D，设，，直线方程为，
联立直线与抛物线可得 ，，，
则，D正确，
若设，易见，，则，设线段BF中点是N，则，则，N到y轴的距离是，故以线段BF为直径的圆与y轴相切，B正确；
又 ，当可得，
，所，，C错误.
填空题：13．16 ； 14. 19 15．①②④ 16．
15【详解】如图，
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，
∴，又侧棱AA1＝1，
∴，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故①正确；
∵∈（1，3），DD1＝1，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；
连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为，故③错误；
由③知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故④正确．
∴正确结论的序号是①②④．
16【详解】解：连接，则，因为，，所以
所以
在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，，如图．
椭圆的长轴长是，过向做垂线，垂足是，
由题意得：，，又
所以即，，椭圆的离心率为
故答案为：；.
17.【解析1】（1)在横线上填写“”.
解：由正弦定理，得.
由，
得.
由，得. 所以.
又所以.
又，得.
由余弦定理及，得，
即.将代入，解得.
所以.
【解析2】在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，所以
由余弦定理及，得
即.将代入，解得.
所以.
【解析3】在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.所以，即.
由余弦定理及，得.
即.将代入，解得.
所以.
18.【详解】
（1）证明：，点O为BC的中点，，
，点O为BC的中点，，
，AC，平面AOC，平面AOC，
四边形BCDE为平行四边形，，平面AOC.
（2）过O点作BC的垂线，垂足为G，连接AG，则，
因为面BCO，平面，所以，
又，所以面AGO，
平面，所以，故为二面角A-BC-O的平面角，
在直角三角形AGO中，，，所以.
．
19.【详解】
（1）当时，，所以；
当时，因为，所以，
两式作差得，即，
因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，故.
（2），
当为偶数时，前项和；
当为奇数时，前项和，
则
20.【详解】
（1）依题意，转化频率分布表如下所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数 100 100 50 200 50
频率 0.2 0.2 0.1 0.4 0.1
频率/组距 0.010 0.010 0.005 0.020 0.005
完善频率分布直方图如图所示：
（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；
故采购量在286箱以下（含286）的人数为；
所求平均值为；
（3）依题意，，则，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
故．
21.【详解】
(1)，，
又，，即，
则可得，又，，故所求椭圆方程为；
(2)设直线，代入，有.
设，则，
若轴上存在定点满足题设，则，，
，
由题意知，对任意实数都有恒成立，
即对成立.
，解得，
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
22.【详解】
（1）易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，，是方程的两根，所以，，
由，所以，，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.
同课章节目录