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北师大版数学九年级下3.5
确定圆的条件导学案
课题
3.5
确定圆的条件
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.
重点
难点
重点：确定圆的条件.
难点：不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
两个点可以确定一条直线吗?
合
作
探
究
探究一：
经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线．
那么，经过几点能确定一个圆？
探究二：
做一做
作圆，使它经过已知点
A．你能作出几个这样的圆？
（2）作圆，使它经过已知点
A，B．你是如何做的？你能作出几个这样
的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段
AB
有什么关系？为什么？
（3）作圆，使它经过已知点
A，B，C（A，B，C
三点不在同一条直线上）．
你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
利用尺规过不在同一直线上的三点作圆的方法如下：
说说以上作法的道理．
在上面的作图过程中，因为直线
DE
和
FG
只有一个交点
O，并且点
O
到
A，B，C
三个点的距离相等，所以经过
A，B，C
三点可以作一个圆，并且只能作一个圆。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
探究三：
因此，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle
of
triangle），外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（circumcenter）．
做一做
你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？与同伴进行交流．
当
堂
检
测
如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若∠A=55°，则∠OBC的度数为(
)
A.
30°
B.
35°
C.
45°
D.
55°
2、
若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为(
)
A.
35°
B.
110°
C.
35°或145°
D.
35°或140°
3、下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有(
)
①任意三点确定一个圆
②相等的圆心角所对的弧相等
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O.若点A在⊙O内，则r的值可以是(
)
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
5、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于1/2
BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论中错误的是(
)
A.
∠CAD=40°
B.
∠ACD=70°
C.
点D为△ABC的外心
D.
∠ACB=90°
课
堂
小
结
确定圆的条件—
不在同一直线上的三点
圆心、半径
参考答案
自主学习：
两个点可以确定一条直线
合作探究：
探究一：经过一点可作无数个圆.
经过两点可作无数个圆.
探究二：
作法图示
图示图示
1．连接
AB，BC．
2．分别作线段
AB，BC
的垂直平分线
DE和
FG，DE
与
FG
相交于点
O
3．以
O
为圆心，以
OB
为半径作圆．
⊙O
就是所要求作的圆．
探究三：方法:1.在圆弧上任取三点A，B，C.
2.作线段AB，BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.
3.以点O为圆心，OC的长为
半径作圆.
⊙O即为所求.
当堂检测：
1、解：∵∠BOC=2∠A，
∴∠BOC=110°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=35°，
故选：B．
2、①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC=
∠BOC=35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC=(360°-70°)=145°；
故选:C．
3、解:①不在同一条直线上的三点确定一个圆，故错误，符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，符合题意；
③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误，符合题意；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故正确，不符合题意；
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确，不符合题意；
错误的有3个，
故选：C．
4、解：∵OA=5cm，点A在⊙O内，
∴OA5．
故选：D
5、解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=20°，
∴∠B=∠BCD=20°，
∴∠CDA=20°+20°=40°．
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD=(180°-40°)=70°，
∴A错误，B正确；
∵CD=AD，BD=CD，
∴CD=AD=BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD=70°，∠BCD=20°，
∴∠ACB=70°+20°=90°，故D正确．
故选:A
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（共
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3.5
确定圆的条件
数学北师大版
九年级下
复习导入
两个点可以确定一条直线.
两个点可以确定一条什么图形?
新知讲解
经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线．
●A
●
●
A
B
那么，经过几点能确定一个圆？
新知讲解
（1）作圆，使它经过已知点
A．你能作出几个这样的圆？
（2）作圆，使它经过已知点
A，B．你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段
AB
有什么关系？为什么？
（3）作圆，使它经过已知点
A，B，C（A，B，C
三点不在同一条直线上）．
你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
做一做
新知讲解
那么，经过几点能确定一个圆？
A
经过一点可作无数个圆.
新知讲解
那么，经过几点能确定一个圆？
经过两点可作无数个圆.
A
B
它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
利用尺规过不在同一直线上的三点作圆的方法如下：
1．连接
AB，BC．
A
B
C
●
●
●
新知讲解
2．分别作线段
AB，BC
的垂直平分线
DE和
FG，DE
与
FG
相交于点
O．
A
B
C
●
●
●
E
F
O
D
G
新知讲解
3．以
O
为圆心，以
OB
为半径作圆．
⊙O
就是所要求作的圆．
A
B
C
●
●
●
E
F
O
D
G
新知讲解
说说以上作法的道理．
在上面的作图过程中，因为直线
DE
和
FG
只有一个交点
O，并且点
O
到
A，B，C
三个点的距离相等，所以经过
A，B，C
三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.
新知讲解
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
新知讲解
因此，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle
of
triangle），
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（circumcenter）．
新知讲解
你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？与同伴进行交流．
做一做
方法:
1.在圆弧上任取三点A，B，C.
2.作线段AB，BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.
3.以点O为圆心，OC的长为半径作圆.
⊙O即为所求.
课堂练习
1、如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若∠A=55°，则∠OBC的度数为(
)
A.
30°
B.
35°
C.
45°
D.
55°
B
解：∵∠BOC=2∠A，
∴∠BOC=110°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=35°，
故选：B．
课堂练习
课堂练习
2、若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为(
)
A.
35°
B.
110°
C.
35°或145°
D.
35°或140°
C
课堂练习
解：①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC=
∠BOC=35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC=
(360°-70°)=145°；
故选：C．
课堂练习
3、下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有(
)
①任意三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
C
课堂练习
解:①不在同一条直线上的三点确定一个圆，故错误，符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误，符合题意；
课堂练习
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故正确，不符合题意；
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确，不符合题意；
错误的有3个，
故选：C．
课堂练习
4、已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O.若点A在⊙O内，则r的值可以是(
)
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
解：∵OA=5cm，点A在⊙O内，
∴OA5．
D
拓展提高
5、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论中错误的是(
)
A.
∠CAD=40°
B.
∠ACD=70°
C.
点D为△ABC的外心
D.
∠ACB=90°
A
拓展提高
解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=20°，
∴∠B=∠BCD=20°，
∴∠CDA=20°+20°=40°．
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD=
(180°-40°)=70°，
∴A错误，B正确；
拓展提高
∵CD=AD，BD=CD，
∴CD=AD=BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD=70°，∠BCD=20°，
∴∠ACB=70°+20°=90°，故D正确．
课堂总结
确定圆的条件——
不在同一直线上的三点
圆心、半径
板书设计
课题：3.5
确定圆的条件
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定理
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P88
练习第2,3题
练习册基础
能力作业：
课本P88练习第4题
