(共29张PPT)
3.6
直线和圆的位置关系（2）
数学北师大版
九年级下
复习导入
直线与圆的位置关系
公共点个数
公共点名称
数量关系
dd
=
r
d
>
r
交点
切点
无
2
1
0
相离
相切
相交
新知讲解
如图
3-27，AB是⊙O的直径，直线l经过点
A，
l与AB的夹角为∠α．当l绕点A旋转时，
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变
化？直线l
与⊙O的位置关系如何变化？
（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等
于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
图
3-27
新知讲解
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变
化？直线l
与⊙O的位置关系如何变化？
图
3-27
∠α?越小，点O到
l
的距离d越小；
∠α=90°时，直线
l
与⊙O相切;
∠α＜90°时，直线
l
与⊙O相交.
新知讲解
（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等
于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
图
3-27
∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径
r；
此时，直线l与⊙O相切.
新知讲解
由此可得到一个结论：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
新知讲解
已知
⊙O
上有一点
A，过点
A
作出
⊙O
的切线．
做一做
解：如图,
∵OA是⊙O的半径,
直线CD经过A点，且CD⊥OA,
∴
CD是⊙O的切线.
C
D
B
●
O
A
新知讲解
例2
如图
3-28，在
△ABC
中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
图
3-28
新知讲解
图
3-29
解：1．作
∠B，∠C的平分线
BE
和
CF，交点为
I（如图3-29）．
2．过
I
作
ID⊥BC，垂足为
D．
3．以
I
为圆心、以
ID
为半径作
⊙I．
⊙I
就是所求的圆．
你能说说这种作法的道理吗？
新知讲解
由例
2
的作图过程可知，BE
和
CF
只有一个
交点
I，并且
I
到△ABC
三边的距离相等，因此
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed
circle
of
triangle），
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．
切线的判定方法有3种:
1、定义:直线与圆只有一个公共点.
2、圆心到直线的距离等于半径.
3、定理:过圆上一点（直径的端点），且垂直于过该点的半径的直线是圆的切线.
新知讲解
课堂练习
1、下列命题中正确的是(
)
A.
与圆有公共点的直线是圆的切线
B.
经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C.
垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.
到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D
课堂练习
解：A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项错误；
B.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，不是圆的直径，故该选项错误；
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项错误；
D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，正确．
故选:D．
课堂练习
2、如图，点O为△ABC内心，点M、N在边AC上，且CM=CB，AN=AB，若∠B=100°，则∠MON=(
)
A.
60°
B.
70°
C.
75°
D.
80°
D
课堂练习
解：如图，连接OA、OB、OC，
∵点O为△ABC内心，
∴∠BCO=∠MCO，
∵CB=CM，OC=OC，
∴△BCO≌△MCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CMO，
同理可得：△BAO≌△NAO(SAS)，
∴∠ABO=∠ANO，
∵∠CBA=∠CBO+∠ABO=100°，
∴∠CMO+∠ANO=100°，
∴∠MON=180°-(∠CMO+∠ANO)=80°．
故选:D．
课堂练习
课堂练习
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE=∠DAC，AC=12．
(1)求⊙O半径；
(2)求证：DE为⊙O的切线；
课堂练习
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AB=AC=12，
∴⊙O半径为6；
课堂练习
(2)证明：连接OD，
∵∠CDE=∠DAC，
∴∠CDE+∠C=∠DAC+∠C，
∴∠AED=∠ADB，
由(1)知∠ADB=90°，
∴∠AED=90°，
课堂练习
∵DC=BD，OA=OB
∴OD//AC．
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
拓展提高
4、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
拓展提高
证明：(1)连接OC．
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，
∴CD是⊙O切线；
拓展提高
(2)作OF⊥AB于F，
∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，
∴四边形CDFO是矩形，
∴OC=FD，OF=CD，
∵CD=2AD，设AD=x，
则OF=CD=2x，
∵DF=OC=10，
∴AF=10-x，
拓展提高
在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，
∴(10-x)2+(2x)2=102，
解得x=4或0(舍去)，
∴AD=4，AF=6，AC=
，
∵OF⊥AB，
∴AB=2AF=12
课堂总结
总结：
证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法:
a.过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径;
b.连接圆心与圆上的点，证垂直.
证明切线：
a.若知道直线与圆有公共点时,经常“连半径，证垂直”;
b.若不能确定直线与圆有无公共点时，常常“作垂直，证与半径相等”.
板书设计
课题：3.6
直线和圆的位置关系（2）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、直线和圆的位置关系
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P93练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P93练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级下3.6直线和圆的位置关系（2）导学案
课题
3.6直线和圆的位置关系（2）
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
（1）能判定一条直线是否为圆的切线．
（2）会过圆上一点画圆的切线．
（3）会作三角形的内切圆．
重点
难点
（1）探索圆的切线的判定方法，并能运用．
（2）作三角形内切圆的方法．
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、下列直线中一定是圆的切线的是
A.
与圆有公共点的直线
B.
到圆心的距离等于半径的直线
C.
垂直于圆的半径的直线
D.
过圆的直径端点的直线
2、下列说法正确的是
A.
三点确定一个圆
B.
度数相等的弧是等弧
C.
三角形内心到三边的距离相等
D.
垂直于半径的直线是圆的切线
合
作
探
究
探究一：
如图
3-27，AB是⊙O的直径，直线l经过点
A，l与AB的夹角为∠?α．当l绕点A旋转时，
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l
与⊙O的位置关系如何变化？
（2）当∠α?等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
探究二：
已知
⊙O
上有一点
A，过点
A
作出
⊙O
的切线．
例
2
如图
3-28，在
△ABC
中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
图
3-28
由例2
的作图过程可知，BE
和
CF
只有一个交点
I，并且
I
到△ABC
三边的距离相等，因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed
circle
of
triangle），
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．
切线的判定方法有3种:
1、定义:直线与圆只有一个公共点.
2、圆心到直线的距离等于半径.
3、定理:过圆上一点（(直径的端点），且垂直于过该点的半径的直线是圆的切线.
当
堂
检
测
1、下列命题中正确的是(
)
A.
与圆有公共点的直线是圆的切线
B.
经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C.
垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.
到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
2、如图，点O为内心，点M、N在边AC上，且，，若，则
A.
B.
C.
D.
3、如图，AB是的直径，BD是的弦，延长BD到点C，使，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若，．
求半径；
求证：DE为的切线.
4、如图，已知直线PA交于A、B两点，AE是的直径，点C为上一点，且AC平分，过C作，垂足为D．
求证：CD为的切线；
若，的直径为20，求线段AC、AB的长．
课
堂
小
结
总结：
证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法:
a.过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径;
b.连接圆心与圆上的点，证垂直.
证明切线：
a.若知道直线与圆有公共点时,经常“连半径，证垂直”;
b.若不能确定直线与圆有无公共点时，常常“作垂直，证与半径相等”.
参考答案
自主学习：
解：与圆有1个公共点的直线是圆的切线，与圆有2个公共点的直线是圆的割线，故本选项错误；
B.?到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C.?垂直于圆的半径且过此半径的外端点的直线是圆的切线，故本选项错误；
D.?经过圆的直径一端点的直线且垂直于此直径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故选:B．
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，错误；?
?
?
?
?
?
?
?
B.能够重合的弧是等弧，错误；
C.三角形内心到三边的距离相等，正确；??
D.过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，错误．
故选:C．
合作探究：
探究一：
（1）
∠?α?越小，点O
到
l
的距离
d越小；
∠?α=90°时，直线
l
与⊙O相切
∠?α＜90°时，直线
l
与⊙O相交
（2）∠?α?=90°时，点O到l的距离d等于半径
r；
此时，直线l与⊙O相切。
探究二：
解：如图
∵OA是⊙O的半径,
直线CD经过A点，且CD⊥OA,
∴
CD是⊙O的切线.
探究三：
解：1．作
∠?B，∠?C
的平分线
BE
和
CF，交点为
I（如图3-29）．
2．过
I
作
ID⊥BC，垂足为
D．
3．以
I
为圆心、以
ID
为半径作
⊙I．
⊙I
就是所求的圆．
当堂检测：
1、解：A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项错误；
B.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，不是圆的直径，故该选项错误；
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项错误；
D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，正确．
故选:D．
2、解：如图，连接OA、OB、OC，
点O为内心，
，
，，
≌，
，
同理可得：≌，
，
，
，
．
故选:D．
3、解：为的直径，
，
，
又，
，
半径为6；
证明：连接OD，
，
，
，
由知，
，
，
．
，
半径．
为的切线．
4、证明：连接OC．
点C在上，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是切线；
作于F，
，
四边形CDFO是矩形，
，，
，设，则，
，
，
在中，，
，
解得或舍去，
，，，
，
．
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精品试卷·第
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