第二章
函数
1
生活中的变量关系
[A组 学业达标]
1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
解析：积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
答案：A
2．已知变量x、y满足y＝|x|，则下列说法错误的是( )
A．x、y之间有依赖关系
B．x、y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
解析：由于y＝|x|，任意一个x值都有唯一的y与之对应，∴y是x的函数．故A、B、C正确；∵y＝|x|，∴x＝±y，即当y取一个正值时，有两个x与它对应，∴x不是y的函数．故D不正确．故选D.
答案：D
3．下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
解析：由图像可知，这天的最高温度与最低温度相差36℃－22℃＝14℃，故选C.
答案：C
4．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( )
A．角度和它的正弦值
B．正方形边长和面积
C．正n边形边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高
解析：A中的任意一个角总对应唯一的一个正弦值，B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积，C中任意的正n边形边数(n≥3)总对应唯一的顶点角度之和((n－2)180°)，故A、B、C均为函数关系；而D中的任意一个年龄对应的身高不唯一，故而不是函数关系．所以D选项是正确的．
答案：D
5．国内快递1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1
000
1
000＜x≤1
500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要邮寄800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．8.00元
解析：根据题意知，x＝1
200,1
000＜1
200≤1
500，所以他应付的邮资y＝7.00元．
答案：C
6．某公司生产某种产品的成本为1
000元，以1
100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．
解析：收入＝(1
100－1
000)×产品数量＝100×产品数量，所以收入随产品数量的增加而增加，它们是函数关系．
答案：增加 函数
7．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数
含金量(%)
K数
含金量(%)
24K
99以上
12K
50
22K
91.7
10
K
41.66
21K
87.5
9
K
37.5
18K
75
8
K
33.34
14K
58.5
6
K
25
饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．
解析：通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．
答案：函数 越高
8．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．
(2)乙在这次赛跑中的速度是________m/s.
解析：(1)由于甲到达终点用了12
s，乙到达终点用了12.5
s，故甲先到终点．
(2)总路程为100
m，而乙所用的时间为12.5
s，利用公式：速度＝，可得乙的速度为＝8
m/s.
答案：(1)甲 (2)8
9．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
解析：(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
10．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解析：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米；
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时；
(3)第一次休息时，离家17千米；
(4)11：00至12：00他骑了13千米；
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时，
10：00～10：30的平均速度是14千米/时；
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
[B组 能力提升]
11．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则( )
A．x，y之间有依赖关系
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
解析：小麦总产量y与每亩施肥量x存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其它因素的影响，所以x和y之间无函数关系．故选A.
答案：A
12．星期天晚上，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程的距离s(m)与散步所用时间t(min)之间的函数关系．依据图像，下面描述符合小红散步情景的是
( )
A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了
解析：图像OA段表示物体匀速直线运动，AB段表示物体静止，BC段表示物体沿原方向匀速直线运动，CD段表示物体反方向匀速直线运动返回出发点，符合答案的是B选项的说法．所以B选项是正确的．
答案：B
13．圆柱的高为10
cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为________，当底面半径从2
cm变化到5
cm时，圆柱的体积由________(cm3)变化到________(cm3)．
解析：因为圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，所以圆柱底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；由圆柱的高为10
cm，所以圆柱的体积V与r的关系式为V＝10πr2，当底面半径为2
cm时，V＝40π(cm3)；当底面半径为5
cm时，V＝250π(cm3)．
答案：圆柱底面半径 圆柱体积 V＝10πr2 40π 250π
14．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80
km的两城镇间旅行的函数图像，由图可知：骑自行车者用了6小时(含途中休息了1小时)，骑摩托车者用了2小时．有人根据这个函数图像，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确信息的序号是________．
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．
解析：由图像可以看出骑自行车者早出发3个小时，晚到1个小时，速度是先快后慢，然后再快，是变速运动；骑摩托车者也是变速运动，但速度变化不大．骑摩托车者在出发1小时后追上骑自行车者．故①正确，②③错误．
答案：①
15．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，睛天在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s＝v2确定；雨天行驶时，这一公式为s＝v2.
(1)如果行车速度是70
km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？
(2)如果行车速度分别是60
km/h与80
km/h，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？
(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？
解析：(1)v＝70
km/h，
s晴＝v2＝×702＝49(m)，
s雨＝v2＝×702＝98(m)，
s雨－s晴＝98－49＝49(m)．
(2)v1＝80
km/h，v2＝60
km/h，
s1＝v＝×802＝128(m)，
s2＝v＝×602＝72(m)．
刹车距离相差：s1－s2＝128－72＝56(m)．
(3)在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴天的刹车距离．
在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大．请司机师傅一定要注意天气情况与车速．
16．如图是某地一天的气温随时间变化的图像，根据这张图回答：在这一天中，
(1)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少度？
(2)20时的气温是多少？
(3)什么时候气温为6℃？
(4)哪段时间内气温不断下降？
(5)哪段时间内气温持续不变？
解析：(1)16时气温最高，4时气温最低，最高气温和最低气温各是10℃和－4℃；
(2)20时的气温是8℃；
(3)10时和22时的气温为6℃；
(4)0时到4时和16时到24时的气温不断下降；
(5)12时到14时的气温持续不变．
PAGE2.1
函数概念
[A组 学业达标]
1．(2019·蒸湘区高一月考)下列各组函数中是同一函数的是( )
A．f(x)＝x0，g(x)＝1
B．f(x)＝，g(x)＝·
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝|x|，g(t)＝
解析：A.f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；B.f(x)＝的定义域为R，g(x)＝·的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一函数；C.f(x)＝，g(x)＝＝，解析式不同，不是同一函数；D.f(x)＝|x|的定义域为R，g(t)＝＝|t|的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．
答案：D
2．(2019·天津市宝坻区高一三校联考)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－1,2)∪(2，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－1,2)
D．[－1，＋∞)
解析：要使函数有意义，需满足，解得x≥－1且x≠2，所以函数的定义域是x∈[－1,2)∪(2，＋∞)．
答案：A
3．已知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为( )
A．R
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5}
D.
解析：△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，
∴x＜5，又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，x＞.故此函数的定义域为.
答案：D
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1]
B．[0,1)
C．[0,1]∪(1,4]
D．(0,1)
解析：由题意，得即0≤x＜1.
答案：B
5．函数y＝－x2的值域为________．
解析：结合函数的图像(图略)易知，值域为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意3a－1＞a，则a＞.
答案：
7．关于f(x)，f(a)，f(t)(其中a为定值，x、t为自变量)，下列说法正确的是________(把正确答案的题号都填上)．
①f(x)是f与x的积；
②f(a)是常量，f(x)，f(t)是变量；
③f(a)，f(t)，f(x)是同一函数．
解析：①不正确，f(x)是一个整体，是一个符号，不是f与x的积；②正确，f(a)是当x＝a时函数f(x)的函数值；③不正确，f(a)是常量与f(x)、f(t)不同．
答案：②
8．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解析：要使函数有意义，则即
∴－2≤x≤3，且x≠.
∴函数的定义域是.
用区间表示为∪.
9．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解析：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
[B组 能力提升]
10．(2019·苏州高一模拟)若函数f(x)的定义域为(1,2)，则f(x2)的定义域为( )
A．{x|1＜x＜4}
B．{x|1＜x＜}
C．{x|－＜x＜－1，或1＜x＜}
D．{x|1＜x＜2}
解析：∵f(x)的定义域为(1,2)；
∴f(x2)满足1＜x2＜2；
∴－＜x＜－1或1＜x＜；
∴f(x2)的定义域为{x|－＜x＜－1，或1＜x＜}．
答案：C
11．(2019·广东佛山市高一模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞)
B.
C.
D.
解析：由题意知，mx2＋4mx＋3≠0在R上恒成立．
(1)当m＝0时，满足条件；
(2)当m≠0时，二次方程
mx2＋4mx＋3＝0，无实根，故Δ＝16m2－12m＜0，
所以0＜m＜.综上，0≤m＜.
答案：D
12．若函数f(x)满足f(2x－1)＝x＋1，则f(3)＝________.
解析：令2x－1＝3，则x＝2，故f(3)＝2＋1＝3.
答案：3
13．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．故a＝1.
答案：1
14．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(a)＝2，求a的值；
(3)求证：f＝－f(x)．
解析：(1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
(2)因为f(x)＝，且f(a)＝2，所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.
(3)证明：由已知得f＝＝，
－f(x)＝－＝，
∴f＝－f(x)．
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
014)＋f＋f＋…＋f.
解析：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f＝＝，
f(3)＝＝，f＝＝.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1，证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，…，f(2
014)＋f＝1.∴原式＝f(1)＋2
013＝.
PAGE映射
[A组 学业达标]
1．(2019·道里区高一模拟)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应关系不能构成从集合A到集合B映射的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝
解析：对于f：x→y＝x，当在A中取x＝4时，y＝?B，故不能构成从A到B的映射．
答案：C
2．(2019·四川绵阳江油中学高三模拟)设f(x)＝则不等式f(x)＜f(－1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3，－1)∪(2，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(－1,3)
解析：因为f(－1)＝3，所以原不等式等价于或解得－3＜x＜－1或x＞3，所以解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
答案：A
3．已知f：x→x2是集合A到集合B＝{0,1,4}的一个映射，则集合A中的元素最多有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
解析：令x2＝0,1,4，解得x＝0，±1，±2.故选C.
答案：C
4．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为( )
A．1
B．0
C．－1
D．π
解析：∵g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案：B
5．已知函数y＝则f(3)等于( )
A．0
B．3
C．6
D．9
解析：f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，
∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.
答案：C
6．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
解析：由f(2)＝3可知，2a－1＝3，∴a＝2，
∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
答案：5
7.已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式为________．
解析：当0≤x≤1时，f(x)＝－1；
当1＜x≤2时，
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
解得此时f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
答案：f(x)＝
8．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
解析：当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2知，x≤1，
∴0≤x≤1；当x＜0时，f(x)＝0，∴x＜0.综上：x≤1.
答案：{x|x≤1}
9．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(4.5)，f；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
解析：(1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f＝2.
又2∈(1，＋∞)，
∴f＝f(2)＝2×2＝4.
因为4.5∈(1，＋∞)，
故f(4.5)＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，
令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
所以a的值为－3或3.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图像；
(3)写出该函数的值域．
解析：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x.
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示：
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[B组 能力提升]
11．函数f(x)＝的值域是( )
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
解析：作出y＝f(x)的图像如图所示：
由图知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}．
答案：D
12．设函数f(x)＝则f的值为( )
A.
B．－
C.
D．18
解析：f(2)＝22＋2－2＝4，f＝f＝1－2＝，故选A.
答案：A
13．(2019·遵化市高一模拟)设函数f(x)＝|x2－4x－5|，g(x)＝k，若函数f(x)与g(x)有4个交点，则k的取值范围为________．
解析：f(x)＝|x2－4x－5|的图像如下：
由图可知：若函数f(x)与g(x)有4个交点，则0＜k＜9.
答案：0＜k＜9
14．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－.
当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，
所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)．
综上，满足条件的a＝－.
答案：－
15．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A、B.
解析：∵f(1)＝4，f(2)＝7，f(3)＝10，f(k)＝3k＋1，
要使f：A→B成立，则a4＝10或a2＋3a＝10.
又a，k∈N，∴a4＝10不成立．
从而由a2＋3a＝10得a＝2或a＝－5(舍去)．
∴B＝{4,7,10,16}，又∵k≠1,2,3，∴3k＋1＝16，
∴k＝5，∴A＝{1,2,3,5}．
16．某市出租车的计价标准是：4
km以内10元，超过4
km且不超过18
km的部分1.2元/km，超过18
km的部分1.8
元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20
km，他要付多少车费？
解析：(1)由题意知，当0＜x≤4时，y＝10；
当4＜x≤18时，y＝10＋1.2(x－4)＝1.2x＋5.2；
当x＞18时，y＝10＋1.2×14＋1.8(x－18)＝1.8x－5.6.
所以，所求函数关系式为
y＝
(2)当x＝20时，y＝1.8×20－5.6＝30.4.
所以乘车行驶了20
km要付30.4元的车费．
PAGE函数的表示法
[A组 学业达标]
1．(2019·商水县高一模拟)函数y＝f(x)如下表所示，则函数的值域是( )
x
x≤2
2≤x≤3
x≥3
y
－2
1
2
A.{y|－2≤y≤2}
B．R
C．{y|－2≤y≤1}
D．{－2,1,2}
解析：根据表中y的取值可得，f(x)的值域是{－2,1,2}．
答案：D
2．(2019·聊城高一模拟)已知f(x＋1)＝x2＋6x＋5，则f(x)的表达式是( )
A．f(x)＝x2＋4x
B．f(x)＝x2＋6x－4
C．f(x)＝x2＋3x－8
D．f(x)＝x2＋4x－4
解析：∵f(x＋1)＝x2＋6x＋5＝(x＋1)2＋4(x＋1)；
∴f(x)＝x2＋4x.
答案：A
3．某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y表示该学生与学校的距离，x表示出发后的时间，则符合题意的图像是( )
解析：由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A，C；又由于开始跑步，后来步行，体现在图像上是先“陡”，后“缓”，故选D.
答案：D
4．在下列图像中，可以作为函数y＝f(x)图像的是( )
解析：判断一个图像是否是函数图像，其关键是分析它是否满足对定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故D可能是函数图像．其他一定不是y＝f(x)的图像．
答案：D
5．若函数f(x)满足f(x)＋2f＝3x，则f(2)的值为( )
A．－1
B．2
C．3
D.
解析：∵f(x)＋2f＝3x，
∴f(2)＋2f＝6，f＋2f(2)＝，
两式消去f，得f(2)＝－1.
答案：A
6．若一个长方体的高为80
cm，长比宽多10
cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
解析：由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x＞0.
答案：y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)
7．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝，∵f(－1)＝2，∴－k＝2，即k＝－2.
∴f(x)＝－.
答案：－
8.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，，(0,4)，(2,0)，则f(－5)＝________，f(f(2))＝________.
解析：由题图可知f(－5)＝，f(2)＝0，f(0)＝4，
故f(f(2))＝4.
答案： 4
9．已知f(x)为二次函数，其图像的顶点坐标为(1,3)，且过原点，求f(x)．
解析：法一：由于图像的顶点坐标为(1,3)，
则设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)．
∵图像过原点(0,0)，∴a＋3＝0，∴a＝－3.
故f(x)＝－3(x－1)2＋3.
法二：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
依题意得即
解得∴f(x)＝－3x2＋6x.
10．作出下列函数的图像，并指出其值域：
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)．
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
解析：(1)用描点法可以作出所求函数的图像如图所示：
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图像如图所示：
由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
[B组 能力提升]
11．函数y＝＋1的图像是下列图像中的( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意，函数y＝＋1的图像可以由函数f(x)＝的图像向左平移一个单位，向上平移一个单位得到，分析可得D符合．
答案：D
12．定义两种运算：a?b＝，a?b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]
B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]
解析：∵f(x)＝＝＝.
由得－2≤x≤2，且x≠0.
∴f(x)＝－.
答案：D
13．函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对于定义域内的任意x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f()的值为________．
解析：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，
∴令x＝y＝，得f(2)＝f()＋f()＝1.
∴f()＝.
答案：
14．已知函数f(x)＝2x＋3，g(2x－1)＝f(x2－1)，则g(x＋1)＝________.
解析：∵f(x)＝2x＋3，
∴f(x2－1)＝2(x2－1)＋3＝2x2＋1.
∴g(2x－1)＝2x2＋1.
令t＝2x－1，则x＝，
∴g(t)＝22＋1＝＋1.
∴g(x)＝＋1.
∴g(x＋1)＝＋1＝x2＋2x＋3.
答案：x2＋2x＋3
15．如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解析：由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
∴此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足即0＜x＜.
∴此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为.
16．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
连线，描点，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)＜f(0)＜f(1)．
(2)根据图像，容易发现当x1＜x2＜1时，
有f(x1)＜f(x2)．
(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
PAGE函数的单调性（
二）
[A组 学业达标]
1．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2
B.
C.
D．－
解析：作出图像(图略)可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.
答案：B
2．函数y＝x2－2x－3在[0,3]上的最大值，最小值为( )
A．－3,0
B．－4,0
C．0，－3
D．0，－4
解析：作出函数图像如图，根据图像可知函数的最大值为0，最小值为－4.
答案：D
3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )
A．42,12
B．42，－
C．12，－
D．无最大值，最小值为－
解析：∵f(x)＝2－，x∈(－5,5)，
∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
答案：D
4．f(x)＝的最大值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：当0≤x≤1时，f(x)max＝f(1)＝2；
当1＜x＜2时，f(x)＝2；
当x≥2时，f(x)＝3，则f(x)的最大值为3.
答案：D
5．已知函数f(x)＝在[1，a]上的最小值为，则a＝________.
解析：∵f(x)＝在[1，a]上是减函数，
∴函数的最小值为f(a)＝＝，∴a＝4.
答案：4
6．f(x)的图像如图所示，则f(x)的值域为________．
解析：由图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2,3]；当x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]，∴当x∈[－2,4]∪[5,8]时，函数f(x)的值域为[－4,3]．
答案：[－4,3]
7．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，求该公司能获得的最大利润．
解析：设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地售(15－x)辆车，由题意：
得总利润y＝－x2＋21x＋2(15－x)(0≤x≤15，x∈N)，即y＝－x2＋19x＋30.
开口向下，对称轴为x＝，
∵x∈N，∴x＝9或10时，ymax＝120.
8．已知函数f(x)＝(x≠1)．
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)上是减函数；
(2)当x∈[3,5]时，求f(x)的最小值和最大值．
解析：(1)证明：设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵x1＞1，x2＞1，∴x1－1＞0，x2－1＞0，
∴(x1－1)(x2－1)＞0.
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)∵[3,5]?(1，＋∞)，∴f(x)在[3,5]上是减函数，
∴f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(5)＝.
[B组 能力提升]
9．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，
∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，
则f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝3＋a＝1.
答案：C
10．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．?
解析：当x≥1时，f(x)＝2x－3是增函数，
则f(x)≥f(1)＝2×1－3＝－1，则m≤－1.
答案：B
11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点坐标为(4,6)．由图像可知，函数f(x)的最大值为6.
答案：6
12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________
m.
解析：设矩形花园的宽为y
m，
则＝，即y＝40－x，
矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，
当x＝20
m时，面积最大．
答案：20
13．(2019·福州高一模拟)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并利用函数单调性定义进行证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)＝，在[3,5]上是单调递增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵3≤x1＜x2≤5，
∴x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知f(x)＝在[3,5]上单调递增，
∴函数f(x)的最大值f(x)max＝f(5)＝＝，函数f(x)的最小值f(x)min＝f(3)＝＝.
14．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)因为f(x)图像的对称轴为x＝－a，
由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围为a≤－5或a≥5.
(2)当a＞5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，
解得a＝(舍去)；
当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，
解得a＝±；
当a＜－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，
解得a＝－(舍去)．综上：a＝±.
PAGE函数的单调性（一）
[A组 学业达标]
1．(2019·泸县高一模拟)在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A．f(x)＝－3x＋2
B．f(x)＝
C．y＝|x|
D．f(x)＝－2x2＋4
解析：对于A，函数在R递减；对于B，函数在(－∞，0)递减；对于C，x＜0时，y＝－x，递减；对于D，函数的对称轴是x＝0，开口向下，故函数f(x)在(－∞，0)递增．
答案：D
2．若函数y＝ax与y＝－在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：由于函数y＝ax与y＝－在区间(0，＋∞)上都是减函数，所以a＜0，－b＞0，即a＜0，b＜0.因为抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为x＝－＜0，且抛物线开口向下，所以y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是减函数．
答案：B
3．若函数f(x)＝x2＋3ax＋5在区间(－∞，5)上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为函数f(x)＝x2＋3ax＋5的单调递减区间为，所以(－∞，5)?，所以a≤－.
答案：A
4．(2019·临猗县高一模拟)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－2
B．2
C．－6
D．6
解析：∵f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间，
∴由－＝3得a＝－6.
答案：C
5．(2019·马尾区高一模拟)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上单调递增的函数，则满足f(2x－1)＜f的x取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵f(x)是定义在[0，＋∞)上单调递增的函数，
∴不等式f(2x－1)＜f等价为0≤2x－1＜，
即≤x＜，即不等式的解集为.
答案：C
6．(2019·海淀区高一模拟)写出函数f(x)＝－x2＋2|x|的单调递增区间是________．
解析：由题意，函数
f(x)＝－x2＋2|x|＝
作出函数f(x)的图像如图所示：
由图像知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)和(0,1)．
答案：(－∞，－1)和(0,1)
7．已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2)时，f(x)是减函数，则f(1)＝________.
解析：∵函数f(x)在(－∞，－2)上是减函数，
在[－2，＋∞)上是增函数，
∴x＝－＝＝－2，
∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3.
∴f(1)＝13.
答案：13
8．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)________f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)
解析：∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．
答案：≤
9．(2019·重庆高一模拟)已知函数f(x)＝2x＋，且f(3)＝5.
(1)若f＞3a＋1，求实数a的取值范围．
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明你的结论．
解析：(1)∵f(x)＝2x＋，且f(3)＝5，
∴6＋＝5，解得：m＝－3，
故f(x)＝2x－，f＝1－6＞3a＋1，
解得：a＜－2；
(2)f(x)在(0，＋∞)是递增函数，证明如下：
设x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋
＝(x1－x2)，
∵x1＞x2＞0，
∴(x1－x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
故f(x)在(0，＋∞)递增．
10．已知函数f(x)＝4x2－kx－8，x∈[5,10]．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的值域．
(2)若f(x)在定义域上具有单调性，求k的取值范围．
解析：(1)k＝1时，f(x)的对称轴为，f(x)在[5,10]上单调递增，因为
f(5)＝87，f(10)＝382，
所以f(x)的值域为[87,382]．
(2)由题意：对称轴≤5或≥10，
所以k≤40或k≥80，
所以k的取值范围为(－∞，40]∪[80，＋∞)．
[B组 能力提升]
11．(2019·焦作高一模拟)若函数y＝ax2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：当a＝0时，函数y＝－x＋1在区间(－∞，2]上显然是减函数；
当a≠0时，要使函数y＝ax2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，需
解得0＜a≤，
综上所述：实数a的取值范围是.
答案：A
12．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1.
∵g(x)＝在区间[1,2]上为减函数，
∴a＞0，∴0＜a≤1.
答案：D
13．(2019·涪城区高一期中)已知函数f(x)＝且f(x)在R上递减，则实数a的取值范围________．
解析：∵函数f(x)在R上单调递减，
∴解得2≤a≤3.
答案：[2,3]
14．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：设x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
因为x1，x2∈(－2，＋∞)，x1＜x2，
所以x2－x1＞0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，
又因为已知函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以1－2a＜0，所以a＞.
答案：
15．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2，2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解析：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)成立；反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
因为f(1－m)＜f(m)，
所以解得＜m≤2.
所以实数m的取值范围为.
16．已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.
(1)求f(1)、f(4)的值；
(2)求满足f(x)＋f(x－3)＞2的x的取值范围．
解析：(1)取x＝y＝1，则：f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0；
取x＝y＝2，则：f(4)＝f(2)＋f(2)＝2，
即f(4)＝2.
(2)由题意得，f[x(x－3)]＞f(4)；
∴x应满足：解得x＞4.
∴满足f(x)＋f(x－3)＞2的x的取值范围是(4，＋∞)．
PAGE二次函数性质的再研究
[A组 学业达标]
1．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f(x)＝ax2－2ax＋b的图像上的两个点，则( )
A．a＝，b＝
B．a＝，b＝－
C．a＝－，b＝
D．a＝－，b＝－
解析：由题知解得
答案：C
2．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是( )
解析：由一次函数特点知a＜0，b＜0，所以对二次函数y＝ax2＋bx而言，开口向下，且对称轴x＝－＜0在y轴的左边，故C选项正确．
答案：C
3．(2019·天津市七校高一模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax在x∈[－2,1]上有最小值－1，则a的值为( )
A．－1或1
B.
C.或－
1
D.或1或－1
解析：函数的对称轴是x＝－a，当函数的最小值是－1时，有或或解得a＝±1，故选A.
答案：A
4．(2019·天津一中高一模拟)已知二次函数f(x)＝x2－2x－4在区间[－2，a]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,1)
B．(－2,4]
C．[1,4]
D．[1，＋∞)
解析：在f(x)＝x2－2x－4中，f(－2)＝f(4)＝4，f(1)＝－5，所以当y∈[－5,4]时，a∈[1,4]．
答案：C
5．若函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，故由题知，a≤1或a≥2.
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
6．若顶点坐标为(2，－2)的二次函数f(x)的图像与g(x)＝－3(x＋1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意可得函数f(x)的顶点式f(x)＝3(x－2)2－2，即f(x)＝3x2－12x＋10.
答案：f(x)＝3x2－12x＋10
7．已知二次函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，a]，且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是________．
解析：结合函数图像(图略)由题意知，[2，a]?(－∞，3]，∴2＜a≤3.
答案：(2,3]
8．已知二次函数y＝x2＋2x＋1.
(1)写出函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值，并指出它可由y＝x2的图像怎样变化得到；
(2)求函数图像与y轴、x轴的交点；
(3)作出函数的图像；
(4)求函数的单调区间；
(5)观察图像：当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＝0？当x为何值时，y＜0?
解析：(1)∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋2)2－1，
∴函数图像的开口向上，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x＝－2.∵a＝＞0，函数没有最大值，有最小值，当x＝－2时，ymin＝－1.
(2)令x＝0，则y＝1，∴函数图像与y轴交于(0,1)．
令y＝0，则x2＋2x＋1＝0，
解得x1＝－2－，x2＝－2＋.
∴函数图像与x轴交于点(－2－，0)，(－2＋，0)．
(3)∴函数图像如图：
(4)由图像可知，函数的单调递减区间是(－∞，－2]，单调递增区间是[－2，＋∞)．
(5)由图像知，当x＜－2－或x＞－2＋时，y＞0；当x＝－2－或x＝－2＋时，y＝0；当－2－＜x＜－2＋时，y＜0.
9．已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝1，且f(1)＝4，f(4)＝－5.
(1)求函数f(x)的解析式，并画出f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间，并指明在该区间上的单调性；
(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得所以函数f(x)＝－x2＋2x＋3，f(x)的图像如图所示．
(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是递增的，在区间[1，＋∞)上是递减的．
(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]?(－∞，1]，则有m≤1.
[B组 能力提升]
10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为( )
A．0或1
B．1
C．2
D．以上都不对
解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2，对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.
答案：B
11．函数y＝2－的值域是( )
A．[－2,2]
B．[1,2]
C．[0,2]
D．[－，]
解析：要求函数y＝2－的值域，只需求t＝(x∈[0,4])的值域即可．设二次函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0,4])，所以f(x)的值域是[0,4]．因为t＝，所以t的值域是[0,2]．
所以－t的值域是[－2,0]．
故函数y＝2－的值域是[0,2]．故选C.
答案：C
12．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．
解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由(x－1)2＋2＝3，得x＝0或x＝2.作出函数图像如图所示，由图像知，m的取值范围是1≤m≤2.
答案：[1,2]
13．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．
解析：由题意知，f(x)在区间[1,5]上为减函数．
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2＋2－(a－1)2，
∴－(a－1)≥5，即a≤－4.
答案：(－∞，－4]
14．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t＞0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x＞42，x∈N)(元)之间可以看成是一次函数关系t＝－3x＋204.
(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差)；
(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
解析：(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8
568(42＜x＜68，x∈N)．
(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42＜x＜68，x∈N)，则当x＝55时，ymax＝507.
即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．
15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是递减的，在区间[2,6]上是递增的，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35.
f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，
∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
PAGE5
简单的幂函数
[A组 学业达标]
1．函数y＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：由题易知定义域是(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数又不是偶函数．
答案：D
2．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．坐标原点对称
B．x轴对称
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
解析：∵函数f(x)的定义域关于原点对称，
又f(－x)＝＋x＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
故其图像关于坐标原点对称．
答案：A
3．已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．而2＜3＜π，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2)＜f(3)＜f(π)．∴f(－2)＜f(－3)＜f(π)．故选A.
答案：A
4．已知当x＞0时，f(x)＝x－2
015，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x＋2
015
B．f(x)＝－x＋2
015
C．f(x)＝－x－2
015
D．f(x)＝x－2
015
解析：若x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－x－2
015.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋2
015.故选A.
答案：A
5．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.
解析：f(－2)＝(－2)5＋a·(－2)3＋b·(－2)－8＝10，
∴25＋a·23＋2b＝－18.
∴f(2)＝25＋a·23＋2b－8＝－26.
答案：－26
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝________.
解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.
答案：0
7．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．
解析：利用奇函数图像的性质，画出函数在[－5,0]上的图像，直接从图像中读出信息．则原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图像，知它在[－5,0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案：(－2,0)∪(2,5)
8．已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．
解析：∵函数f(x)＝是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
因此，有＝－，∴c＝－c，即c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.
由f(2)＜3，得＜3，即＜0，
解得－1＜a＜2.
∵
a，b，c∈Z，∴a＝0或a＝1.
当a＝0时，b＝?Z(舍去)．当a＝1时，b＝1.
综上可知，a＝1，b＝1，c＝0.
9．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．
解析：∵当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2，且f(x)是奇函数，
∴当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝x2－3x＋2.
故当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.
∴当x∈时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．因此当x∈[1,3]时，
f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝－2.
∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.
[B组 能力提升]
10．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是( )
A．f＞f
B．f＜f
C．f≥f
D．f≤f
解析：因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，
所以f＝f≥f.
答案：C
11．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)＞f(7)
B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9)
D．f(7)＞f(10)
解析：由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图像的对称轴为x＝8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图像(如图)，
则有f(6)＜f(7)，f(6)＝f(10)＜f(9)，f(7)＝f(9)＞f(10)．故选D.
答案：D
12．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
解析：法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，
则F(x)为奇函数．
∵当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，F(x)＝h(x)－2≤3.
当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)≤3?－F(x)≤3?F(x)≥－3.
∴h(x)≥－3＋2＝－1.
法二：由题意知af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上有最大值3，根据奇函数的图像关于原点的对称性，知af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上有最小值－3，
∴af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－1.
答案：－1
13．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
解析：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝22＋＞0，
2a2－2a＋3＝22＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，
即3a－2＞0，解得a＞，
∴a的取值范围为.
14．函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f＝.
(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性，并且用定义证明你的结论．
解析：(1)根据题意得
即解得∴f(x)＝.
(2)任取－1＜x1＜x2＜1，
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0，
1＋x＞0，
1＋x＞0.
又∵－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
PAGE5
简单的幂函数（一）
[A组 学业达标]
1．下列函数为幂函数的是( )
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.
A．①③⑤
B．①②⑤
C．③⑤
D．只有⑤
解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x不是幂函数；④y＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．
答案：C
2．函数y＝的图像大致是( )
解析：因为函数y＝在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，排除选项A，D；又＞1，排除选项C，故选B.
答案：B
3．下列命题正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像只在第一象限出现
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图像不可能在第四象限
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A选项不正确；易知选项B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限，故选项D正确．
答案：D
4．已知则( )
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．a＜c＜b
答案：A
5．当x∈(1，＋∞)时函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(－∞，0)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
解析：由幂函数的图像知α＜1.
答案：C
6．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．
解析：由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，符合题意；当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．
答案：2
7．已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则f＝________.
答案：2
8．若则实数a的取值范围是________．
答案：(3，＋∞)
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)幂函数？
解析：(1)若f(x)为正比例函数，
则?m＝1.
(2)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
[B组 能力提升]
10．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1或2
解析：依据题意有解得n＝1.
答案：B
11．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则( )
A．－1＜n＜0,0＜m＜1
B．n＜－1,0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
解析：结合幂函数的图像和性质知，n＜－1,0＜m＜1.
答案：B
12．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，则函数f(x)的解析式是________．
解析：由幂函数性质知m2－1＜0，解得－1＜m＜1，
又m∈Z，所以m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
13．已知,则x的取值范围是________．
解析：由幂函数的图像可知：当时，x＜0或x＞1.
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
14．已知幂函数f(x)＝
(m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数．
∴f(2－a)＞f(a－1)等价于2－a＞a－1≥0，
解得1≤a＜.
15．已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
解析：f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.
f(x)的图像可由y＝x－2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m＜0))平移|m|个单位长度而得(如图所示)．
显然，图像关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π＞5，
∴f(－π)＝f(2＋π)＞f(5)．
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