模块综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则?U(M∩N)＝( )
A．{1,2}
B．{2,3}
C．{2,4}
D．{1,4}
2．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( )
A．57
B．56
C．49
D．8
3．下列函数与y＝|x|表示同一函数的是( )
A．y＝()2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
4．下列根式，分数指数幂互化中正确的是( )
5．已知函数f(x)＝·，则函数的定义域为( )
A．{x|x≥－2}
B．{x|x≥－5}
C．{x|x≤5}
D．{x|x≥2}
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝( )
7．若f(ln
x)＝3x＋4，则f(x)的表达式为( )
A．3ln
x
B．3ln
x＋4
C．3ex
D．3ex＋4
8．已知lg
a＋lg
b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是( )
9．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图给出了函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图像(a＞0且a≠1)，则与函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图像是( )
A．①②③④
B．①③②④
C．②③①④
D．①④③②
11．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2，则当x∈[1,3]时，f(x)的最小值是( )
A．2
B.
C．－2
D．－
12．若不等式lg≥(x－1)lg
3对任意的x∈(－∞，1]恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________.
14．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
16．下列命题：
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)＝0；
③f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)既不是奇函数又不是偶函数；
④f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
其中真命题的序号是________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝{x|x＞0}，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5－a＜x＜a}．
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若C?(A∪B)，求a的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝－9x＋3x＋1＋4.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)当x∈[0,1]时，求函数f(x)的值域．
19．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数的图像，根据图像写出函数f(x)的单调区间．
20．(12分)某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资的函数模型为y＝k1x，B产品的利润与投资的函数模型为y＝k2xα(利润和投资的单位为百万元)，其关系分别为图1、图2所示．
(1)分别求出A，B两种产品的利润与投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到资金1千万元，并准备全部投入到A，B两种产品的生产，问怎样分配这1千万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少？(精确到万元)
21．(12分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
22．(12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求使f(x)＋g(x)＜0成立的x的集合．
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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则?U(M∩N)＝( )
A．{1,2}
B．{2,3}
C．{2,4}
D．{1,4}
解析：∵M∩N＝{2,3}，∴?U(M∩N)＝{1,4}，故选D.
答案：D
2．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( )
A．57
B．56
C．49
D．8
解析：集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
答案：B
3．下列函数与y＝|x|表示同一函数的是( )
A．y＝()2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
解析：如果函数的定义域、对应法则及值域相同，则表示同一函数，A定义域为{x|x≥0}，与y＝|x|的定义域不同；y＝的值域为R，与y＝|x|的值域不同；D中x≠0，与y＝|x|的定义域不同；C中y＝＝|x|正确．
答案：C
4．下列根式，分数指数幂互化中正确的是( )
解析：结合可知A、B、D均不正确，只有C正确．
答案：C
5．已知函数f(x)＝·，则函数的定义域为( )
A．{x|x≥－2}
B．{x|x≥－5}
C．{x|x≤5}
D．{x|x≥2}
解析：由题意得即
∴x≥2.故选D.
答案：D
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝( )
解析：因为函数y＝f(x)的图像经过点(，a)，
所以函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像过点(a，)．
所以＝aa，即a＝，故f(x)＝
答案：B
7．若f(ln
x)＝3x＋4，则f(x)的表达式为( )
A．3ln
x
B．3ln
x＋4
C．3ex
D．3ex＋4
解析：令ln
x＝t，则x＝et，
∴f(t)＝3et＋4，∴f(x)＝3ex＋4.
答案：D
8．已知lg
a＋lg
b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是( )
解析：由lg
a＋lg
b＝0可知a＝，
∴g(x)＝－logbx＝＝logax，
∴f(x)＝ax与g(x)＝logax同增减，只有B正确．
答案：B
9．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：f＝－2＜0，f(1)＝e－1＞0，
∴f·f(1)＜0，∴f(x)的零点在区间内．
答案：B
10.如图给出了函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图像(a＞0且a≠1)，则与函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图像是( )
A．①②③④
B．①③②④
C．②③①④
D．①④③②
解析：由图结合指数、对数函数的特点可知，①对应y＝ax；②对应y＝log(a＋1)x；③对应y＝logax；④对应y＝(a－1)2.
答案：B
11．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2，则当x∈[1,3]时，f(x)的最小值是( )
A．2
B.
C．－2
D．－
解析：当x＜0时，f(x)＝2－，
在[－3，－1]内，当x＝－3时，f(x)有最大值2.
∵f(x)为奇函数，∴其图像关于原点对称，∴f(x)在[1,3]内存在最小值为－2.
答案：C
12．若不等式lg≥(x－1)lg
3对任意的x∈(－∞，1]恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由lg≥lg3(x－1)，
得≥3(x－1)，1＋2x＋(1－a)3x≥3x，
1＋2x≥a·3x，
即x＋x≥a对任意的x∈(－∞，1]恒成立．
设f(x)＝x＋x(x∈(－∞，1])，
则f(x)min＝f(1)＝＋＝1，∴a≤1.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________.
解析：A＝{y|y＝3x}＝(0，＋∞)，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝(－∞，2)，则A∩B＝(0,2)．
答案：(0,2)
14．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
解析：由g(x)＝f(x)＋9，得当x＝－2时，有g(－2)＝f(－2)＋9?f(－2)＝－6.因为f(x)为奇函数，所以有f(2)＝－f(－2)＝6.
答案：6
15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析：函数f(x)的图像如图，
由上图可知0＜k＜1.
答案：(0,1)
16．下列命题：
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)＝0；
③f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)既不是奇函数又不是偶函数；
④f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
其中真命题的序号是________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
解析：①不正确，如y＝lg|x|，其在原点处无定义，其图像不可能与y轴相交；
②正确，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－0)＝－f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0；
③不正确，∵f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)＝4x2＋3，
且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；
④不正确，只能说f(x)＝在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数．
答案：②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝{x|x＞0}，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5－a＜x＜a}．
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若C?(A∪B)，求a的取值范围．
解析：(1)A∪B＝{x|2＜x＜10}，
?UA＝{x|0＜x＜3，或x≥7}，
(?UA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
(2)①若C为空集，则5－a≥a，解得a≤.
②若C不是空集，则2≤5－a＜a≤10，
解得＜a≤3.综上所述：a≤3.
18．(12分)已知函数f(x)＝－9x＋3x＋1＋4.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)当x∈[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解析：f(x)＝－9x＋3x＋1＋4＝－(3x)2＋3·3x＋4.
令t＝3x(t＞0)，则y＝－t2＋3t＋4.
(1)由－t2＋3t＋4＝0，得t＝4或t＝－1(舍)．
所以3x＝4，x＝log34.
所以函数的零点是log34.
(2)当x∈[0,1]时，t∈[1,3]，
因为函数y＝－t2＋3t＋4的对称轴是t＝，
所以y∈，
故函数f(x)的值域为.
19．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数的图像，根据图像写出函数f(x)的单调区间．
解析：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x.
所以函数的解析式为：f(x)＝
(2)函数图像如图所示：
通过函数的图像可以知道，f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
20．(12分)某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资的函数模型为y＝k1x，B产品的利润与投资的函数模型为y＝k2xα(利润和投资的单位为百万元)，其关系分别为图1、图2所示．
(1)分别求出A，B两种产品的利润与投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到资金1千万元，并准备全部投入到A，B两种产品的生产，问怎样分配这1千万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少？(精确到万元)
解析：(1)A：y＝x；B：y＝(x≥0)．
(2)设投资B产品x(百万元)，
则投资A产品(10－x)(百万元)，
总利润y＝(10－x)＋(0≤x≤10)
＝－2＋.
∴当＝2.5，x＝6.25时，ymax≈4.06.
故投资A产品375万元，投资B产品625万元时，总利润最大，最大值约为406万元．
21．(12分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
解析：(1)由题意可知
∴解得＜x＜.
故函数的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减，
∴
解得＜x≤2.
∴g(x)≤0的解集为.
22．(12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求使f(x)＋g(x)＜0成立的x的集合．
解析：(1)由解得－1＜x＜1，
∴函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＋g(－x)＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝g(x)＋f(x)，∴函数f(x)＋g(x)为偶函数．
(3)由f(x)＋g(x)＜0，得
loga(x＋1)＋loga(1－x)
＝loga[(x＋1)(1－x)]＜0.
当a＞1时，由loga[(x＋1)(1－x)]＜0，
得(x＋1)(1－x)＜1，
即x2＞0，∴x≠0.又x∈(－1,1)，
∴使f(x)＋g(x)＜0成立的x的集合是{x|－1＜x＜0，或0＜x＜1}；
当0＜a＜1时，由loga[(x＋1)(1－x)]＜0，
得(x＋1)(1－x)＞1，
即x2＜0，∴使f(x)＋g(x)＜0成立的x的集合是?.
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或0＜x＜1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为?.
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