综合检测
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．复数＝( )
A．－－i
B．－＋i
C.－i
D.＋i
2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
4．关于等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)的说法，正确的是( )
A．n为任何正整数时都成立
B．仅当n＝1,2,3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
5．在如下的结构图中：
则等腰三角形可排在构成要素________之后．( )
A．①
B．②
C．③
D．以上都不对
6．若＝a＋bi(a，b∈R)，则的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．－2
7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72
B．0.8
C.
D．0.9
8．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
9．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为：(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“?”为：(a，b)?(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)?(p，q)等于( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－4)
10.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”．它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现反面}，则P(B|A)＝________.
12．根据下表计算χ2＝________.(保留四位有效数字)
父母吸烟
父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1
200
总计
915
605
1
520
13．设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b①a2＋b2>c2＋h2；②a3＋b3③a4＋b4c5＋h5.
其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：________.
14．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6
℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________件．
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设a、b、c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.
16．(10分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
17．(12分)某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语，并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：
损坏餐椅数
未损坏餐椅数
总计
文明标语张贴前
39
157
196
文明标语张贴后
29
167
196
总计
68
324
392
请你判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数是否有效果？
18．(12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用Y(万元)有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
Y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由数据可知，Y对x呈线性相关关系．
(1)求回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时维修费用是多少？
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(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．复数＝( )
A．－－i
B．－＋i
C.－i
D.＋i
解析：＝＝＝＝＝－i.
答案：C
2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
解析：①③具有线性相关关系，适合用线性回归模型拟合．
答案：B
3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
解析：本题主要考查对独立性检验的结果与实际问题的差异的理解，独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的．
答案：D
4．关于等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)的说法，正确的是( )
A．n为任何正整数时都成立
B．仅当n＝1,2,3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
解析：验证仅当n＝1,2,3时成立．
答案：B
5．在如下的结构图中：
则等腰三角形可排在构成要素________之后．( )
A．①
B．②
C．③
D．以上都不对
解析：因为等腰三角形既可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，还可能是直角三角形，故选D.
答案：D
6．若＝a＋bi(a，b∈R)，则的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．－2
解析：由＝＝－i＝a＋bi，知a＝0，b＝－1，所以＝0，故选B.
答案：B
7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72
B．0.8
C.
D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
8．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c中至少有一个不小于2.
答案：C
9．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为：(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“?”为：(a，b)?(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)?(p，q)等于( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－4)
解析：由?的定义及(1,2)?(p，q)＝(5,0)，
得(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得
∴(1,2)?(p，q)＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
答案：B
10.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”．它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝，同理易知，第7行第3个数－＝，第7行第4个数为－＝.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现反面}，则P(B|A)＝________.
解析：P(A)＝＝，P(AB)＝，
故P(B|A)＝＝.
答案：
12．根据下表计算χ2＝________.(保留四位有效数字)
父母吸烟
父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1
200
总计
915
605
1
520
解析：χ2＝≈32.52.
答案：32.52
13．设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b①a2＋b2>c2＋h2；②a3＋b3③a4＋b4c5＋h5.
其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：________.
解析：可以证明②③正确，观察②a3＋b3答案：②③ an＋bn14．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6
℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________件．
解析：＝(17＋13＋8＋2)＝10，
＝(24＋33＋40＋55)＝38，
由线性回归方程过(，)，知38＝－2×10＋a，∴a＝58.
∴y＝－2x＋58，∴当x＝6时，y＝46.
答案：46
三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设a、b、c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a、b、c>0，根据基本不等式，
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.
三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
16．(10分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
解析：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋(－2)i<0，
∴∴m＝4，∴a＝4i.
17．(12分)某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语，并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：
损坏餐椅数
未损坏餐椅数
总计
文明标语张贴前
39
157
196
文明标语张贴后
29
167
196
总计
68
324
392
请你判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数是否有效果？
解析：根据题中的数据计算：
χ2＝≈1.78.
因为1.78<2.706，所以我们没有理由说：在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数有效果，即效果不明显．
18．(12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用Y(万元)有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
Y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由数据可知，Y对x呈线性相关关系．
(1)求回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时维修费用是多少？
解析：(1)列表如下：
序号
x
Y
x2
xY
1
2
2.2
4
4.4
2
3
3.8
9
11.4
3
4
5.5
16
22.0
4
5
6.5
25
32.5
5
6
7.0
36
42.0
合计
20
25
90
112.3
经计算得：＝4，＝5，
回归直线方程为y＝bx＋a＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38(万元)．
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