课时作业(一) 数列的概念
一、选择题
1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图像表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70
B．28
C．20
D．8
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
4．观察数列2,5,10,17，x,37，…的特点，则x等于( )
A．24
B．25
C．26
D．27
二、填空题
5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，….
6．数列11,103,1
005,10
007，…的一个通项公式是________．
7．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项．
三、解答题
8．写出下面各数列的一个通项公式．
(1)，，，，，…；
(2)－1，，－，，－，，…；
(3)6,66,666,6
666，….
9．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；
(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0；
(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．
[尖子生题库]
10．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，3)
C．(－∞，2)
D．(－∞，3]
课时作业(一) 数列的概念
1．解析：①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．
答案：B
2．解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.
答案：C
3．解析：an＝＝1－，
当n≥2时，an－an－1＝1－－＝－＝>0，所以{an}是递增数列．
答案：A
4．解析：将数列变形为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，…，于是可得已知数列的一个通项公式为an＝n2＋1(n∈N＋)，当n＝5时，a5＝52＋1＝26，故x＝26.
答案：C
5．解析：由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为.
答案：
6．解析：a1＝10＋1＝101＋1，
a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)，
a3＝1
000＋5＝103＋(2×3－1)，
…
所以an＝10n＋2n－1.
答案：an＝10n＋2n－1.
7．解析：令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.
答案：2或6
8．解析：(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝.
(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为an＝
(3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)．
9．解析：(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，
解得n＝10或n＝－9(舍去)，
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
即当n＝6时，an＝0.
令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0，
解得－5又n∈N＋，
∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0.
(3)an＝30＋n－n2＝－2＋，
∵n∈N＋，∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30.
10．解析：an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．
答案：B
PAGE课时作业(二) 数列中的递推
一、选择题
1．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n≥2)，则a4等于( )
A.
B.
C．－
D.
2．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n
B．an＝
C．an＝
D．an＝
3．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1,
，2,2，…
C.，2,
，2，…
D．0,
，2,2，…
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2
019＝( )
A．－
B.
C．2
D．－2
二、填空题
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________.
6．设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝________.
7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2019的值为________．
三、解答题
8．已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．
9．已知a1＝1，an＋1－an＝2，求数列{an}的一个通项公式．
[尖子生题库]
10．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝________.
课时作业(二) 数列中的递推
1．解析：由题知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.
答案：C
2．解析：a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.
答案：C
3．解析：由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合．
答案：B
4．解析：法一：由已知可得，a1＝2，a2＝－，a3＝2，a4＝－，∴{an}是周期为2的数列，则a2
019＝a1
009×2＋1＝a1＝2.
法二：∵an＝－(n≥2)，∴an＋2＝－＝an，∴{an}是周期为2的数列，则a2
019＝a1
009×2＋1＝a1＝2.
答案：C
5．解析：因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.
答案：31
6．解析：根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以a2＝9；a3＝27；a4＝81；故答案为81.
答案：81
7．解析：因为an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2；
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1；
由a3＝2，a4＝1，得a5＝；
由a4＝1，a5＝，得a6＝；
由a5＝，a6＝，得a7＝1；
由a6＝，a7＝1，得a8＝2
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2
019＝a3＝2.
答案：2
8．解析：可依次代入项数进行求值．
a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，
a4＝＝－，
a5＝＝－.
即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－.
也可写为，，，，.
即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以an＝－(n∈N＋)．
9．解析：法一：(叠加法)∵a1＝1，an＋1－an＝2，∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴an＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.
法二：(迭代法)an＝an－1＋1×2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋(n－1)×2＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足an＝2n－1，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.
10．解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×?＝.又∵a1＝，∴an＝.
答案：
PAGE课时作业(三) 等差数列的定义
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的通项公式为( )
A．an＝2n－5
B．an＝2n－3
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．6
3．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是( )
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
4．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项
二、填空题
5．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．
6．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
7．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
三、解答题
8．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列．
[尖子生题库]
10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
课时作业(三) 等差数列的定义
1．解析：∵a－1，a＋1,2a＋3是等差数列{an}的前三项，∴2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得a＝0，
∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3，
∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.故选B.
答案：B
2．解析：方法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则有得所以a6＝a1＋5d＝0.
方法二：在等差数列{an}中，因为a2，a4，a6成等差数列，即a4是a2与a6的等差中项．所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
答案：B
3．解析：由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．
答案：B
4．解析：a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
答案：B
5．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
答案：487
6．解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
7．解析：设an＝－24＋(n－1)d，
由解得答案：
8．解析：法一：因为{an}是等差数列，设公差为d，
由a15＝8，a60＝20，得
解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
法二：因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．
设这个等差数列的公差为d，则a15为首项，a60为第4项，
所以a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
法三：因为{an}是等差数列，设其公差为d.
因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
9．证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
10．解析：(1)数列是等差数列．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，
所以an＝.
PAGE课时作业(四) 等差数列的性质
一、选择题
1．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39
B．20
C．19.5
D．33
2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0
B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0
D．a51＝51
4．已知{an}、{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( )
A．－6
B．6
C．0
D．10
二、填空题
5．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是________．
6．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.
7．17＋，13－的等差中项为________．
三、解答题
8．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
9．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
[尖子生题库]
10．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1
B.
C.
D.
课时作业(四) 等差数列的性质
1．解析：由题意知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝33.
答案：D
2．解析：由题知a1＋a5＝2a3＝10，所以a3＝5，又a4＝7，所以公差d＝a4－a3＝2.
答案：B
3．解析：根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
答案：C
4．解析：由于{an}、{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B.
答案：B
5．解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
答案：24
6．解析：∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.
答案：39
7．解析：设A为其等差中项，则A＝＝＝15.
答案：15
8．解析：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
9．解析：(1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
10．解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝＝.
答案：C
PAGE课时作业(五) 等差数列的前n项和
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7
B．15
C．20
D．25
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋5n，则公差d等于( )
A．1
B．2
C．5
D．10
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
二、填空题
5．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
6．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝________.
7．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
三、解答题
8．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，求n的值．
[尖子生题库]
10．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0
(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
课时作业(五) 等差数列的前n项和
1．解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则有所以
所以S5＝5a1＋d＝15.
答案：B
2．解析：∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8∴d＝a2－a1＝2.
答案：B
3．解析：法一：∵a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.
答案：A
4．解析：由题意得S偶－S奇＝5d＝15，
∴d＝3.
或由解方程组
求得d＝3，故选C.
答案：C
5．解析：等差数列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，又a2＝－3，所以公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0，由等差数列{an}的性质得n≤5时，an≤0，n≥6时，an大于0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10.
答案：0 －10
6．解析：法一：由
解得d＝3.
法二：由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
∴20－4＝4＋4d，
解得d＝3.
答案：3
7．解析：∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，
∴a8>0，a9<0.
∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．
答案：8
8．解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
9．解析：由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5同时最大．
∴n＝4或5.
10．解析：(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Sn＝
PAGE课时作业(六) 等比数列的定义
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2
018＝8a2
017，则公比q的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
3．等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，若q2＝4，则的值为( )
A.
B．±
C．2
D．±2
4．在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝24－n
B．an＝2n－4
C．an＝2n－3
D．an＝23－n
二、填空题
5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
7．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg
an}的通项公式为________．
三、解答题
8．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
9．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[尖子生题库]
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
课时作业(六) 等比数列的定义
1．解析：由等比数列的定义知q＝＝8.
答案：D
2．解析：已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3或－3(舍去)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
答案：B
3．解析：由q2＝4得q＝±2，因为数列{an}各项均为正数，所以q＝2.
又因为a4＝a3q，a5＝a4q，所以a4＋a5＝a3q＋a4q＝(a3＋a4)q，
所以＝＝.
答案：A
4．解析：设公比为q，则＝q3＝＝，所以q＝，又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，所以a1＝8，所以an＝8·n－1＝24－n.
答案：A
5．解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
6．解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.
答案：1
7．解析：∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，
∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg
an＝(n－3)lg
2.
答案：lg
an＝(n－3)lg
2
8．解析：法一：因为a1a3＝a，
a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.
从而
解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.
法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.
代入已知，得
即
即
将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.
由②得或
故an＝2n－1或an＝23－n.
9．解析：(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，(构造法
)即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
10．解析：(1)法一：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N＋)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
法二：由a1＝1，
知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
因为＝＝＝2(n∈N＋)，
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.
PAGE课时作业(七) 等比数列的性质
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数数列
D．摆动数列
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
3．若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于( )
A．－
B.
C．±
D.
4．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5
B．－
C．5
D.
二、填空题
5．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
6．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________.
7．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________.
三、解答题
8．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
[尖子生题库]
10．设二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N＋)有两个根α，β且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
课时作业(七) 等比数列的性质
1．解析：因为q＝－<0，所以{an}是摆动数列．
答案：D
2．解析：因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．
答案：D
3．解析：∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，
∴b2＝2，∴＝＝－.
答案：A
4．解析：由题知log3an＋1＝log3(3an)＝log3an＋1，
所以an＋1＝3an>0，所以＝3，
所以{an}是公比为3的等比数列．
所以a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3＝9×33＝35，
所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.
答案：A
5．解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41.
又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49.
∵数列{an}各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
答案：7
6．解析：由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，
即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，
化简得2a1d＋20d2＝0，
由a1＝20，d≠0，得d＝－2.
答案：－2
7．解析：由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2·a8＝6.
答案：6
8．解析：在等比数列{an}中，
∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.
联立得或
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.
∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
9．解析：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，
解得d＝－6或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，
则22＝(2＋d)(2－d)，
∴d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8.
10．解析：(1)由根与系数的关系得，α＋β＝，αβ＝，
又6α－2αβ＋6β＝3，所以－＝3，
即an＋1＝an＋.
(2)因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝，
又a1－＝，
故是以为首项，公比也为的等比数列，an－＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝＋n.
PAGE课时作业(八) 等比数列的前n项和
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1＝1，S6＝63，则公比q的值为( )
A．2
B．－2
C．4
D.
2．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－
B.
C．－或1
D.或1
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2
018＋a2
019＝0，则S673等于( )
A．3
B．2
019
C．－3
D．－2
019
4．数列1，x，x2，…，xn－1，…的前n项和为( )
A.
B.
C.
D．以上均不对
二、填空题
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
6．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
7．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________.
三、解答题
8．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn.
9．已知等差数列{an}的公差d>0，首项a1＝1，a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2n＋an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
[尖子生题库]
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
课时作业(八) 等比数列的前n项和
1．解析：当q＝1时，S6＝6a1＝6≠63，不符合题意，
当q≠1时，S6＝＝＝63，将选项代入检验，可得q＝2.
答案：A
2．解析：由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.
答案：C
3．解析：由a2
018＋a2
019＝0可得数列的公比为q＝－1，故S673＝a673＝a1＝3.
答案：A
4．解析：利用分类讨论的思想，对x＝0，x＝1，x≠1且x≠0进行分析．
当x＝0时，数列为1,0,0，…，0，…，前n项和为Sn＝1；
当x＝1时，数列为1,1，…，1,1，…，前n项和为Sn＝n；
当x≠1且x≠0时，数列为等比数列，且首项a1＝1，公比q＝x，所以前n项和Sn＝＝＝.
答案：D
5．解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
答案：6
6．解析：∵S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.
答案：15
7．解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a3，∴a1＋a2＝2a3，∵a1≠0，∴1＋q＝2q2，即2q2－q－1＝0，∴q＝－或1.
答案：－或1
8．解析：(1)设{an}的公比为q.
由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝
＝－＋(－1)n·.
9．解析：(1)由题意可得a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
得(1＋d)2＝1＋4d，整理得d(d－2)＝0，
解得d＝0或d＝2.
又因为d>0，所以d＝2.
所以an＝2n－1.
(2)Sn＝(2＋4＋8＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋7＋…＋2n－1)
＝＋
＝2n＋1＋n2－2.
10．解析：(1)由a1＝1，an＋1－an＝2得，
an＝2n－1，b1＝1，b4＝8，所以公比q＝2，所以bn＝2n－1.
(2)cn＝(2n－1)2n－1，
Sn＝1·1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)2n－1，
2Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)2n，
上述两式作差得
－Sn＝1＋2·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－1－(2n－1)2n，－Sn＝1＋2－(2n－1)2n，
所以Sn＝3－2n(3－2n)．
PAGE课时作业(九) 数列的应用
一、选择题
1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝( )
A.
B.
C.
D.
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3，则a4＋a5＋…＋a10等于( )
A．171
B．21
C．10
D．161
3．等比数列{an}的通项an＝2·3n－1，其前n项和为Sn，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝( )
A．3n－1
B．32n－1－1
C.(9n－1)
D．9n－1
4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
三、解答题
8．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Tn.
9．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60
km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？
[尖子生题库]
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
课时作业(九) 数列的应用
1．解析：当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.
答案：C
2．解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3
∴a4＋a5＋…＋a10＝S10－S3
＝(2×102－3×10＋3)－(2×32－3×3＋3)
＝161.
答案：D
3．解析：S2n＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2＋a4＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)(1＋q)，
∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝S2n＝×
＝(9n－1)．
答案：C
4．解析：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，
a1＝6(尺)，S30＝11×40＋30＝470(尺)，设公差为d(尺)，则30×6＋d＝470，解得d＝.
则＝＝
＝.
答案：C
5．解析：an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
答案：2n－1
6．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.
答案：2
7．解析：由＝q，q＝2，得＝2?a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
答案：450
8．解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·
＝·，
所以Tn＝·＝
·＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
9．解析：由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240
min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)∵a15＝－10×15＋250＝100，
∴到下午6时，最后一辆车行驶了100
min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2
550(min)＝(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为×60＝2
550(km)．
10．解析：(1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800×万元，
…，
第n年投入为800×n－1万元，
所以，n年内的总投入为：
an＝800＋800×＋…＋800×n－1
＝4
000×，
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400×万元，
…，
第n年旅游业收入400×n－1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×＋…＋400×n－1
＝1
600×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，
即1
600×－4
000×＞0，
化简得5×n＋2×n－7＞0，
令x＝n，代入上式得：5x2－7x＋2＞0.
解得x＜，或x＞1(舍去)．
即n＜，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．
PAGE课时作业(十) 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )
A.
B．π
C．2π
D.π
3．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为( )
A．1
B．1＋3
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取什么值无关
D．以上答案都不对
二、填空题
5．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)第一步要证明的式子是________________．
6．用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：
(1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除，
∴n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，
(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数．
∴其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立．
综合(1)(2)，对一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
这种证明不是数学归纳法，主要原因是________．
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________________．
三、解答题
8．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
9．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.
[尖子生题库]
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明．
课时作业(十) 数学归纳法
1．解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，
因此当n＝k＋1时，
左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，从右边应为2k＋1－1.
答案：D
2．解析：n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.
答案：B
3．解析：当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.
答案：C
4．解析：由题意n＝2时成立可推得n＝4,6,8，…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.
答案：B
5．解析：n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．
∴第一步要证明的式子是2＋f(1)＝2f(2)．
答案：2＋f(1)＝2f(2)
6．答案：没用上归纳假设
7．解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
8．证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
等式成立，就是
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时等式也成立．
综合(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
9．证明：(1)当n＝2时，由x≠0，知
(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，
因此n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，
即(1＋x)k＞1＋kx，
则当n＝k＋1时，
(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知原命题成立．
10．解析：(1)∵Sn－1是方程x2－anx－an＝0的一个根，
∴(Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0，
∴(Sn－1)2－anSn＝0，
∴当n＝1时，a1＝，
当n＝2时，a2＝.
(2)由(1)知S1＝a1＝，n≥2时，(Sn－1)2－(Sn－Sn－1)·Sn＝0，∴Sn＝.①
此时当n＝2时，S2＝＝；当n＝3时，S3＝＝.
由猜想可得，Sn＝，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
当n＝1时，a1＝S1＝，显然成立．
假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时结论成立，即Sk＝.
当n＝k＋1时，由①知Sk＋1＝，
∴Sk＋1＝＝＝.
∴当n＝k＋1时式子也成立．
综上，Sn＝，n＝1,2,3，…，对所有正整数n都成立．
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